黎曼流形上的一些曲率問題.pdf

1、完全非線性橢圓和拋物方程及其在微分幾何中的應(yīng)用已被廣泛研究。本文中我們考慮其在曲率問題中的應(yīng)用。我們主要研究三個(gè)問題，即超曲面的預(yù)定曲率問題，完備共形度量的預(yù)定曲率問題，帶指數(shù)的高斯曲率流。
　　假設(shè)N是一個(gè)n+1維黎曼流形，M是其n維子流形.在流形N上給定一個(gè)光滑函數(shù)ψ，我們考慮滿足如下條件的嵌入φ:M→Nf(κ)=ψ，這里κ=(κ1，…，κn)是超曲面φ（M）在誘導(dǎo)度量下對應(yīng)的主曲率，f是一個(gè)對稱函數(shù)。超曲面的預(yù)定曲率問題引起

2、了數(shù)學(xué)工作者的廣泛興趣。大量的文獻(xiàn)考慮N=Rn+1的情況。本文中我們考慮N為黎曼流形的情況。假設(shè)N容許一個(gè)法高斯坐標(biāo)系，在一些適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，我們可以對一大類曲率函數(shù)證明滿足預(yù)定曲率的閉超曲面的存在性。我們的幾何模型包含了一大類黎曼流形，包括空間形式和一大類乘積流形。
　　假設(shè)(M)是一個(gè)n維緊致帶邊黎曼流形，記其邊界為(e)M。我們用記號g，Ricg和Rg表示其度量，里奇曲率和數(shù)量曲率。Gursky和Viaclovsky引入了mo

3、dified Schouten張量，記作Aτ。當(dāng)把黎曼曲率張量分解為共形不變和共形變化兩個(gè)部分時(shí)，可以看到這個(gè)張量會自然的產(chǎn)生于分解過程中。本文考慮如下問題:在共形度量類[g]中，我們尋找一個(gè)完備度量(a)使其滿足f(κ)=ψ(V)x∈M=(M)\(e)M，這里ψ是(M)上事先給定的函數(shù)，κ=(k11，…，kn）是Aσ/g的特征值。這個(gè)問題等價(jià)于求解一個(gè)滿足無窮大邊值條件的完全非線性橢圓方程。假設(shè)τ＞n-1，我們證明這個(gè)問題對一大類曲率

4、函數(shù)f是可解的。特別地，我們也證明每一個(gè)光滑緊致帶邊的黎曼流形上都可以存在一個(gè)完備度量g，其里奇曲率和數(shù)量曲率滿足det(Ric-Rg)=常數(shù)＞0。
　　在過去幾十年里，許多幾何學(xué)家利用拋物方程去研究流形的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。比如，Hamilton引入了Ricci流并利用它研究Thurston的幾何化猜想。這個(gè)猜想的證明最終被Perelman完成。這是曲率流方向的卓越成就。另一方面，F(xiàn)irey引入了高斯曲率流，用以刻畫翻滾的石頭如何形變