波動方程特征值問題的新型超收斂有限元分析方法.pdf

1、有限元方法是目前結構分析領域應用最為廣泛的一種數(shù)值方法。自振頻率計算作為結構分析中的一個重要內(nèi)容，可歸結為典型的特征值問題，例如:一維波動方程可描述桿結構振動，其特征值為桿結構自振頻率;二維波動方程可描述膜結構振動，相應的特征值為膜結構自振頻率;三維波動方程可描述聲壓在空間中的傳播，其特征值為聲壓的振動頻率。采用有限元法求解波動方程特征值問題時，質(zhì)量矩陣的構造方法會直接影響振動頻率的計算精度。因而，如何構造可使自振頻率有更高收斂階次及精

2、度的高階質(zhì)量矩陣具有重要的研究價值。然而，目前的高階質(zhì)量矩陣多限于一維和二維低階單元，并且二維高階質(zhì)量矩陣所得頻率計算精度依賴于波的傳播方向，不能同時提高各階頻率的收斂階次及精度。此外，目前對于任意階單元并沒有統(tǒng)一的高階質(zhì)量矩陣構造方法。
　　本文針對波動方程特征值問題有限元分析，提出了一種適用于任意階單元和維數(shù)的新型超收斂有限元分析方法。首先，在Lobatto單元的基礎上提出了任意階一維桿單元高階質(zhì)量矩陣的統(tǒng)一構造方法。該方法采

3、用了一種新的質(zhì)量矩陣構造模式—α矩陣，通過優(yōu)化參數(shù)α可直接構造任意階Lobatto桿單元的高階質(zhì)量矩陣。相較于傳統(tǒng)的一致質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣，采用高階質(zhì)量矩陣的頻率計算精度可以提高2階。隨后，對于二維平面膜結構振動問題和三維波動問題，提出了一種基于積分點的新型超收斂有限元分析方法，該方法中采用的新型積分點是通過對比分析一維高階質(zhì)量矩陣確定的。本文提出的新型超收斂有限元分析方法完全消除了超收斂計算中頻率的波動方向依賴性，可使任意階頻率的