關(guān)于子流形若干問(wèn)題的綜述.pdf

1、本文是一篇關(guān)于黎曼子流形的一些命題的綜述，主要包括子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ砗臀⒎智蛎娑ɡ?，子流形的拼擠定理，子流形平均曲率流解的延拓性和收斂性，以及Clifford超曲面的幾何特征。
　　 第二章概述了關(guān)于黎曼子流形的一些基本概念以及基本公式。
　　 第三章介紹球面定理。球面定理是曲率與拓?fù)溲芯款I(lǐng)域最重要的研究方向之一。二十世紀(jì)五十年代以來(lái)，許多著名的幾何學(xué)家在這一領(lǐng)域做出了卓越的貢獻(xiàn)。運(yùn)用球面中緊致子流形上穩(wěn)定流的不存在性

2、和由S.Smale證明的廣義Poincare猜想，H.Lawson和J.Simons得到了子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?997年，K.Shiohama和H.W.Xu證明了下述關(guān)于非負(fù)常曲率空間形式中完備子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?008年，付海平和許洪偉用同調(diào)群消沒(méi)定理證明了雙曲空間中完備子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?009年，許洪偉和J.R.Gu在數(shù)量曲率拼擠條件下證明了關(guān)于常曲率空間形式中子流形的最佳微分球面定理。同年，許洪偉和E.T.Zhao運(yùn)用

3、Ricci流理論證明了關(guān)于子流形的微分球面定理。
　　 第四章講述拼擠定理。1990年，許洪偉證明了對(duì)球面中具有平行平均曲率的閉子流形的剛性定理。2007年，Y.J.Suh和H.Y.Yang改進(jìn)了H.C。Yang和Q.M.Cheng關(guān)于閉極小超曲面數(shù)量曲率的第二空隙定理。2010年，Xu-Tian將Suh和Yang的結(jié)果推廣到一類具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的閉超曲面的情形。2007年，S.Pigola，M.Rigoli和A.G.

4、Setti在逐點(diǎn)的Ricci曲率拼擠條件下得到空間形式的一個(gè)特征。2009年，Xu-Zhao將拼擠常數(shù)改進(jìn)，并推廣到數(shù)量曲率為非零常數(shù)的情形。
　　 第五章簡(jiǎn)述平均曲率流的解的延拓性和收斂性結(jié)果。K.Brakke首先從幾何測(cè)度論的角度研究了平均曲率流。之后，G.Huisken對(duì)超曲面的平均曲率流進(jìn)行了一系列研究。他證明了：若歐氏空間中超曲面的第二基本形式關(guān)于時(shí)間一致有界，則平均曲率流在時(shí)間上可以向后延拓N.Sesum利用爆破的方

5、法證明：如果黎曼流形的Ricci曲率關(guān)于時(shí)間一致有界，那么Ricci流的解關(guān)于時(shí)間可以延拓。最近，B.Wang證明了在曲率積分條件下Ricci流的解關(guān)于時(shí)間的可延拓性定理。2011年，Liu-Xu-Ye-Zhao研究了平均曲率流的解在曲率積分條件下關(guān)于時(shí)間的可延拓性問(wèn)題證明了如果第二基本形式模長(zhǎng)的平方以平均曲率平方的某個(gè)線性函數(shù)為上界，且平均曲率在時(shí)空中的積分有限，那么一般黎曼流形中高余維平均曲率流的解關(guān)于時(shí)間可以延拓。上世紀(jì)八十年代，

6、在Huisken獲得了關(guān)于歐氏空間中逐點(diǎn)拼擠條件下超曲面平均曲率流收斂性的著名定理。2010年，B。Andrews和C.Baker證明了逐點(diǎn)拼齊條件下歐氏空間中高余維的平均曲率流的收斂定理，這一結(jié)果部分推廣了Huisken關(guān)于超曲面的平均曲率流的研究結(jié)果。2011年，Liu-Xu-Ye-Zhao拓廣為曲率積分拼齊條件下高余維平均曲率流的收斂性定理，最近，C.Baker證明了球面空間形式中高余維子流形的平均曲率流的收斂性定理，Liu-Xu

7、-Ye-Zhao研究了雙曲空間形式中高余維平均曲率流的收斂性問(wèn)題。
　　 第六章是介紹Clifford曲面的幾何特征。當(dāng)H=0時(shí)，J.Simons[32]，H.Lawson[24]，S.S.Chern，M.do Carmo和S.Kobayashi[15]證明的一個(gè)著名的剛性定理說(shuō)，如果S≤n，那么S≡0或者S≡n，即M是一個(gè)大球面或者Clifford極小超曲面Sk(√k/n)×Sn-k(√n-k/n)，k=1，…，n-1.據(jù)此陳