哈密爾頓系統(tǒng)有限元的守恒性和辛性質(zhì).pdf

1、哈密爾頓系統(tǒng)是最重要的動力系統(tǒng)．馮康院士曾指出，一切真實的無耗散的物理過程都可表示為這樣或那樣的Hamilton形式，它們都是常微分或偏微分方程組．Hamilton系統(tǒng)有兩個最重要的特性：守恒性和辛結(jié)構(gòu)．在數(shù)值計算中能否保持這些特陛具有重要意義． 1983年馮康研究此問題，他驚訝地發(fā)現(xiàn)，此前這里竟是一片空白，許多經(jīng)典的算法都不適應(yīng)，計算幾萬步后有時已面目全非．他1984年首創(chuàng)性提出辛差分算法，并作了深入系統(tǒng)的研究，開辟了一大片研究新領(lǐng)域

2、．以后國內(nèi)外許多學(xué)者作了多方面推廣和廣泛應(yīng)用．馮康的這項首創(chuàng)工作得到了國際一致公認.但是任何離散算法，一般不可能同時保辛又保能量(Ge-Masden定理)．辛差分算法很好地保辛，但只在格式精度意義下保能量．而許多學(xué)者認為，有時保能量更重要．因此我們轉(zhuǎn)向有限元法，卻發(fā)現(xiàn)至今有關(guān)研究極少．而我們的研究表明，有限元總是保能量的，對線性系統(tǒng)也是辛的，對非線性系統(tǒng)是高精度保辛的，而且長時間計算穩(wěn)定且精度高，效果非常好。這些結(jié)論已刻劃了有限元的基本

3、特征。因此有限元法是與辛差分算法完全不同的另一種算法，從另一方面彌補了辛差分算法的不足．本研究是對辛算法的一次重要推進． 本文主要創(chuàng)新點如下： (1)．首次系統(tǒng)深入研究任意m次有限元解非線性Hamilton系統(tǒng)，證明了在任何節(jié)點上能量總是守恒的，因此在相平面上軌道總是穩(wěn)定的。并首次提出用超收斂分析方法研究有限元的辛性質(zhì)； (2)．對線性Hamilton系統(tǒng)的任意m次有限元，得到了一個深刻的高階超收斂O(h<'2

4、m+1>)新估計，首次證明m次有限元的節(jié)點值是2m階對角Páde逼近，因而是辛格式．此結(jié)果與馮康等研究的辛差分格式結(jié)論一致； (3)．對非線性Hamilton系統(tǒng)的任意m次有限元法，構(gòu)造了新的輔助問題，并得到誤差估計和負范數(shù)估計，首次證明m次有限元對每一次步進是高精度O(h<'2m+1>)意義下近似保辛的． (4)．在物理平面上考察了軌道在長時間計算中的性態(tài)，發(fā)現(xiàn)雖然軌道形狀改變很小但軌道在平移，并首次證明軌道平移和周期