三維流形融合的Heegaard虧格的估計.pdf

1、三維流形組合拓撲理論是低維拓撲學的一個重要分支.通過Heegaard分解來研究三維流形是三維流形拓撲中的重要方法之一.Casson和Gordon在1987年引入了弱可約的Heegaard分解的思想,極大地推動了組合拓撲學中Heegaard分解理論的研究進程.Hempel在2000年引入Heegaard分解的距離的思想,不僅拓廣了Casson-Gordon的理論,更使得Heegaard分解理論的研究空前活躍,在很多非常困難的問題的研究上取

2、得了很多重大的突破.
　　本文主要討論三維流形的Heegaard分解的融合,主要結(jié)果給出了若干情形下融合后的三維流形的虧格非退化的一些充分條件,具體結(jié)果如下:
　　1.設(shè)M是一個緊致、可定向的連通三維流形,F是M中一個分離的本質(zhì)閉曲面.F將M切成M1和M2.如果Mi有一個Heegaard分解Vi∪SiWi滿足D(Si)≥ti,這里ti是介于1和2g(Mi)1之間的整數(shù),i=1,2.那么
　　g(M)≥12(t1+t2+

3、1)g(F).
　　2.設(shè)Mi是一個緊致、可定向的連通三維流形,Fi是Mi中一個不可壓縮的邊界分支,g(Fi)≥1且F1～=F2.:F1→F2是一個同胚,M=M1∪M2,F=F2=(F1).那么
　　(1)如果Mi有一個Heegaard分解Vi∪SiWi滿足D(Si)≥2g(Mi)1,i=1,2.那么g(M)=g(M1)+g(M2)g(F);
　　(2)如果Mi有一個Heegaard分解Vi∪SiWi滿足D(Si)≥2

4、g(Mi)+1,i=1,2.那么g(M)=g(M1)+g(M2)g(F)且M的最小虧格的Heegaard分解在合痕的意義下是唯一的.
　　3.設(shè)Ki是閉三維流形Mi中的紐結(jié),(Mi,Ki)(S2×S1,x0×S1),其中S2是一個二維球面,x0∈S2,i=1,2.(M,K)=(M1＃M2,K1#K2).如果紐結(jié)Ki的任何緯線本質(zhì)曲面Fi滿足χ(Fi)≤12t(Ki),i=1,2.那么t(K)≥t(K1)+t(K2).更進一步地,在

5、上面的假設(shè)前提下,如果E(K1)和E(K2)的任何最小虧格的Heegaard分解的距離大于或等于3,那么t(K)=t(K1)+t(K2)+1.
　　4.設(shè)Ki是閉三維流形Mi中的紐結(jié),i=1,2且(M,K)=(M1#M2,K1#K2).那么
　　(1)如果紐結(jié)的補E(Ki)有一個Heegaard分解Vi∪SiWi滿足D(Si)≥2t(Ki)+1,i=1,2,那么t(K)≥t(K1)+t(K2);
　　(2)如果紐結(jié)的補