量子信息論中的投影測(cè)量研究.pdf

1、量子信息科學(xué)是利用量子力學(xué)系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行信息處理任務(wù)的學(xué)科，它結(jié)合了20世紀(jì)最偉大的兩項(xiàng)科學(xué)成就-量子力學(xué)和信息科學(xué)，在最近的20多年中獲得了快速發(fā)展。量子信息論是量子信息科學(xué)中最重要的研究方向之一，它所關(guān)心的主要問(wèn)題是:如何有效利用有限的物理資源來(lái)完成盡可能多的信息處理任務(wù)，它可以告訴我們，什么樣的量子信息處理任務(wù)是能夠?qū)崿F(xiàn)的，什么樣的目標(biāo)是不可能實(shí)現(xiàn)的，因此量子信息論對(duì)量子信息科學(xué)的發(fā)展具有重要的指導(dǎo)作用。
　　眾所周知，要從量子

2、系統(tǒng)中獲取信息就必須對(duì)它進(jìn)行測(cè)量，投影測(cè)量是量子測(cè)量中最重要的一種。量子測(cè)量與經(jīng)典測(cè)量的主要區(qū)別在于量子測(cè)量有可能會(huì)破壞系統(tǒng)的初始狀態(tài)，在獲取信息的同時(shí)也會(huì)破壞信息，這是由量子力學(xué)的非對(duì)易性所決定的。盡管如此，如果測(cè)量系統(tǒng)與被測(cè)系統(tǒng)相干程度較輕的話(huà)，仍然可以在基本不破壞系統(tǒng)狀態(tài)的同時(shí)獲取某些信息，這就引出了兩個(gè)有趣的問(wèn)題:第一，在某些情形中，需要進(jìn)行一系列的連續(xù)測(cè)量才能獲得所需要的信息，雖然單次測(cè)量對(duì)初始狀態(tài)造成的擾動(dòng)很小，但是隨著測(cè)量

3、次數(shù)的增加，對(duì)系統(tǒng)的干擾會(huì)逐漸積累直至徹底破壞初始狀態(tài)，因此，一個(gè)自然的問(wèn)題就是如何估算系統(tǒng)干擾的積累程度或者說(shuō)在系統(tǒng)狀態(tài)被徹底破壞之前能夠進(jìn)行多少次測(cè)量。進(jìn)一步的，由于每一次測(cè)量都會(huì)以一定概率給出一個(gè)結(jié)果，因此連續(xù)測(cè)量后會(huì)概率性的得到一串結(jié)果序列，那么應(yīng)該如何估算特定結(jié)果序列的出現(xiàn)概率？第二，量子典型子空間投影是一種常用的弱測(cè)量形式，它在量子信息論中應(yīng)用非常廣泛。在以往的研究中，典型子空間主要是以代數(shù)形式出現(xiàn)，它是否有直觀的幾何解釋?zhuān)?/p>

4、如果能夠給出典型子空間的幾何圖景，那么將非常有助于量子信息論的發(fā)展。本文主要圍繞以上兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)論述，所取得的主要研究成果可以總結(jié)如下:
　　1.給出了投影測(cè)量的三角化表示，指出任意量子態(tài)都可以利用二元投影算子進(jìn)行分解，初始狀態(tài)與測(cè)量后狀態(tài)之間的跡距離以及測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的概率都可以用三角函數(shù)來(lái)表示，這暗示出Bloch球?qū)嶋H上與二元投影測(cè)量相對(duì)應(yīng)。
　　2.利用投影測(cè)量的三角化表示，對(duì)連續(xù)投影測(cè)量進(jìn)行了一般性分析，給出了經(jīng)過(guò)m次

5、投影測(cè)量后的系統(tǒng)狀態(tài)ρm與初始狀態(tài)ρ之間的跡距離D(ρ，σm)的上屆，還給出了特定結(jié)果ρm出現(xiàn)概率的下界。這兩種界很好的回答了以上所提出的第一個(gè)問(wèn)題，并為量子信息論的研究提供了有力的數(shù)學(xué)工具。
　　3.基于連續(xù)投影測(cè)量的一般性分析，提出一種Holevo界可達(dá)性的新的證明:接收者可以通過(guò)執(zhí)行一系列的二元投影測(cè)量來(lái)逐個(gè)分辨所接收的到底是哪一個(gè)碼字。當(dāng)編碼速率不超過(guò)Holevo界時(shí)，這種解碼策略的誤碼概率隨序列長(zhǎng)度n的增大而趨于零。

6、r>　　4.給出了連續(xù)一般性測(cè)量的一種等價(jià)模型:通過(guò)引入附加系統(tǒng)的方式，任意的連續(xù)測(cè)量都對(duì)應(yīng)著聯(lián)合系統(tǒng)上的一組連續(xù)投影測(cè)量。
　　5.給出了典型子空間投影的幾何化解釋:當(dāng)兩個(gè)量子態(tài)ρ和ρ'可以用投影測(cè)量相聯(lián)系時(shí)，它們的典型子空間有漸進(jìn)包含的關(guān)系。這種關(guān)系說(shuō)明，典型子空間對(duì)應(yīng)著B(niǎo)loch球中的一個(gè)截平面。還證明了典型子空間投影測(cè)量對(duì)任意的ρ(×)n都是非破壞性測(cè)量，并可以分辨ρ是否在相應(yīng)的截平面上。
　　6.利用典型子空間投影

7、測(cè)量的幾何解釋及非破壞性，給出了一種估算未知密度算子的本征向量的方法。由于密度算子的本征向量?jī)H由Bloch球中的兩個(gè)平面所決定，可以通過(guò)一系列的連續(xù)投影測(cè)量，找到這兩個(gè)平面的取向，再通過(guò)簡(jiǎn)單幾何運(yùn)算即可得到本征向量的估計(jì)。
　　7.將經(jīng)典熵典型集的概念推廣到量子情形，給出了量子熵典型子空間的定義，并證明了其性質(zhì)。證明了熵較小的典型子空間會(huì)被熵較大的典型子空間所漸進(jìn)包含，利用這種關(guān)系，給出了一種量子通用信源編碼方案，能夠在僅知信源熵