擬線性橢圓方程若干問題的研究.pdf

1、在偏微分方程的理論研究中，二階擬線性橢圓型偏微分方程的研究是非常重要的。它與工業(yè)、經(jīng)濟、醫(yī)學聯(lián)系緊密，而且在信息科學、生物學、工程學和物理學中的空氣動力學、氣象學、流體力學中都有相當廣泛的應用。如：物理學中的許多問題都可以歸結為二階擬線性橢圓型偏微分方程及方程組的問題。而其中的A-調和型方程，在擬正則映射、彈性力學和物理學中都有相當廣泛的應用。二階擬線性橢圓型偏微分方程解的適定性包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性等。人們最開始研究方程的古典

2、解，進而研究方程的弱解和很弱解。所謂二階擬線性橢圓型方程-divA(x,u,Du)=f(x)的弱解指的是：如果對所有的Φ∈C∞0(Ω)，都有∫ΩA(x,u,Du)DΦdx=∫Ωf(x)Φdx成立，那么函數(shù)u∈W,1 p0(Ω)稱為方程的弱解。而很弱解的定義最早是在1992年，由T.Iwaniec [1]提出的，二階擬線性橢圓型方程-divA(x,u,Du)=f(x)的很弱解指的是：如果對所有的Φ∈C∞0(Ω)，都有：∫ΩA(x,u,Du

3、)DΦdx =∫Ωf(x)DΦdx 成立，那么函數(shù)u∈W1,r0(Ω)(max{1,p-1}≤r≤p)稱為方程的很弱解。目前，關于二階擬線性偏微分方程的弱解、很弱解在不同空間、不同限制條件下的適定性的研究已經(jīng)有了一些結果。比如對方程弱解、很弱解的存在性、唯一性的研究已經(jīng)有了很多的結論，本文將在緒論中做詳細的說明。而對方程弱解、很弱解的穩(wěn)定性的研究所見結果不多。解的穩(wěn)定性即解的連續(xù)依賴性，它依賴的指標可以是算子的可積指數(shù)，也可以是邊界條件

4、，還可以是其他參數(shù)。
　　 本文在已有結論的基礎上，研究了二階擬線性橢圓型方程-divA(x，u,Du)=f(x)弱解梯度的一致估計、方程-divA(x,u,Du)=f(x)關于區(qū)域的穩(wěn)定性和一類二階擬線性橢圓型方程divA(x,u,▽u)=0 障礙問題的很弱解的性質。其中關于弱解梯度的一致估計，本文在對低階項進行一定限制的條件下，使用非線性位勢中的容量理論，在區(qū)域為一致p-厚的條件下，利用一致p-厚的Sobolev不等式和一些

5、容量不等式得出了弱解梯度的一致估計。而方程解的一致估計是一定條件下研究方程解的穩(wěn)定性的基礎。關于方程的弱解的穩(wěn)定性，利用區(qū)域的變分及Hardy不等式，在區(qū)域的外部滿足一致p-厚的條件下，得到方程的弱解關于區(qū)域是穩(wěn)定的。關于二階擬線性橢圓型方程障礙問題的研究，主要使用Hodge分解、Sobolev空間理論及一些不等式，得到了單邊障礙問題很弱解的性質。在研究中，主要使用實分析、微分幾何和Sobolev 空間的分析方法和非線性位勢理論，調和分

6、析等工具。其中使用最多的是：H(o)lder 不等式、Young不等式和Sobolev嵌入定理。本文減弱了[9,7,17]中對算子A(x,u,Du)的假設，限制u的可積次數(shù)來保證弱解、很弱解的唯一性和穩(wěn)定性，并運用Sobolev嵌入定理，得到所要的結果。
　　 本文分四部分來闡述得到的結果:
　　 第一部分是緒論。
　　 第二部分是一類橢圓型方程弱解梯度的一致估計。
　　 第三部分是一類擬線性橢圓方程弱解