黎曼子流形上幾何與拓撲的若干問題研究.pdf

1、本文著重研究黎曼子流形上幾何與拓撲的若干問題，主要內(nèi)容包括子流形的幾何剛性、拓撲球面定理和Laplace-Beltrami算子的特征值問題。 剛性理論是子流形幾何中久盛不衰的重要方向，其根源可追溯到經(jīng)典曲面論的高斯絕妙定理。近40年來，這一研究領(lǐng)域取得了許多重要進展，其中關(guān)于球面中極小子流形的Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi定理被國際上公認(rèn)為這方面最重要的成果之一。Okumura、丘

2、成桐、do Carmo等許多學(xué)者曾試圖證明球面中平行平均曲率子流形的廣義Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi剛性定理，并獲得部分結(jié)果。1993年，Xu完整地證明了球面中平行平均曲率子流形的廣義Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi剛性定理。之后，Xu又證明了單位球而中平行平均曲率子流形整體pinching的剛性定理。本文證明了pinched黎曼流形中平行平均曲

3、率子流形的一個整體pinching定理，并在簡潔的幾何條件下給出了pinched局部對稱空間中極小子流形的整體pinching定理。 1986年，H.Gauchman[25]獲得了關(guān)于球面中緊致極小子流形的著名剛性定理：設(shè)Mn是n+p維單位球面Sn+p(1)中n維緊致極小子流形，h是M的第二基本形式。若對任意單位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3，其中σ(u)=‖h(u，u)‖2，則σ(u)≡0，即M是全測地子流形；或者σ(u)

4、≡1/3，并且可完全確定這類極小子流形的幾何結(jié)構(gòu)。對于更為一般的平行平均曲率子流形的情形，本文首次證明了下述廣義Gauchman定理：設(shè)Mn是n+p維單位球而Sn+p(1)中n維完備平行平均曲率子流形，H為其平均曲率。若對任意單位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3，則σ(u)≡H2，即M是全臍子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全確定平行平均曲率子流形M的幾何結(jié)構(gòu)。 曲率與拓撲是整體黎曼幾何核心課題之一。Andersen、Be

5、rger、Cheeger、Chern、Colding、Gromoll、Gromov、Grove、Hamilton、Kingenberg、Perelman、Shiohama、Yau等一批著名學(xué)者對這一領(lǐng)域作出了杰出的貢獻。本文證明了下述拓撲球面定理：設(shè)Mn是n+p維單位球而Sn+p(1)中n維完備子流形，若對任意單位切向量u∈UM，有σ(u)＜1/3，則M同胚于Sn(1)。該結(jié)果改進和推廣了P.Leung[35]的工作。運用Micalle

6、f-Moore的方法和技巧，本文還證明了關(guān)于n+p維pinched黎曼流形中n(≥4)維緊致單連通子流形的一個拓撲球而定理。 黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的特征值問題是幾何分析領(lǐng)域的重要分支之一。Berger-Gauduchon-Mazet、Berard、Chavel、Yau-Schoen[5，2，10，53]對這一領(lǐng)域的發(fā)展作了深入、系統(tǒng)的介紹。本文研討了n+p維黎曼流形中一類n維緊致子流形的特征值問題，獲得