分擔(dān)三個(gè)公共值和微分多項(xiàng)式分擔(dān)一個(gè)公共值的唯一性定理.pdf

1、二十世紀(jì)二十年代,芬蘭著名數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù),并建立了Nevanlinna兩大基本定理,這是二十世紀(jì)重大的數(shù)學(xué)成就.不僅因?yàn)樗於爽F(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ),而且對(duì)許多數(shù)學(xué)分支的發(fā)展,交叉和融合產(chǎn)生了重大而深遠(yuǎn)的影響.半個(gè)多世紀(jì)以來(lái),Nevanlinna理論研究在不斷發(fā)展,而且在復(fù)域上的微分方程,亞純函數(shù)唯一性理論研究復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)等方面有著廣泛的應(yīng)用.在復(fù)域中的微分方程大范圍解析解的研究中(參看[4]

2、).Nevanlinna理論的成功介入,不但為之提供了十分重要的研究工具,而且使得這一學(xué)科的發(fā)展充滿了生機(jī).在亞純函數(shù)唯一性理論研究方面,1929年,R.Nevanlirma(參看[6])利用他剛建立不久的亞純函數(shù)值分布理論,研究了決定一個(gè)亞純函數(shù)所需要的條件,得到了兩個(gè)著名的亞純函數(shù)唯一性定理,它們通常被稱為Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理.這為亞純函數(shù)唯一性理論,特別是涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性的研究奠定了

3、理論基礎(chǔ).
　　 近二十年來(lái),儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論的研究中,獨(dú)樹一幟.他在這一領(lǐng)域所做的原創(chuàng)性工作(參看[2][7]),吸引了國(guó)內(nèi)外學(xué)者,數(shù)學(xué)家,甚至著名數(shù)學(xué)家的研究興趣,從而有力地推動(dòng)了亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展,也為中國(guó)在這一領(lǐng)域的國(guó)際地位做出了重要貢獻(xiàn).李效敏副教授在亞純函數(shù)唯一性理論研究中比較活躍,作了許多研究工作,得到了國(guó)內(nèi)外同行的關(guān)注.不僅如此,他還在復(fù)微分方程和亞純函數(shù)正規(guī)族的研究中得到不少突出的結(jié)果,例如

4、他在Brück猜想和Gundersen問(wèn)題等方面作了許多研究工作(參見(jiàn)[8][9]).
　　 對(duì)整函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有公共值的唯一性問(wèn)題的研究,由L.A.Rubel和C.C.Yang首開(kāi)先河.爾后,國(guó)外著名的復(fù)分析專家,如E.Mues,G.Frank,N.Steinmetz,G.G.Gundersen,G.Jank,L.Volkamn等人以及一些中國(guó)學(xué)者,分別從不同的角度將這一課題的研究不斷引向深入.至今,仍有一些問(wèn)題尚未解決.不僅

5、如此,1992年,W.Schwick(參看[10])發(fā)現(xiàn),整函數(shù)的正規(guī)性和該函數(shù)族中的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是否具有公共值這一性質(zhì),有著十分緊密的聯(lián)系.由于正規(guī)族理論在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中的特殊地位,他的這一發(fā)現(xiàn)立即吸引了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的注意,這無(wú)疑使函數(shù)公共值問(wèn)題的研究更具有活力,也更有意義.
　　 本文介紹作者在李效敏老師的精心指導(dǎo)下所完成的一些研究工作.本文主要研究分擔(dān)三個(gè)公共值的亞純函數(shù)唯一性理論和微分多項(xiàng)式分擔(dān)一個(gè)公共值的唯一性理

6、論.一共分為三章。
　　 第一章,主要介紹與本文有關(guān)的Nevanlinna基礎(chǔ)理論中的主要概念,常用記號(hào)及經(jīng)典結(jié)果.
　　 對(duì)整函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有公共值的唯一性問(wèn)題的研究,由L.A.Rubel和C.C.Yang首開(kāi)先河.爾后,國(guó)外著名的復(fù)分析專家,如E.Mues,G.Frank,N.Steinmetz,G.G.Gundersen,G.Jank,L.Volkamn等人以及一些中國(guó)學(xué)者,分別從不同的角度將這一課題的研究不斷引向

7、深入.至今,仍有一些問(wèn)題尚未解決.不僅如此,1992年,W.Schwick發(fā)現(xiàn),整函數(shù)的正規(guī)性和該函數(shù)族中的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是否具有公共值這一性質(zhì),有著十分緊密的聯(lián)系.由于正規(guī)族理論在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中的特殊地位,他的這一發(fā)現(xiàn)立即吸引了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的注意,這無(wú)疑使函數(shù)公共值問(wèn)題的研究更具有活力,也更有意義.
　　 在本文的第二章,本章主要解決了CM分擔(dān)三個(gè)公共值的亞純函數(shù)的唯一性問(wèn)題,改進(jìn)了儀洪勛和李效敏以及儀洪勛和其他人的一些結(jié)

8、果.下面是主要定理.
　　 定理1f(z)和g(z)是兩個(gè)判別的非常數(shù)的亞純函數(shù),且CM分擔(dān)0,1,∞,假設(shè)尸(z)是一個(gè)非常數(shù)的多項(xiàng)式,且(P′(z))1(t為任意的一個(gè)正整數(shù))不恒等于1,如果N1)(r,1/f-p)≠T(r,f)+S(r,f),那么f=g.
　　 定理2 f(z)和g(z)是兩個(gè)判別的非常數(shù)的亞純函數(shù),CM分擔(dān)0,1,∞,假設(shè)P(z)是一個(gè)非常數(shù)的多項(xiàng)式,若σ(f)＜∞且N1)(r,1/f-p)≠T

9、(r,f)+S(r,f),則f=g.
　　 在本文的第三章,本章主要證明了下述結(jié)果:假設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),k為正整數(shù),對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n滿足2n＞3k+8+√13K2+52k+64.如果fn與fn-1f(k)IM分擔(dān)1,那么f=f(k).該結(jié)果改進(jìn)了張繼龍和楊連中的相應(yīng)結(jié)果.下面是第三章的主要定理
　　 定理3 設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),k為正整數(shù),對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n滿足2n＞k+3+√K2+2k+9.如果f″與f