幾何流與拓?fù)涞娜舾蓡栴}.pdf

1、本文主要有兩大部分，第二章和第三章屬于幾何流部分，剩下的兩章為拓?fù)洳糠帧?br>　　 近期，幾何分析中最重要的發(fā)展來自于對(duì)幾何流方程的研究。其中，最重要的成果是：Huisken與Ilmanen用逆平均曲率流解決了黎曼Penrose不等式和曹懷東與朱熹平用Ricci流工具證明了龐卡萊猜想。
　　 在第二章，我們主要研究了Hk流下拉普拉斯算子的第一特征值，我們首先得到了這個(gè)流下拉普拉斯算子第一特征值的發(fā)展方程。
　　 最近

2、，雙曲幾何流受到了廣泛的關(guān)注。在第三章的內(nèi)容中，我們將要考慮由..教授和孔德興教授引進(jìn)的雙曲Yambe流。從偏微分方程的角度來看，這是一個(gè)高度非線性雙曲方程。我們?cè)谶@一章中構(gòu)造了這個(gè)方程的三類精確解。我們相信這些精確解對(duì)于研究這個(gè)方程的適定性以及其它一些基本的性質(zhì)會(huì)有很大幫助。
　　 第一類解是具有初始度量為Einstein的解。第二類解是具有軸對(duì)稱的解。最后，作為這種流的特殊解，我們定義了穩(wěn)定雙曲Yamabe孤子，而且我們得到

3、了這種孤子解所滿足的方程。
　　 以上是關(guān)于幾何流部分的內(nèi)容。下面兩章是關(guān)于拓?fù)渲幸恍﹩栴}的研究。
　　 在第四章中，我們討論了R3中完備定向極小曲面端的問題，我們給出了這個(gè)端的個(gè)數(shù)的一個(gè)上界，而且得到Hoffman和Meeks猜想在一定的特殊條件下是成立的。
　　 Hoffman和Meeks猜想：令S是R3中完備定向極小嵌入曲面，滿足∫s｜K｜<∞，那么r≤g+2，其中r為曲面S的端得個(gè)數(shù)，g為S緊化后的虧格。

4、
　　 定理C：令M是R3中完備定向極小曲面，滿足∫s｜K｜<∞，而且M不是平面，那么它的端得個(gè)數(shù)r滿足2≤r≤4K+λ(g-1)/2K-λ，其中g(shù)是M緊化后的虧格，K為M的高斯曲率.
　　 定理中的λ為下面的R3中緊域序列D上的特征值問題
　　 緊致超曲面的剛性定理一直是一個(gè)很重要的課題，其中最引人注目的一個(gè)研究成果就是單位球面中緊致超曲面的數(shù)量曲率和平均曲率成比例時(shí)的剛性定理。
　　 在第五章，我們主

5、要討論實(shí)歐式空間中以及Lorentz空間形式中類空緊致超曲面的剛性定理。具體來說，
　　 定理E：令M是具有非負(fù)截曲率浸入到空間形式Nn+1(c)(c≥0)中的n維緊致超曲面。如果數(shù)量曲率r和平均曲率H滿足r=f(H)，這里f滿足(n-1)(f')2-4nHf’+4nf-4nc≥0，那么M或者是全臍的，或者M(jìn)=Sn-k×Sk.
　　 同樣地，我們可以把這個(gè)結(jié)果推廣Lorentz空間形式中的超曲面。
　　 定理F：