動力系統(tǒng)的復雜性及嵌入問題的研究.pdf

1、本文研究拓撲動力系統(tǒng)的復雜性理論。對于零熵系統(tǒng)，研究它們的拓撲復雜度、序列熵和熵維數(shù);對于正熵系統(tǒng)，研究其中的混沌現(xiàn)象;對于無窮嫡系統(tǒng)，研究平均維數(shù)及其相關的嵌入問題。
　　本文共分五個章節(jié)。第一章是準備工作，包含了拓撲動力系統(tǒng)和遍歷論中的一些基本概念和主要結果，以及在后續(xù)章節(jié)中需要用到的工具和定理。
　　在第二章中，研究二維環(huán)面上一類特殊的斜積系統(tǒng)，它們都是一維環(huán)面上的某個無理旋轉的擴充。計算了這類系統(tǒng)的拓撲復雜度，并利用

2、新的方法證明其極小性，而且給出了這類系統(tǒng)為二階系統(tǒng)的一個等價刻畫。進一步，構造了一個極小distal系統(tǒng)，它具有線性的拓撲復雜度，但卻不是二步冪零系統(tǒng)，從而否定地回答了Host、Kra和Maass提出的是否每個具有線性拓撲復雜度的極小distal系統(tǒng)都是二步冪零系統(tǒng)這一問題。
　　在第三章中，研究零熵系統(tǒng)的序列熵和熵維數(shù)，建立了動力系統(tǒng)與其誘導系統(tǒng)在這方面的關系。具體來說，證明了對于任意事先給定的正整數(shù)序列，一個拓撲動力系統(tǒng)沿著該

3、序列的序列熵是零當且只當它的誘導系統(tǒng)沿著該序列的序列熵也是零。進一步地，作為這一結果的應用，證明了一個拓撲動力系統(tǒng)的上熵維數(shù)與它的誘導系統(tǒng)的上熵維數(shù)相等。類似地，還得到了與上述這兩個結果所對應的測度版本。
　　在第四章中，考慮正熵系統(tǒng)沿著序列意義下的多重平均Li-Yorke混沌問題。證明了對于一類性質良好的非負整數(shù)序列來說，如果一個拓撲動力系統(tǒng)的熵為正，那么它蘊含沿著這種序列意義下的多重平均Li-Yorke混沌。特別地，正熵蘊含沿