黎曼流形上的Bakry-Emery曲率算子及其應(yīng)用.pdf

1、這篇博士后出站報(bào)告中主要討論七個(gè)問題。 (1)在Ricci流理論中我們引入了Bakry-Emery曲率算子的一些技巧，證明了關(guān)于Bakry-Emery數(shù)量曲率的提升方程．作為它的應(yīng)用，我們很容易地推導(dǎo)出Perelman能量泛函的單調(diào)性公式，同時(shí)我們還討論了一些關(guān)于Ricci曲率的梯度估計(jì)和數(shù)量曲率的L<'2>估計(jì)． (2)對任意帶有非負(fù)的Baby*Emery的Ricci曲率且完備的流形上，我們證明了L-調(diào)和函數(shù)的梯度估計(jì)

2、，并且利用它推導(dǎo)出關(guān)于L-調(diào)和函數(shù)局部的Harnack不等式以及一些關(guān)于正的或有界的L-調(diào)和函數(shù)的劉維爾性質(zhì)． (3)主要是討論非緊流形上拋物型Schrodinger方程解的橢圓型梯度估計(jì)，并且利用它來證明Schrodinger方程解與維數(shù)無關(guān)的Harnack不等式以及劉維爾型定理． (4)我們證明了Li-Yau拋物不等式的局部指數(shù)形式，它是Rkci曲率有負(fù)下界且完備的流形上熱方程解的梯度估計(jì)的局部形式．同時(shí)我們還利用這

3、個(gè)結(jié)果證明了熱方程解局部的Hanarck不等式和熱核的局部高斯型下界估計(jì)． (5)我們證明了Ricci曲率有負(fù)下界且完備的無邊界流形上Schrodinger方程解的局部梯度估計(jì)，同時(shí)我們還利用這個(gè)結(jié)果證明了Schrodinger方程解局部的Hanarck~等式和熱核的局部高斯型下界估計(jì)． (6)設(shè)M為Ricci曲率有負(fù)下界-K且完備的無邊界的n維流形，如果B為M上的向量場使得|B|≤γ且▽B≤K<,*<，這里γ為非負(fù)常數(shù)

4、，K<,*>為實(shí)的常數(shù)，那么方程△u+Bu=0任意正的解滿足如下最優(yōu)的梯度估計(jì)：|▽u|<'2>/u<'2>≤m(K+K<,*>)+mγ<'2>/m-n其中m>n為任意實(shí)的常數(shù)． (7)利用兩種不同的方法討論了帶權(quán)流形上熱方程和Schrodinger方程解的Harnack估計(jì)．我們先利用最大模原理證明熱方程解的梯度估計(jì)，從而得到解的：Harnack估計(jì)；另外我們利用算子半群的方法證明位勢函數(shù)為常數(shù)的Schrrodinger方程解