非線性微分多項式分擔(dān)非零多項式和分擔(dān)公共值的亞純函數(shù)的唯一性.pdf

1、二十世紀二十年代,芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna引進亞純函數(shù)的特征函數(shù),建立了Nevanlinna理論,是二十世紀最重大的數(shù)學(xué)成就之一,這不僅因為它奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ),而且對數(shù)學(xué)許多分支的發(fā)展,交叉和融合產(chǎn)生了重大而深遠的影響.半個多世紀以來,Nevanlinna理論研究在不斷發(fā)展,而且在復(fù)微分方程振蕩理論,亞純函數(shù)唯一性理論研究等方面有著廣泛的應(yīng)用.特別是在復(fù)域中常微分方程大范圍解析解的研究中(參看[15]),Nevan

2、linna理論的成功介入,不但為之提供了十分重要的研究工具,而且使得這一學(xué)科的發(fā)展充滿了生機.而在亞純函數(shù)唯一性理論研究方面,1929年,R.Nevanlinna(參看[20])利用他剛建立不久的亞純函數(shù)值分布理論,研究了決定一個亞純函數(shù)所需要的條件,得到了兩個著名的亞純函數(shù)唯一性定理,它們通常被稱為Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理.從此,亞純函數(shù)唯一性理論,特別是涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性的研究開啟了發(fā)端.<

3、br>　　 半個多世紀以來,日本、中國、德國、英國、前蘇聯(lián)和美國的許多數(shù)學(xué)家都曾致力于亞純函數(shù)唯一性理論的研究,使之成為復(fù)分析領(lǐng)域至今仍比較活躍的一個重要分支;期間所形成的獨特的思想方法與研究技巧,為其它數(shù)學(xué)分支,如代數(shù)體函數(shù),Non-Archimedean域上的亞純函數(shù),乃至一般流形上的亞純映射的唯一性及相關(guān)問題的研究,提供了十分重要的啟示與借鑒.
　　 近二十年來,儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論的研究中,獨樹一幟.他在這一

4、領(lǐng)域所做的原創(chuàng)性工作(參看[2][25]),吸引了國內(nèi)外學(xué)者,數(shù)學(xué)家,甚至著名數(shù)學(xué)家的研究興趣,從而有力地推動了亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展,也為中國在這一領(lǐng)域的國際地位做出了重要貢獻.李效敏教授在亞純函數(shù)唯一性理論研究中比較活躍,作了許多研究工作,得到了國內(nèi)外同行的關(guān)注.不僅如此,他還在復(fù)微分方程和亞純函數(shù)正規(guī)族的研究中得到不少突出的結(jié)果,例如他在Brück猜想和Gundersen問題等方面作了許多研究工作(參見[10][28][29])

5、.
　　 本文介紹作者在李效敏教授的精心指導(dǎo)下所完成的一些研究工作.全文共分三章.
　　 第一章,主要介紹與本文有關(guān)的Nevanlinna基礎(chǔ)理論中的主要概念,常用記號及經(jīng)典結(jié)果.
　　 對整函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有公共值的唯一性問題的研究,由L.A.Rubel和楊崇駿首開先河.爾后,國外著名的復(fù)分析專家,如E.Mues,G.Frank,N.Steinmetz,G.G.Gundersen,G.Jank,L.Volkamn

6、等人以及一些中國學(xué)者,分別從不同的角度將這一課題的研究不斷引向深入.至今,仍有一些問題尚未解決.不僅如此,1992年,W.Schwick(參看[24])發(fā)現(xiàn),整函數(shù)的正規(guī)性和該函數(shù)族中的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是否具有公共值這一性質(zhì),有著十分緊密的聯(lián)系.由于正規(guī)族理論在復(fù)動力系統(tǒng)的研究中的特殊地位,他的這一發(fā)現(xiàn)立即吸引了國內(nèi)外許多學(xué)者的注意,這無疑使函數(shù)公共值問題的研究更具有活力,也更有意義.
　　 在第二章中,主要采用構(gòu)造函數(shù)、巧妙運用精

7、簡虧值的方法,研究非線性微分多項式分擔(dān)非零多項式的唯一性問題,對方明亮和邱慧玲,楊崇駿和華新厚的結(jié)果有所改進。
　　 定理1 設(shè)f和g是非常數(shù)的亞純函數(shù),n(≥11)是正整數(shù),P(不恒為0)是多項式,其次數(shù)γP≤11.如果f″f′g″g′-P CM分擔(dān)0,則或者對有限復(fù)數(shù)f,f=tg,其中tn+1=1,或者f=c1ecQ,g=c2e-cQ,其中c1,c2和c是三個有限非零復(fù)數(shù)且滿足(c1c2)n+1c2=-1,Q是多項式且有Q=

8、∫-0P(η)dη.
　　 定理2 設(shè)f和g是非常數(shù)的亞純函數(shù),n(≥15)是正整數(shù),P(不恒為0)是多項式.如果(f″(f-1))′-P和(gn(g-1))′-P CM分擔(dān)0,且⊙(∞,f)＞3/n+1,則f=g.
　　 在本文的第三章,主要研究非線性微分多項式分擔(dān)公共值的亞純函數(shù)的唯一性問題,多次運用Wiman-Valiron理論,中心指標等方法。對f的級有窮與無窮均得到了相應(yīng)的結(jié)果,改進了R.Brück,G.G..