關(guān)于Hecke特征形的若干問(wèn)題.pdf

1、Hecke算子是一類(lèi)模形式空間構(gòu)造以及一般自守表示被廣泛應(yīng)用的“均值”算子，在模形式理論中有很重要的地位.1917年，Mordell最先在研究Ramanujan給出的一個(gè)特殊尖形式時(shí)，使用了這類(lèi)算子.1937年，Hecke給出了它的一般性定義.
　　對(duì)于整數(shù)k，正整數(shù)n以及權(quán)為k的模形式f(z），Hecke算子Tn定義為(Tnf)(z):=nk-1∑d|nd-k d-1∑b=0f(nz+bd/d2).Hecke算子有很多很好的性質(zhì)

2、，比如，它的乘法是結(jié)合的且可交換的（因此Hecke算子生成一個(gè)交換代數(shù)，稱(chēng)Hecke算子代數(shù)），此外，它還是可乘的以及在Petersson內(nèi)積下為自共軛的等等.
　　Hecke特征形f(z)(在SL2(Z)的情形下經(jīng)常也被簡(jiǎn)單的稱(chēng)為特征形）是一個(gè)模形式，且是所有Hecke算子的特征向量.也就是說(shuō)，對(duì)于所有正整數(shù)n，存在復(fù)常數(shù)λ(n)，使得(Tnf)(z)=λ(n)f(z）.Eisenstein級(jí)數(shù)就是特征形的一個(gè)簡(jiǎn)單例子，它也是僅

3、有的非尖形式的特征形.△函數(shù)是另一個(gè)典型的權(quán)為12的特征形.Hecke特征形f(z)的Fourier展式為f(z）=∞∑n=0 anqn.若a0=0，則為Hecke尖形式;若a1=1，則稱(chēng)其為正規(guī)化的.不失一般性，本文中探討的都是正規(guī)化的Hecke特征形.
　　Hecke特征形是數(shù)論研究中的一個(gè)很重要的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)分析，組合數(shù)學(xué)和物理學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用.它是數(shù)學(xué)家研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，近年來(lái)，Ahmad，Wissam，Holowinsk

4、y, Luo，Ono，Soundararajan，Sarnak等很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都在這方面有很多杰出的成果（見(jiàn)[6，13，20，21]等）.本文中，我們將研究尖形式（也就是說(shuō)，相應(yīng)Fourier展式中a0=0）下Hecke特征形的的兩個(gè)問(wèn)題，分別是它的非平凡素?cái)?shù)問(wèn)題和周期多項(xiàng)式零點(diǎn)分布問(wèn)題.
　　首先我們介紹關(guān)于Hecke特征形的非平凡素?cái)?shù)問(wèn)題.
　　取偶數(shù)k≥4，令Mk(或Sk)為SL2(Z)上權(quán)為k的正則模形式（或尖形式

5、）組成的有限維C-向量空間;此外，令M!k為SL2(Z)上權(quán)為k的弱正則模形式組成的無(wú)限維空間（見(jiàn)[18]）.對(duì)于一個(gè)亞純模形式，若它的極點(diǎn)（如果存在的話(huà)）都在尖點(diǎn)處，則它為弱正則的.我們記SL2(Z)上的模形式在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的Fourier展式為f(z)=∑n(》)-∞ af(n)qn.
　　令OL為數(shù)域L下的代數(shù)整數(shù)環(huán)，對(duì)于正規(guī)化的Hecke特征形f(z)=∞∑n=1 af(n)qn∈Sk∩OL[[q]],如果存在對(duì)應(yīng)于素?cái)?shù)p的

6、素理想p(C)OL使得af(p)≡0(mod p)，那么我們稱(chēng)f(z)是p非平凡的.
　　對(duì)于f(z）上的非平凡素?cái)?shù)分布，一個(gè)很著名的問(wèn)題如下（見(jiàn)Gouv(e)a的說(shuō)明性文章[7]）.
　　問(wèn)題對(duì)于一個(gè)一般性的正規(guī)化Hecke特征形f(z)，它有無(wú)限多的非平凡素?cái)?shù)嗎？
　　盡管對(duì)于SL2(Z)的某些同余子群上的模形式（比如CM尖形式，權(quán)為2的關(guān)于Q上的橢圓曲線(xiàn)的newform等等）有更強(qiáng)的結(jié)果，但這一問(wèn)題目前并沒(méi)有太多

7、的結(jié)果.2005年，Choie，Kohnen和Ono[2]得到了關(guān)于p=2，3，以及δ（k)≠0時(shí)p≥5的一個(gè)結(jié)果.
　　我們并沒(méi)有解決這一問(wèn)題，它依然是開(kāi)放的.但是，我們?cè)贑hoie，Kohnen和Ono的基礎(chǔ)上得到了下面這個(gè)相關(guān)結(jié)果.
　　定理1對(duì)于任意的有限多個(gè)素?cái)?shù)組成的集合S，都有無(wú)限多個(gè)SL2(Z)上的Hecke特征形使得所有的p∈S對(duì)于它們都是非平凡的.
　　然后我們探討關(guān)于Hecke特征形的周期多項(xiàng)式零點(diǎn)

8、分布問(wèn)題.
　　對(duì)于模形式f(z）=∑∞n=0 anqn∈Mk來(lái)說(shuō)，一個(gè)很自然（而且有用）的問(wèn)題就是研究它的Eichler積分εf(z):=∫i∞z(f（τ）-a0）（τ-z）k-2dτ=-(k-2)!/(2πi)k-1∞∑n=1 an/nk-1qn的有關(guān)性質(zhì).盡管εf(z)并不是一個(gè)模形式，但是它可以跟模形式的周期函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，這是關(guān)于f(z)的另一個(gè)很重要的課題.該周期函數(shù)定義為rf(z):=εf(z)-zk-2εf(-1/z

9、).它的偶部r+f(z)和奇部r-f(z)分別為f±f(z):=rf(z)±rf(-z)/2.特別的，令Γ為PSL2(R)的離散子群，且i∞為它的一個(gè)拋物尖點(diǎn).對(duì)于尖形式f(z)∈Sk(Γ)，k∈2Z≥0，相應(yīng)的周期函數(shù)即rf(z)=∫i∞0f（τ）（τ-z）k-2dτ.不難看出，此時(shí)rf(z)為k-2次多項(xiàng)式，它的系數(shù)包含f(z)的相關(guān)L-函數(shù)的特殊值L(f，1），L(f，2）,...，L(f,k-1)，為它們的一個(gè)生成函數(shù)（見(jiàn)[17

10、]）.也就是說(shuō)，這樣的周期多項(xiàng)式提供了Eichler積分和L-函數(shù)的特殊值的聯(lián)系.相應(yīng)L-函數(shù)的特殊值在算術(shù)幾何和數(shù)論中也是一個(gè)很重要的研究對(duì)象.對(duì)于周期多項(xiàng)式的一般性質(zhì)，見(jiàn)[3，16，17，25，32];其余跟本文相關(guān)的文章有[8，23].
　　與Hecke特征形相關(guān)的周期多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問(wèn)題是一個(gè)重要的課題.由函數(shù)方程，它們被猜測(cè)位于相應(yīng)圓周上，由于與Riemann猜想的相似性，這也被稱(chēng)為周期多項(xiàng)式上的Riemann猜想.

11、r>　　2013年，Conrey, Farmer和Imamo(g)lu在[4]中證明了對(duì)于Hecke特征形f∈Sk(SL2(Z))來(lái)說(shuō)，它的周期多項(xiàng)式的奇部在0，±2，±1/2有簡(jiǎn)單零點(diǎn)，在±1有雙重零點(diǎn)，其余零點(diǎn)都落在單位圓周上.2014年，El-Guindy和Raji[6]更進(jìn)一步的證明了所有Sk(SL2(Z))中的Hecke特征形對(duì)應(yīng)的周期多項(xiàng)式的零點(diǎn)全部位于單位圓周|z|=1上.
　　在本文中，我們探討算術(shù)Hecke群Hq

12、上Hecke特征形以及Γ0(N)上相應(yīng)的newform的周期多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問(wèn)題.除了延拓了El-Guindy和Raji的結(jié)果之外，我們還證明了隨著k→∞，相應(yīng)的零點(diǎn)趨向于均勻分布.
　　關(guān)于算術(shù)Hecke群，我們的結(jié)果如下:
　　定理2令Γ為某個(gè)Hecke群H3，H4，H6或H∞.若Hecke特征形f(z)=∑n≥1 anqn∈Sk(Γ)的權(quán)k充分大，那么相應(yīng)的周期函數(shù)rf(z)的零點(diǎn)都在單位圓上.此外，隨著k→∞，零點(diǎn)趨

13、向于平均分布.
　　值得一提的是，從證明過(guò)程中可以得知，滿(mǎn)足Ramanujan-Petersson猜想的情形下，定理2的前半部分結(jié)論對(duì)一系列包含(01-10)的PSL2(R)的離散子群Γ上的Hecke特征形都成立.
　　對(duì)于Γ0(N)，我們對(duì)Hecke特征形的子集newform也得到了相應(yīng)的結(jié)果.Newform構(gòu)成空間Snew k（Γ0（N)），它是正規(guī)化的尖形式，而且是所有Hecke算子以及Atkin-Lehner對(duì)合|k

14、W(Qp)(這里p|N)和Fricke對(duì)合|kW(N)的特征形.
　　定理3令f(z）∈Sk（Γ0（N)）為newform.若k≥4，那么相應(yīng)的周期函數(shù)rf（X)的零點(diǎn)都在圓|z|=1/√N(yùn)上.
　　將rf(z)限制到圓周上，我們將其轉(zhuǎn)化為了關(guān)于三角多項(xiàng)式的問(wèn)題，通過(guò)研究相應(yīng)的符號(hào)變換數(shù)量，我們可以得到定理3.此外，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)權(quán)k或級(jí)N充分大時(shí)，rf(z)的零點(diǎn)在圓周|z|=1/√N(yùn)上的分布是有規(guī)律的，更進(jìn)一步的確定相應(yīng)三角

15、多項(xiàng)式根的位置，我們就得到了下面的定理.
　　定理4對(duì)newform f(z)∈Sk(Γ0(N))，以下命題為真.
　　(i)令k=4.當(dāng)∈(f)=-1時(shí)，rf(z)的零點(diǎn)為+i/√N(yùn).當(dāng)∈(f)=1時(shí)，對(duì)于充分大的N，rf(z)的零點(diǎn)位于±(1+O(N-1/4+∈))/√N(yùn).
　　(ii)令偶數(shù)k≥6，若N或k充分大，則rf(z)的零點(diǎn)可被寫(xiě)為1/i√N(yùn)exp(iθ(l)+O(1/2k√N(yùn))），其中，對(duì)于0≤(l)≤