廣義測度空間上的模糊度量及其收斂問題研究.pdf

1、廣義測度（包含非可加測度和模糊測度）作為模糊集理論的一個分支，最早形成于20世紀70年代，它與廣義積分是經(jīng)典測度與積分的延拓，與調(diào)和分析、微分方程、差分方程和最優(yōu)化理論有著緊密聯(lián)系，同時在多準則決策、信息集成、模式識別和回歸分析等方面也有著廣泛應(yīng)用.模糊度量空間理論是模糊拓撲學(xué)中的一個重要組成部分.近十年來基于三角模的模糊度量理論備受關(guān)注.學(xué)者們在完備化、收斂、緊致性、一致連續(xù)、不動點等方面取得一系列漂亮的結(jié)果.另外，模糊度量空間理論還

2、與廣義測度、Domain理論、圖像處理等結(jié)合繁衍出許多新的研究課題.
　　收斂問題是測度論和拓撲學(xué)中的核心問題，而利用度量理論研究測度的收斂問題，更是拓撲測度研究的重要領(lǐng)域，也是拓撲學(xué)與測度論密切聯(lián)系的重要體現(xiàn).本文主要研究廣義測度與模糊度量之間的聯(lián)系，通過在廣義測度空間上構(gòu)造模糊度量，研究廣義測度空間上的收斂問題及其在廣義測度擴張上的應(yīng)用.因此，本文研究結(jié)果將進一步豐富和完善廣義測度理論和模糊度量理論，并為廣義測度論的應(yīng)用提供更

3、為堅實的理論基礎(chǔ).
　　本文以關(guān)注度較高的兩類廣義測度（可分解測度和模糊測度）為研究對象，主要圍繞以下三個問題展開研究:(1)廣義測度與模糊度量相互誘導(dǎo)的方法;(2)廣義測度空間與模糊度量空間性質(zhì)的相互刻畫;(3)應(yīng)用上述結(jié)果研究廣義測度空間上的收斂、擴張等問題.全文共六章，主要研究工作分四個部分:
　　第一部分研究可分解測度空間上的廣義度量.在可測集上定義一個等價關(guān)系，并在其構(gòu)造的商集上誘導(dǎo)一個廣義度量;討論所誘導(dǎo)的廣義度

4、量空間的連續(xù)性、完備性等性質(zhì);研究所構(gòu)造的廣義度量空間與σ-⊥-可分解測度空間性質(zhì)的相互刻畫.研究發(fā)現(xiàn)，σ-⊥-可分解測度空間上的μ-可分性、無原子的性質(zhì)在廣義度量空間中可以得到有效刻畫.
　　第二部分研究模糊測度空間上的模糊度量.通過在模糊可測空間上定義模糊可測集的模糊度量，探討所構(gòu)造的模糊度量空間與在模糊可測空間上構(gòu)造的模糊測度空間之間性質(zhì)的相互刻畫.沿用第一部分的研究思路，基于給定的模糊測度，通過在模糊可測集上構(gòu)造等價類，并

5、在其商集上定義模糊度量;討論所構(gòu)造的模糊度量的完備性、連續(xù)性等性質(zhì);證明了模糊測度空間的無原子性質(zhì)在所構(gòu)造的模糊度量空間上可以很好地刻畫.結(jié)論表明，當t-模取min時，經(jīng)典結(jié)果可以在模糊背景上得到推廣.
　　第三部分研究可分解測度擴張的廣義偽度量方法.應(yīng)用第一部分的研究結(jié)果，給出σ-⊥-可分解測度從A到S(A)上的擴張，即為所誘導(dǎo)的廣義偽度量空間上子集的閉包.研究廣義偽度量方法擴張與σ-⊥-可分解測度完備化以及Carathédor

6、y擴張之間的關(guān)系.結(jié)果表明，利用廣義偽度量方法的σ-⊥-可分解測度擴張與σ-⊥-可分解測度的完備化以及Carathédory擴張結(jié)果是一致的，但是廣義偽度量方法更加直觀、有效.
　　第四部分研究可分解測度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理.應(yīng)用第一部分的研究結(jié)果討論可分解測度序列的集合式收斂問題.利用廣義度量空間上的Baire定理等重要結(jié)論，證明可分解測度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理，Nikodym定理.