保險和行為金融中的均值-方差最優(yōu)控制問題.pdf

1、隨著金融和保險市場的發(fā)展，風(fēng)險理論已經(jīng)成為金融數(shù)學(xué)和保險精算中的重要研究方向之一，金融風(fēng)險管理是指公司利用金融工具來管理其風(fēng)險，金融風(fēng)險可以用一定的數(shù)學(xué)模型來量化，金融風(fēng)險控制的核心是在什么時候以怎樣的方式來通過金融衍生產(chǎn)品控制公司運營過程中產(chǎn)生的風(fēng)險。
　　 投資理論是研究投資者在一定的目標下選擇什么樣的策略對自己的資產(chǎn)進行投資的理論．它包括投資組合選擇理論，標的資產(chǎn)定價模型，套利定價理論，有效市場假設(shè)等，其中投資組合選擇理論

2、是指通過選擇一定的資產(chǎn)配置方案，對于給定的投資組合風(fēng)險以最大化投資組合的期望收益為目標，或者對于給定的期望收益以最小化投資組合的風(fēng)險為目標．
　　 基于上面的背景以及風(fēng)險分析在金融和保險中越來越重要的地位，我的博士論文主要致力于以下三方面問題的研究．首先是保險中的均值-方差最優(yōu)投資問題，其次是行為金融學(xué)中的均值-方差投資組合選擇問題，最后是投資連結(jié)壽險合同的風(fēng)險對沖問題。我的博士論文的目標在于建立與實際問題更貼近的數(shù)學(xué)模型，并盡

3、可能的對最優(yōu)問題給出明確解，以使得最終的結(jié)果對實踐能起到一個很好的指導(dǎo)作用，使得所得最優(yōu)策略具有可操作性，為了使結(jié)果更加直觀，容易理解，我們給出一些具體的數(shù)值例子以及圖表來直觀地說明我們的結(jié)論．下面將簡要介紹各個章節(jié)的內(nèi)容。
　　 在第1章中，我們對保險中的最優(yōu)投資問題，均值-方差投資組合選擇，行為金融學(xué)，投資連結(jié)壽險合同的對沖等的歷史背景以及研究現(xiàn)狀做一個簡要回顧．
　　 在第2章中，我們研究了在均值，方差準則下保險人

4、的最優(yōu)投資問題。包括多個風(fēng)險資產(chǎn)模型下的最優(yōu)投資問題，賣空限制下的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險問題，馬氏調(diào)節(jié)模型下的均值．方差最優(yōu)問題，跳-擴散金融市場模型下的均值-方差問題，以及破產(chǎn)限制下的最優(yōu)投資及最優(yōu)再保險問題．
　　 我們首先簡單介紹第2章研究的背景以及我們要建立第2章的模型的原因。其次將介紹第2章各個小節(jié)研究的主要內(nèi)容，方法和結(jié)論．
　　 均值-方差投資組合選擇理論是由Markowitz(1952)[43]提出的，現(xiàn)在

5、已經(jīng)成為現(xiàn)代金融學(xué)中的重要理論基礎(chǔ)之一．均值-方差投資組合選擇理論是指通過一定的資產(chǎn)配置，使得投資組合在未來某一固定時刻的收益和風(fēng)險達到某種最優(yōu)．Markowitz(1952)[43]研究了單周期的均值-方差最優(yōu)投資組合的構(gòu)造，其中風(fēng)險和收益分別通過投資組合的方差和數(shù)學(xué)期望來刻畫。Markowitz(1952)[43]首先給出了方差最小投資組合選擇問題，即固定投資組合的數(shù)學(xué)期望，使得投資組合的方差達到最小，這樣得到的投資組合稱為方差最小

6、投資組合．如果這個投資組合使得在所有與其方差相同的投資組合中達到期望最大，那么這個投資策略被稱為有效策略（有效投資組合）．有效投資組合所產(chǎn)生的均值和方差在二維空間的集合稱為有效前沿。從此，均值．方差準則成為金融理論中衡量風(fēng)險的一個重要準則。見參考文獻Melton(1972)[47]等。在2000年以前，即隨機線性二次型控制(stochastic linear quadratic control)理論發(fā)展起來之前，關(guān)于均值一方差問題的研究

7、主要局限于離散時間．之后，由于利用隨機線性二次型控制理論的知識，可以得到這類問題的顯式解，一系列文章開始考慮連續(xù)時間Markowitz模型。參見Zhou and Li(2000)[70],Li,Zhou and Lira(2002)[35],Lim and Zhou(2002)[36]以及Bielecld etal.(2005)[6]等。
　　 最近幾年，因為保險公司可以在金融市場中進行投資，保險人對金融市場的最優(yōu)投資問題受到越

8、來越多的關(guān)注．最先研究這類問題的是Browne(1995)[7]，其目標是最大化終端資產(chǎn)的期望效用，效用函數(shù)是常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)(expected constant absolute riskaversion(CARA) utiliW)．在Hipp and Plum(2000)[26]-文中，保險人可以投資到一個風(fēng)險資產(chǎn)和一個無風(fēng)險資產(chǎn)中，目標是最小化破產(chǎn)概率。之后，有一系列文章考慮不同準則下和不同風(fēng)險模型中，保險人的最優(yōu)投資問題，如

9、Gaier et al．(2003)[21]和Wang，Xia and Zhang(2007)[64]等。Wang，Xia and Zhang(2007)[64]把均值-方差準則應(yīng)用到保險人的最優(yōu)投資問題中。他們假設(shè)保險人可以投資到一個風(fēng)險資產(chǎn)和一個無風(fēng)險資產(chǎn)中，利用鞅方法得到了均值一方差準則下的最優(yōu)投資策略，受上述工作的啟發(fā)，在第2章中，我們將考慮均值．方差準則下，保險人的最優(yōu)投資問題．
　　 為了規(guī)避較大的風(fēng)險，保險人經(jīng)常會

10、進行再保險。已經(jīng)有一些文章研究最優(yōu)再保險問題，如Schmidli(2002)[55]，B(a)uerle(2005)[8]，Bai and Zhang(2008)[4]等．他們假設(shè)風(fēng)險過程是復(fù)合Poisson過程或者帶漂移的布朗運動，其中某些變量，如再保險策略，投資策略等是動態(tài)的。在不同的最優(yōu)準則下得到的最優(yōu)再保險策略有很大的不同。在第2.2節(jié)，2.4節(jié)以及2.5節(jié)中，我們假設(shè)保險公司可以進行再保險，以分擔較大的風(fēng)險。
　　 為

11、了使得模型與實際的金融市場更接近，以更好地描述金融市場的變化，常常用馬氏調(diào)節(jié)(Markov-modulated)模型(參考文獻中有時候稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)換(Regime-switching)模型）來描述金融市場。Hardy(2001)[24]對現(xiàn)實金融數(shù)據(jù)的的實證分析表明，相比于其他常用的金融市場模型，馬氏調(diào)節(jié)的金融市場模型更接近于真實的金融市場．在這個模型中，描述金融市場的模型參數(shù)將在有限數(shù)量的狀態(tài)之間進行轉(zhuǎn)換。在第2.3節(jié)中，我們研究了馬氏

12、調(diào)節(jié)金融市場模型中，保險人的最優(yōu)均值．方差投資問題。
　　 在許多金融學(xué)參考文獻中都假設(shè)股票的價格過程服從擴散型的隨機過程，例如在著名的Black-Scholes-Merton金融市場中，股票（標的資產(chǎn)）價格是用幾何布朗運動來描述的。但在實際的金融市場中，往往會有突發(fā)狀況出現(xiàn)，這會導(dǎo)致股票價格有一個跳。把跳加入到股票價格中的一個經(jīng)典方法是用所謂的跳擴散模型來描述股票價格，最先提出跳擴散模型的是．Mertin（1973）[48]．

13、在跳擴散模型中，股票價格可能跳到某一個新的水平，然后再服從幾何布朗運動。其他的跳擴散模型參見參考文獻Zhou(1997)[69]，以及Schmidt and Stute(2007)[56]等。在第2.4節(jié)中，我們考慮了跳擴散金融模型下，保險人的最優(yōu)均值-方差投資問題。
　　 不允許賣空股票和不允許破產(chǎn)對保險公司來說，是很符合實際操作的，在第2.2節(jié)和第2.5節(jié)中，我們分別考慮了賣空限制和破產(chǎn)限制下，保險人的均值-方差最優(yōu)投資問題

14、。
　　 下面我們將簡要介紹第2章各小節(jié)研究的內(nèi)容，方法及主要結(jié)論．
　　 2.1節(jié)考慮了多個資產(chǎn)模型中保險人的均值-方差最優(yōu)投資問題，假設(shè)索賠過程是復(fù)合Poisson過程，保險人可以投資一個無風(fēng)險資產(chǎn)和多個風(fēng)險資產(chǎn)．利用隨機線性二次型最優(yōu)控制理論中的Hamilton-Jacobi-Belman(HJB)方程方法，我們得到了問題的有效前沿和有效策略（最優(yōu)投資策略）。
　　 2.2節(jié)考慮了賣空限制下保險人的均值．方

15、差最優(yōu)投資問題以及最優(yōu)再保險問題．我們的風(fēng)險模型是古典風(fēng)險模型，即假設(shè)索賠過程是復(fù)合Poisson過程。利用隨機線性二次型最優(yōu)控制理論，我們得到了HJB方程的粘性解。由于我們得到的是HJB方程的粘性解而非經(jīng)典解，F(xiàn)leming and Soner(1993)[18]關(guān)于跳擴散模型的HJB方程古典解的驗證定理不能使用．同時由于模型中有跳過程，Zhou，Yong and Li(1997)[72]關(guān)于擴散模型HJB方程粘性解的驗證定理也不可以

16、用，因此我們給出了一個適用于我們的帶跳模型的HJB方程粘性解的驗證定理．
　　 在2.3節(jié)中，我們考慮了馬氏調(diào)節(jié)的金融市場中，保險人的均值-方差最優(yōu)投資問題．假設(shè)保險人可以投資到一個無風(fēng)險資產(chǎn)和一個風(fēng)險資產(chǎn)中，其中資產(chǎn)的價格是由馬氏鏈驅(qū)動的模型，即模型中的參數(shù)可以在馬氏鏈的幾個狀態(tài)之間進行轉(zhuǎn)換．目標是在固定投資組合終端期望的條件下，最小化投資組合的方差。利用Lagrange乘子的方法，我們把有約束條件的最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為無約束的最優(yōu)

17、問題，然后通過求解三個常微分方程組，我們可以得到該問題的顯式最優(yōu)解。結(jié)論顯示，在沒有狀態(tài)轉(zhuǎn)換的情況下，我們的結(jié)果與Wang，Xia and Zhang(2007)[64]一文的結(jié)果相同。
　　 在2.4節(jié)中，我們研究了跳擴散金融市場中，保險人的均值-方差最優(yōu)投資以及再保險問題。我們假設(shè)保險人的索賠過程仍是復(fù)合Poisson過程，保險人可以投資到一個無風(fēng)險資產(chǎn)和一個風(fēng)險資產(chǎn)中，保險人可以進行再保險，股票價格過程是跳擴散模型。利用2

18、.2節(jié)中我們給出的HJB方程粘性解的驗證定理，可以得到原問題的最優(yōu)投資和再保險策略。
　　 在2.5節(jié)中，我們考慮了破產(chǎn)限制下保險人的最優(yōu)投資以及最優(yōu)再保險問題。假設(shè)保險公司的資產(chǎn)在考慮的時間段內(nèi)的任何時刻均為非負，即不能破產(chǎn)。假設(shè)保險人的索賠過程是擴散過程，保險人可以投資到一個無風(fēng)險資產(chǎn)和多個風(fēng)險資產(chǎn)中。我們用Pliska(1982)[51]，Pliska(1986)[52]，Bielecki et al.(2005)[6]等

19、文中的分解方法來解決這個問題．即把原問題分解成兩個子問題，第一個子問題是找到一個非負的隨機變量，使得在滿足兩個限制條件的情況下，這個隨機變量的方差達到最小，第二個子問題是把第一個子問題中得到的隨機變量作為終端財富，這個最優(yōu)終端財富的對沖策略就是我們要找的最優(yōu)策略。然后利用HJB方程古典解的驗證定理，就可以得到原問題的有效前沿和有效策略。
　　 在第3章中，我們建立了連續(xù)時間的行為均值-方差投資組合選擇問題并利用分位數(shù)的方法對該問

20、題進行了研究，包括資產(chǎn)非負約束條件（在保險上可以理解為不允許破產(chǎn)）下的連續(xù)時間行為均值-風(fēng)險投資組合選擇問題，扭曲的均值半方差投資組合選擇問題，以及更一般的行為均值-方差投資組合選擇問題等。
　　 我們首先簡單介紹第3章研究的背景以及我們要建立第3章的模型的原因，然后將介紹第3章各個小節(jié)研究的主要內(nèi)容，方法和結(jié)論．
　　 盡管投資組合選擇理論在實際金融市場中被廣泛應(yīng)用，甚至Markowitz等人還因此獲得諾貝爾獎，但最近

21、一些年來，一些學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)投資組合選擇理論的一些基本假設(shè)是不符合實際的，因此有人開始研究行為金融學(xué)．
　　 行為金融學(xué)將心理學(xué)尤其是行為科學(xué)的理論融入到金融學(xué)之中．這是最近才新興起來的一門學(xué)科。它通過分析金融市場主體在市場中的行為來建立一種能正確反映市場主體實際決策行為和市場運行狀況的模型．
　　 我們知道現(xiàn)代金融學(xué)投資組合選擇理論很多是在期望效用理論的框架下進行研究的，比如最大化期望效用，均值-方差最優(yōu)問題等。然而，2

22、0世紀80年代對金融市場的大量實證研究發(fā)現(xiàn)，期望效用理論作為風(fēng)險的一種度量，其一些基本假設(shè)是與實際相違背的，因此在此基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了一系列新的理論。于是就出現(xiàn)了行為金融學(xué)的萌芽，即Yarri的“對偶選擇理論”(Yarri(1987)[67])，他試圖解決與期望效用理論相關(guān)的一些悖論。該理論的核心是對概率分布函數(shù)做個扭曲，而效用函數(shù)理論則是用效用函數(shù)對投資者的資產(chǎn)做個扭曲。Yarri(1987)[67]指出概率扭曲函數(shù)用另一種不同的方式體現(xiàn)

23、了風(fēng)險的表現(xiàn)形式。
　　 其他沿著行為金融學(xué)這個框架發(fā)展的有SP/A理論以及前景理論。SP/A理論由Lopes(1987)[39]提出，并由Lopes and Oden(1999)[40]進一步發(fā)展，其中S代表安全性(secuity)，P代表增值潛力(potential)，A代表財富渴求(aspiration)，該理論是研究行為決策者在不確定情況下進行選擇的心理理論，概率扭曲函數(shù)在SP/A理論中被稱為累積權(quán)重函數(shù)。前景理論由Ka

24、hneman and Tversky(1979)[31]以及Tversky andKahneman(1992)[61]提出，是描述性的一個行為決策模型．Kahneman因此獲得2002年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。最近幾年，有些學(xué)者將行為金融學(xué)的上述理論應(yīng)用到投資組合選擇理論中來，比如Levy and Levy(2004)[34]，Gomes(2005)[22]，Jin and Zhou(2008)[30]，He and Zhou(2010)[2

25、5]等．
　　 將行為金融學(xué)引入到投資組合選擇問題中后，會出現(xiàn)很大的困難。從數(shù)學(xué)上來說，由于概率扭曲函數(shù)往往是非線性的，導(dǎo)致扭曲后的概率以及相應(yīng)的量，比如數(shù)學(xué)期望，不再有線性性，這破壞了動態(tài)規(guī)劃方法所必需的時間一致性以及凸對偶方法所必需的凸性，導(dǎo)致這些解決隨機最優(yōu)控制問題的方法不能使用．Jin and Zhou(2008)[30]，Heand Zhou(2010)[25]開創(chuàng)了分位數(shù)方法解決這個問題，即通過選擇隨機變量的概率分布

26、函數(shù)的逆函數(shù)來代替選擇隨機變量本身。Jin and Zhou(2008)[30]在Kahneman andTversky's的前景理論的基礎(chǔ)上，考慮了連續(xù)時間行為投資組合選擇問題，其中效用函數(shù)是S型的，概率扭曲函數(shù)是一般的函數(shù)。他們引進了分位數(shù)的方法來解決由于概率扭曲產(chǎn)生的問題。He and Zhou(2010)[25]考慮了在完全市場以及不完全市場兩類金融市場中，有概率扭曲的連續(xù)時間行為投資組合選擇模型，他們采用的是分位數(shù)的方法，即通

27、過一系列的轉(zhuǎn)換，把終端財富的分位數(shù)函數(shù)作為要選擇的對象，而不是終端財富本身。受以上工作的啟發(fā)，我們將在第3章中利用分位數(shù)的方法考慮連續(xù)時間的行為均值，方差投資組合選擇問題。
　　 Markowitz(1952)[43]首先提出了單周期的均值-方差投資組合選擇模型，用隨機變量的數(shù)學(xué)期望來衡量收益，用其方差來衡量風(fēng)險，從此之后，均值-方差準則成為金融理論中衡量風(fēng)險的一個重要準則。然而也有一些學(xué)者認為把方差作為衡量風(fēng)險的度量是不妥當?shù)?/p>

28、。對均值-方差準則一個很重要的批判是，方差中超過均值的部分不該作為風(fēng)險。因為風(fēng)險越小越好，而超過均值的部分則是越大越好，所以這一部分不該被作為風(fēng)險來考慮，因此，一些學(xué)者提出了變形后的風(fēng)險度量，比如下側(cè)風(fēng)險(downside risk)．即只把低于期望的那一部分作為風(fēng)險度量考慮的對象。Markowitz(1959)[44]也承認作為風(fēng)險的度量，半方差似乎比方差更加合理。
　　 Jin,Yan and Zhou(2005)[29]考

29、慮了連續(xù)時間均值-半方差問題，他們的主要結(jié)論是，連續(xù)時間的均值．半方差問題的最優(yōu)解不存在，但是可以構(gòu)造一系列策略，使得對應(yīng)的終端財富的期望保持在一個給定的水平，同時其半方差可以無限接近某一個極限值。這種負面的結(jié)果啟發(fā)了他們考慮均值-下側(cè)風(fēng)險投資組合選擇問題，他們發(fā)現(xiàn)結(jié)果與均值-半方差問題類似，即不存在最優(yōu)解。這種負面的結(jié)論表明均值-半方差問題不能很好的描述投資者的風(fēng)險厭惡的情況。因此，在第3.2節(jié)中，我們把投資者的行為考慮進去，建立了更

30、符合現(xiàn)實世界中投資者心理的模型，即行為均值-半方差模型，利用分位數(shù)的方法，可以得到問題的顯式解，結(jié)論顯示，對于某些概率扭曲函數(shù)，該問題的最優(yōu)解是存在的。
　　 下面我們簡要介紹一下第3章各小節(jié)研究的內(nèi)容，方法及主要結(jié)論。
　　 在3.1節(jié)中，我們考慮了非負約束下的行為均值-風(fēng)險投資組合選擇問題，在原均值-方差問題的基礎(chǔ)上，用概率扭曲函數(shù)對概率分布尾函數(shù)做一個扭曲．由于扭曲后的概率沒有線性性，這個問題不再是一個凸最優(yōu)問題，

31、因此不能用傳統(tǒng)的隨機線性二次型控制的理論解決該問題。我們用分位數(shù)的方法來解決本節(jié)的問題，首先用與2.5節(jié)相同的方法，把原問題分解成兩個子問題。然后用分位數(shù)的方法解決第一個子問題，即通過一系列變換，把尋找最優(yōu)的隨機變量（代表了終端財富）的問題轉(zhuǎn)化為尋找這個隨機變量的分位數(shù)函數(shù)的問題，然后該問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的凸最優(yōu)問題。利用凸最優(yōu)理論可以得到最優(yōu)的分位數(shù)函數(shù)，之后再通過反變換即可得到最優(yōu)的終端財富。求解第二個子問題所得到的對應(yīng)于這個最優(yōu)終端財

32、富的對沖策略即為原問題的最優(yōu)策略。
　　 3.2節(jié)研究了扭曲后的均值．半方差最優(yōu)問題。收益定義為扭曲后的數(shù)學(xué)期望(Choquet數(shù)學(xué)期望)，風(fēng)險則為扭曲后的下側(cè)方差。我們的目標是尋找收益最高，同時風(fēng)險最小的投資組合。利用分位數(shù)的方法可以得到這個問題的顯式解。如前所述，在沒有扭曲的情況下，傳統(tǒng)的均值-半方差問題的最優(yōu)解是不存在的．然而，我們的結(jié)論顯示，對于某些扭曲函數(shù)，扭曲后的均值-半方差問題的最優(yōu)解是存在的，同時，我們還給出了最

33、優(yōu)解的顯式表達式．這也從側(cè)面說明了扭曲后的模型能更好地描述投資者的風(fēng)險厭惡情況，證明了研究行為金融學(xué)是有很重要的現(xiàn)實意義的。我們把概率扭曲函數(shù)分為三大類：使得原問題無可行解的概率扭曲，使得原問題有可行解但沒有最優(yōu)解的概率扭曲，使得原問題有可行解也有最優(yōu)解的概率扭曲。沒有扭曲的情況，即傳統(tǒng)的均值-半方差問題即屬于第二類。對于第三類，我們給出了最優(yōu)解的清晰表達式。本節(jié)的主要貢獻在于：一，由于概率扭曲的加入，模型的可行性不再是必然的，我們給出

34、了可行解存在的充分必要條件；二，我們給出了在可行解存在的情況下，最優(yōu)解存在的充分必要條件，這個條件是概率扭曲函數(shù)和金融市場所要滿足的條件；三，在最優(yōu)解存在的情況下，我們給出了其清晰表達式，并給出了有效前沿及有效策略。
　　 在3.3節(jié)中，我們考慮了更一般的連續(xù)時間行為均值-方差問題。與前面兩節(jié)類似，用分位數(shù)的方法，可以得到該問題的解。
　　 在第4章中，我們研究了投資連結(jié)壽險合同的風(fēng)險對沖問題，包括由shot-noise

35、過程驅(qū)動的金融市場中投資連結(jié)壽險的風(fēng)險最小對沖問題，均值-方差準則下投資連結(jié)壽險的對沖問題。
　　 在完全金融市場中，有唯一的一個對應(yīng)于規(guī)范概率測度的等價鞅測度，使得折現(xiàn)價格過程是一個鞅，因此任何一個未定權(quán)益都可以完全對沖。在不完全的金融市場中，由于不存在唯一的一個等價鞅測度，因此不能用等價鞅測度的方法完全對沖未定權(quán)益。所以，要有一個附加的最優(yōu)準則，在此最優(yōu)準則下，從眾多的測度中選擇一個合適的鞅測度來對沖未定權(quán)益。最近幾年，有很

36、多的方法和準則被用來研究此類問題。
　　 在4.1節(jié)中，我們用Folllmer-Schweizer最小鞅測度的理論來解決投資連結(jié)壽險合同的對沖問題。最小鞅測度是使得原模型的結(jié)構(gòu)改變最小的鞅測度．相對應(yīng)的對沖策略被稱為局部風(fēng)險最小對沖策略。不完全市場中的風(fēng)險最小對沖問題最早由Follmerand Sondermann(1986)[20]提出，他們利用Galt choulc-Kunita-Watanabe(G-K-W)分解構(gòu)造出了風(fēng)

37、險最小對沖策略。隨后該理論由Schweizer(1991)[57]，Schweizer(1994)[58]，Schweizer(2001)[59]以及MoIler(1998)[49]進一步發(fā)展。在Riesner(2006)[53]和vandaeleand Vanmaele(2008)[62]中，金融市場是由Chan(1999)[9]提出的由L6vy過程驅(qū)動的不完全金融市場．
　　 在許多金融學(xué)的參考文獻中，股票價格過程是由幾何布

38、朗運動來描述的，但在實際的金融市場中，由于受外部突發(fā)因素的影響，股票價格會有一個跳，之后這種影響可能會隨著時間的過去而全部消失或者部分消失。Merton(1973)[48]所描述的跳-擴散模型可以描述股票價格出現(xiàn)的跳，在跳出現(xiàn)之后，股票過程將在此基礎(chǔ)上，服從一個新的幾何布朗運動，就是說跳將始終影響股票價格．這種跳擴散過程不能很好的描述隨著時間的流逝，外部因素對股票價格出現(xiàn)的影響可能會全部或者部分消失的情形，因此在4.1節(jié)中，我們用sho

39、t-noise過程來描述股票價格中出現(xiàn)的跳。我們研究了在由shot-noise驅(qū)動的金融市場中，投資連結(jié)壽險合同的風(fēng)險最小對沖問題。由于這樣的金融市場是不完全市場，保險合同作為一個不定權(quán)益，其風(fēng)險不能完全對沖，剩余的風(fēng)險由保險人來承擔。4.1節(jié)研究選擇什么樣的對沖策略可以使保險人的剩余風(fēng)險達到最小。利用如前所述的G-K-W分解，我們構(gòu)造出了該問題的局部風(fēng)險最小對沖策略。在這一節(jié)中，我們考慮了兩類基本的投資連結(jié)壽險合同：純生存保險(pur

40、eendowment unit-linked contracts)和定期人壽保險(the term insurance unit-linked contracts)．并假設(shè)保費在期初一次性收取。
　　 在4.2節(jié)中，我們引進了均值-方差準則作為投資連結(jié)壽險合同的風(fēng)險對沖問題的最優(yōu)準則。
　　 在第5章中，我們研究了帶交易費用和分紅的保險人的最優(yōu)投資以及最優(yōu)分紅問題。分紅是指公司將部分盈余分給股東或初始準備金的提供者。所以

41、總的分紅量從某種意義上反應(yīng)了一個公司的效益和實力。因此如何選擇一個分紅策略或采取某種措施（例如再保險和投資）使得破產(chǎn)之前的分紅量達到最大一直以來都是金融和保險領(lǐng)域中最熱門的研究話題之一，在第5.1節(jié)中，我們考慮了在帶交易費用的情形下，保險人的最優(yōu)分紅問題．
　　 第G章對博士論文進行了小結(jié)，并給出了將來可能的研究方向。我的博士畢業(yè)論文主要是通過Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程．Pareto最優(yōu)，分位數(shù)

42、等理論解決了保險風(fēng)險理論中的均值-方差最優(yōu)投資，最優(yōu)再保險，最優(yōu)分紅等問題；行為金融學(xué)中的均值．方差最優(yōu)投資組合選擇問題；以及投資連結(jié)壽險合同的風(fēng)險對沖問題．上面對所研究的問題以章節(jié)為單位進行了分類介紹。下面將從各個章節(jié)的創(chuàng)新點對他們的內(nèi)容進行概括性的總結(jié)。
　　 (1)2.2節(jié)給出了一類新的HJB方程粘性解的驗證定理。
　　 (2)對文章中出現(xiàn)的隨機最優(yōu)控制問題，我們不再局限于用HJB方程的方法來解決，在第3章中，我們

43、用分位數(shù)的方法來解決動態(tài)規(guī)劃以及凸最優(yōu)理論所不能解決的問題。
　　 (3)在許多金融學(xué)參考文獻中都假設(shè)股票的價格過程服從擴散型的隨機過程，但在實際的金融市場中，往往會有突發(fā)狀況出現(xiàn)，這會導(dǎo)致股票價格有一個跳。因此我們考慮了一系列帶跳的股票價格模型。例如第2.4節(jié)中由復(fù)合Poisson過程驅(qū)動的跳，以及第4.1節(jié)中由shot-noise驅(qū)動的跳。
　　 (4)為了使模型更接近真實的金融市場，在第2.3節(jié)，我們用馬氏調(diào)節(jié)模型

44、來描述金融市場。
　　 (5)保險公司作為一個特殊的金融機構(gòu)，其投資行為是要受到一定約束的。在第2.2節(jié)，我們考慮了在賣空限制下，保險人的最優(yōu)投資問題．在第2.5節(jié)中，我們考慮了在破產(chǎn)限制下，保險人的最優(yōu)投資問題。這兩種限制對保險人而言，都是符合實際而且合理的限制。
　　 (6)為了把決策者的心理行為考慮進來，我們在第3章考慮了行為金融學(xué)．第3.2節(jié)的結(jié)論表明，把行為金融學(xué)應(yīng)用到投資組合選擇問題之后的模型能更好地描述投資