麥克斯韋特征值問題的有限元分析.pdf

1、在微波工程中，波導(dǎo)和諧振腔都是十分重要的微波器件，這些微波器件廣泛地用于我們的現(xiàn)實(shí)生活中.在波導(dǎo)問題中，如果電磁波的頻率給定，那么傳播常數(shù)就是一個(gè)非常重要的物理參數(shù).在諧振腔問題中，諧振頻率是一個(gè)十分重要的物理參數(shù).當(dāng)波導(dǎo)橫截面不規(guī)則或者填充有非均勻介質(zhì)時(shí)，此時(shí)波導(dǎo)問題的解析解是很難找到的;當(dāng)腔體的幾何結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜或者填充有非均勻介質(zhì)時(shí)，此時(shí)諧振腔問題的諧振頻率的精確解也是很難找到的.但是我們往往需要知道這些微波工程器件的這些物理參數(shù)，

2、所以通常采用數(shù)值方法去近似求解它們.電磁學(xué)中的波導(dǎo)問題和諧振腔問題大多數(shù)是關(guān)于curl-curl算子特征值問題，這些特征值問題統(tǒng)稱為Maxwell特征值問題.關(guān)于Maxwell特征值問題的數(shù)值求解，如果數(shù)值算法使用不當(dāng)，數(shù)值結(jié)果中會(huì)產(chǎn)生偽的數(shù)值特征值.比如使用節(jié)點(diǎn)基有限元去求解非均勻波導(dǎo)問題時(shí)，數(shù)值結(jié)果中就會(huì)有偽特征值.好的數(shù)值算法必須能夠去除這些所有的偽特征值，并且計(jì)算量要盡量小，數(shù)值結(jié)果收斂到準(zhǔn)確解的速度要快.本文主要討論Maxwe

3、ll特征值問題的混合有限元法，其主要內(nèi)容包括:
　　第一章，我們回顧了電磁場(chǎng)理論，其中包括Maxwell方程組，本構(gòu)關(guān)系，邊界條件.然后我們回顧了有限元技術(shù)，同時(shí)也給出了常用的Green公式.最后我們給出了抽象代數(shù)中群的定義，這是因?yàn)樵诓▽?dǎo)問題那一章會(huì)用到.
　　第二章，傳統(tǒng)棱邊有限元法在求解矢量Maxwell特征值問題會(huì)導(dǎo)致非物理意義下零特征值出現(xiàn)，我們處理這個(gè)眾所周知的問題.對(duì)于填充有各向異性無損耗介質(zhì)的二維諧振腔問題，

4、本章使用混合有限元法成功的去除了這些非物理意義下的零模式.我們引入了一個(gè)拉格朗日乘子去處理散度自由條件的限制.我們的方法是基于CT/LN或者LT/QN棱邊基函數(shù)去展開電場(chǎng)矢量，P1或者P2節(jié)點(diǎn)基函數(shù)來展開拉格朗日乘子.數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明我們的方法能夠成功的移除所有非物理意義下的非零模式和零模式，并且驗(yàn)證了當(dāng)二維腔體具有連通的理想電導(dǎo)體邊界時(shí)，那么不存在物理意義下的零特征值.否則，物理零特征值的個(gè)數(shù)比不連通理想電導(dǎo)體邊界條件少一.數(shù)值實(shí)驗(yàn)也證明

5、了當(dāng)準(zhǔn)確特征函數(shù)的光滑性非常好時(shí)，高階混合有限元法能夠增強(qiáng)數(shù)值特征值的收斂階;當(dāng)準(zhǔn)確特征函數(shù)的光滑性非常不好時(shí)，高階混合有限元不能改善數(shù)值特征值的收斂階，可能需要局部網(wǎng)格加密技術(shù).
　　第三章，基于抽象代數(shù)中交換群論的思想，對(duì)于填充有均勻各向異性無損耗介質(zhì)的波導(dǎo)問題，我們找到在此波導(dǎo)中存在獨(dú)立TE模式和TM模式的充分條件.對(duì)于獨(dú)立的TE模式，我們從理論上證明了分別使用磁場(chǎng)縱向構(gòu)件和電場(chǎng)橫向構(gòu)件去模擬這些TE模式所得到的非零截止波數(shù)

6、是相同的.對(duì)于獨(dú)立的TM模式，我們從理論上證明了分別使用電場(chǎng)縱向構(gòu)件和磁場(chǎng)橫向構(gòu)件去模擬這些TM模式所得到的非零截止波數(shù)也是相同的.我們開展了一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證我們建立的條件的正確性.在微波工程界，我們希望這個(gè)條件的提出對(duì)于填充有均勻各向異性無損耗介質(zhì)的波導(dǎo)設(shè)計(jì)是有幫助的.最后我們根據(jù)無源的Maxwell方程組給出了非均勻各向異性無損耗介質(zhì)中波導(dǎo)的支配方程，并且我們利用混合有限元法求解了一個(gè)填充有非均勻各向同性介質(zhì)的波導(dǎo)問題.
　

7、　第四章，我們處理三維諧振腔問題，這個(gè)問題就是使用傳統(tǒng)的棱邊有限元法去求解三維諧振腔問題會(huì)導(dǎo)致非物理意義下的零模式.本章主要研究填充有各向異性無損耗介質(zhì)的三維諧振腔問題，該腔體的幾何結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，并且該腔體的邊界是由理想電導(dǎo)體壁組成的.本章節(jié)中的方法能夠成功消滅所有非物理意義下的非零模式和零模式.我們引入了一個(gè)拉格朗日乘子去處理散度自由條件的限制.我們的方法是基于CT/LN棱邊元基函數(shù)去展開電場(chǎng)矢量，線性元基函數(shù)去展開拉格朗日乘子的混合

8、有限元法.同時(shí)，我們的方法被推廣到使用LT/QN棱邊基函數(shù)去展開電場(chǎng)矢量，P2節(jié)點(diǎn)基函數(shù)去展開拉格朗日乘子的二階混合有限元法.一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了我們方法的有效性.與此同時(shí)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)三維腔體僅有一個(gè)連通的理想電導(dǎo)體邊界時(shí)，那么不存在有物理意義下的零模式;當(dāng)三維腔體有一些不連通的理想電導(dǎo)體邊界時(shí)，那么物理零模式的個(gè)數(shù)比不連通理想電導(dǎo)體邊界的個(gè)數(shù)少一.由于腔體問題數(shù)值求解的計(jì)算量特別大，特別是三維的諧振腔問題.對(duì)于諧振腔問題的數(shù)值計(jì)算，

9、我們發(fā)展了一種新的二網(wǎng)格方案.數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明這種新方案也能夠去除所有非物理意義下的非零模式和零模式，并且新方案能夠有效地降低計(jì)算量.
　　第五章，我們列出了一些在計(jì)算電磁學(xué)中具有挑戰(zhàn)性的問題，其中包括帶有電導(dǎo)率損耗介質(zhì)的三維諧振腔問題，填充無損耗介質(zhì)的開放三維諧振腔問題.關(guān)于帶有電導(dǎo)率損耗介質(zhì)的三維諧振腔問題，這是一個(gè)非線性PDE特征值問題.直到現(xiàn)在，這個(gè)問題還沒有被一種好的數(shù)值方法所徹底解決.當(dāng)然，這個(gè)新的數(shù)值方法必須去除所有非物