幾何發(fā)展方程中的若干問(wèn)題研究.pdf

1、本論文研究了平均曲率流的自相似解和一類逆平均曲率流，以及球面中極小超曲面的第二空隙。幾何發(fā)展方程是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，近幾十年來(lái)受到了越來(lái)越多的關(guān)注。平均曲率流差不多是子流形幾何中最為重要的幾何流。平均曲率流中最為重要的問(wèn)題之一是研究這個(gè)流可能出現(xiàn)的奇點(diǎn)。自相似解不僅與平均曲率流的奇點(diǎn)有密切的聯(lián)系，而且是一類重要的子流形。我們廣泛研究了平均曲率流的自收縮解，得到了它們的一些幾何和分析的性質(zhì)。通過(guò)給定無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界值，我們?cè)陂h可夫斯

2、基空間中構(gòu)造了很多個(gè)整體光滑凸的嚴(yán)格類空平移解。球面中的極小子流形是微分幾何中一個(gè)優(yōu)美而重要的課題，它們自然的聯(lián)系著歐氏空間中的極小錐。由Chern-do Carmo-Kobayashi提出的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題是研究球面中極小超曲面數(shù)量曲率的空隙。近來(lái)，我們?cè)诓灰蟪?shù)量曲率的假設(shè)下，對(duì)所有維數(shù)證明了第二空隙的存在性。
　　 本文的結(jié)構(gòu)安排如下。
　　 在第一章，首先我們回憶了平均曲率流的歷史和現(xiàn)狀，以及自收縮解是如何由平均曲

3、率流的奇點(diǎn)所引起的。自相似解的研究對(duì)平均曲率流的奇點(diǎn)的了解起到關(guān)鍵的作用。其次，我們討論了逆平均曲率流，它是研究微分幾何和廣義相對(duì)論中數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。最后，我們探討了陳省身關(guān)于極小超曲面的剛性問(wèn)題。
　　 在第二章，為了便于討論，我們引入了子流形幾何的基本語(yǔ)言和符號(hào)。我們陳述了自收縮解以及平移解方面已知的工作和我們的研究結(jié)果。總共花了3章(第三章到第五章)來(lái)敘述我們?cè)谧允湛s解方面的系列工作。我們給出了關(guān)于子流形的第二基本型方

4、面的一些熟知的公式。特別的，對(duì)在歐氏空間以及偽歐氏空間中可以表示為圖的包括拉格朗日情形在內(nèi)的自收縮解作了仔細(xì)的討論。
　　 在第三章，我們研究了任意余維數(shù)的自收縮解。同歐氏空間中極小子流形完全不一樣的是，逆緊的非緊的自收縮解有下面最優(yōu)的體積增長(zhǎng)估計(jì)。
　　 定理1.([50])任意一個(gè)浸入在Rn+m中的完備非緊的逆緊的自收縮解M都有至多歐氏體積增長(zhǎng).即存在一個(gè)僅依賴于n和M∩B8n的體積的常數(shù)C，使得對(duì)任意r≥1有∫M∩

5、Br1dμ≦Crn
　　 假定自收縮解可以表示成向量值函數(shù)u的圖，我們能夠證明u有線性增長(zhǎng)。
　　 定理2.([48])設(shè)M=[(x，u(x))｜ x∈Rn]是Rn+m中可表示為整體圖的自收縮解且u(x)=(ul(x)，…，um(x))，則｜u(x)｜2≤(x｜2/3n+2)(sup｜y｜≤2√6n｜u(y)｜2+24n)，其中x∈Rn及｜u(x)｜2=∑ma=1(ua(x))2。
　　 我們導(dǎo)出了一個(gè)自收縮解版

6、本的Ruh-Vilms型定理：自收縮解的高斯映照是帶權(quán)的調(diào)和映照。通過(guò)對(duì)第二基本型仔細(xì)的分析，可以得到自收縮解的Bernstein型定理，其所要求的條件比極小的情形要稍弱一點(diǎn)。借助Sobolev不等式，我們證明了一個(gè)關(guān)于高余維的自收縮解的第二基本型的模長(zhǎng)范數(shù)的剛性定理。
　　 在第四章，我們重點(diǎn)研究了拉格朗日的自收縮解，即它既是拉格朗日子流形又是自收縮解。通過(guò)積分的辦法，我們證明了具有不定度量∑i dxidyi的偽歐氏空間R2n

7、n中拉格朗日平均曲率流的可表示為整圖的類空白收縮解一定是平坦的。
　　 定理3.([52])方程logdet D2u(x)=1/2x·Du(x)-u(x)在Rn上的任意整體光滑凸解是二次多項(xiàng)式u(0)+1/2x，x>。
　　 這個(gè)結(jié)果去掉了[78]和[22]中額外的條件，從而完善了他們的結(jié)果。利用相同的方式，我們?cè)俅巫C明了[22]中建立的歐氏空間的對(duì)應(yīng)情形。
　　 在第五章，我們探討了歐氏空間中的自

8、收縮超曲面。我們利用[49]中類似的想法，研究了自收縮解的第二基本型的模長(zhǎng)范數(shù)的第二空隙。
　　 定理4.([51])假設(shè)Mn是浸入在Rn+1中的完備逆緊的自收縮解，其第二基本型記為B，那么存在一個(gè)正數(shù)δ=0.011使得如果1/2≤｜B｜2≤1/2+δ，那么｜B｜2≡1/2。
　　 通過(guò)比較Hoffeman～Osserman-Schoen[76]關(guān)于R3中常平均曲率曲面的著名結(jié)果，我們對(duì)自收縮解證明了相應(yīng)的部分。

9、　　 定理5([53])設(shè)M是浸入在Rn+1中的完備逆緊的自收縮超曲面.如果Gauss映照的像被包含在一個(gè)開(kāi)半球里面，那么M是超平面.如果Gauss映照的像被包含在一個(gè)閉半球里面，那么M是超平面或者是Rn中(n-1)一維的自收縮解與R的乘積。
　　 記n-1維的上半開(kāi)球Sn-1+={(x1，…，xn)∈Rn｜x21+…+x2n=1，xn>0}.使用由Jost-Xin-Yang[92]所研究的球面凸幾何的技術(shù)，我們得到了下面這個(gè)

10、關(guān)于高斯像的范圍的最優(yōu)的剛性定理。
　　 定理6.([53])設(shè)Mn浸入在Rn+1中的完備逆緊的自收縮超曲面.如果Gauss映照的像包含在Sn\-Sn-1+中，那么M不得不是超平面。
　　 給定一個(gè)非負(fù)的整數(shù)g和常數(shù)D>0，令Sg，D表示所有具有虧格不超過(guò)g直徑不超過(guò)D的緊嵌入在R3中的自收縮解.通過(guò)估計(jì)自收縮解L算子的第一特征值的下界，在沒(méi)有有界熵條件下，2維的緊嵌入自收縮解也存在緊性定理。
　　 定理7.([

11、50])對(duì)固定的g和D，空間Sg，D是緊的.即Sg，D中任意序列有子序列在Ck(任意k≥0)拓?fù)湟饬x下一致收斂到Sg，D中某個(gè)曲面。
　　 在R3里面，第二基本型的模長(zhǎng)范數(shù)是常數(shù)時(shí)，自收縮曲面可以被分類。
　　 在第六章，我們研究了閔可夫斯基空間中平均曲率流的整體類空平移解。通過(guò)計(jì)算第二基本型，我們能夠懂得平移解的有界下水平集的凸性。那么在光滑有界凸區(qū)域上的一類狄利克雷問(wèn)題是可解的。設(shè)Q是包含所有的齊一次的凸函數(shù)且該函數(shù)

12、的梯度存在時(shí)其模長(zhǎng)為1的集合。通過(guò)在不同的凸區(qū)域上構(gòu)造一系列凸解，我們能夠得到：
　　 定理8.([47])如果V∈Q且V不是一個(gè)線性函數(shù)，那么方程div(Du/√1-｜Du｜2=1/√1-｜Du｜2在Rn上一定有一個(gè)光滑凸的嚴(yán)格類空整體解u，使得u blow down到V，即對(duì)Vx∈Rn成立limr→∞u(rx)/r=V(z)。
　　 在第七章，我們探討了某些旋轉(zhuǎn)對(duì)稱空間中從閉的星型超曲面出發(fā)的逆平均曲率流。
　

13、　 定理9.([46])設(shè)N是一個(gè)(n+1)-維的具有非正截面曲率的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱空間，考慮嵌入映照X0：Sn→N，且M0=X0(Sn)是一張光滑閉具有正平均曲率的星型超曲面.那么從M0出發(fā)的逆平均曲率流X=1/HV有長(zhǎng)時(shí)間光滑解.此外
　　 情形1.如果N有歐氏體積增長(zhǎng)，那么拉伸后的曲面X(t)=e-t/nX(t)收斂到一個(gè)唯一的球。
　　 情形2.如果N是雙曲空間，那么拉伸后的曲面X(t)=n/tX(t)收斂到一個(gè)唯一的

14、具有半徑為1的球。
　　 在第八章，我們考慮了球面中極小超曲面的數(shù)量曲率的第二空隙問(wèn)題，它由Chern-do Carmo-Kobayashi[35]所提出。Peng-Terng在[118]和[119]中首先研究了這個(gè)問(wèn)題。他們證明了球面中具有常數(shù)量曲率的極小超曲面在任意維數(shù)都存在第二空隙，以及對(duì)不需要有常數(shù)量曲率假設(shè)的極小超曲面在低維存在第二空隙。此后關(guān)于這個(gè)問(wèn)題有很多的工作。最近，我們肯定了球面中不需要有常數(shù)量曲率假設(shè)的極小超