過完備字典下的稀疏信號重構(gòu)研究.pdf

1、稀疏性是自然界信號普遍存在的一種特性，是指信號的非零變換系數(shù)數(shù)量遠小于信號的長度。信號稀疏性的存在使得相關信息的提取變得更加快速有效，從而減少信號獲取和處理過程中的成本。壓縮傳感是一種利用信號稀疏性的全新數(shù)據(jù)采樣模式，信號重構(gòu)是壓縮傳感中的關鍵理論部分。目前所提出的信號重構(gòu)理論僅適用于正交基下的稀疏信號，無法滿足實際應用中所遇到的多種信號類型，而在通常情況下，大部分類型的信號能找到關于過完備字典的稀疏表示，把適用信號范圍推廣到過完備字典

2、下的稀疏信號可以增加應用上的靈活性；并且，用過完備字典來近似表示信號，可以極大的減少近似畸變和均方差，有效表現(xiàn)信號的稀疏性。本文將壓縮傳感中的信號重構(gòu)理論擴展到更為常見的過完備字典下的稀疏信號，研究了過完備字典下的稀疏信號重構(gòu)算法，并考慮了現(xiàn)實世界中所存在的不同噪聲對重構(gòu)精度的影響，構(gòu)建出完整的噪聲干擾模型，最后把所得到的理論結(jié)果應用到小波域稀疏信號的重構(gòu)。本文的主要研究工作如下：
　　 (1)信號重構(gòu)的精度與傳感矩陣和過完備字

3、典的性質(zhì)密切相關，目前還缺乏一種可以完整描述傳感矩陣和過完備字典對聯(lián)合性質(zhì)的統(tǒng)計量，針對該問題提出了兩種基于相關度的統(tǒng)計方法--直方圖統(tǒng)計和分組衡量，分別用于獲取傳感矩陣和過完備字典對的全局信息和局部信息，從而為精確重構(gòu)原始信號提供可靠的前提條件。
　　 (2)l1范數(shù)最小化信號法和l1范數(shù)最小化系數(shù)法是兩種表達式類似的l1。范數(shù)最小化重構(gòu)算法，本文從幾何角度深入分析了兩種重構(gòu)算法的異同，提出了用單一高維多面體映射兩者的求解代數(shù)

4、表達式和最終結(jié)果的方法，研究了兩者在采用過完備字典時多面體結(jié)構(gòu)上的差異和兩種算法的先驗條件，為選擇合適的算法提供了理論依據(jù)。
　　 (3)針對噪聲對信號重構(gòu)精度的影響，構(gòu)建了一個完整的噪聲干擾模型衡量不同噪聲來源、不同噪聲類型和不同采樣方式下，噪聲對重構(gòu)誤差的影響。利用最小均方法檢驗了誤差影響，證明了約束等距性常數(shù)不是決定重構(gòu)誤差的唯一因素，給出了重構(gòu)誤差能量均值、噪聲和支撐集內(nèi)傳感矩陣三者間的關系表達式。通過將三種典型檢測器噪

5、聲導致的誤差與直接采樣稀疏信號產(chǎn)生的誤差進行比較，證明了壓縮采樣方式可以有效減小檢測噪聲引起的誤差。針對應用中傳感矩陣實現(xiàn)過程中產(chǎn)生的噪聲，分析了傳感矩陣噪聲對傳感矩陣約束等距性的影響，證明了傳感矩陣噪聲對傳感子矩陣的影響表現(xiàn)為一個關于相對噪聲水平的線性函數(shù)。仿真試驗驗證了推導的重構(gòu)誤差表達式的正確性。
　　 (4)針對基追蹤等基本重構(gòu)算法在利用信號結(jié)構(gòu)性稀疏方面的欠缺性，本文在研究小波系數(shù)在尺度和時間上存在依賴關系的基礎上，提

6、出了一種針對光滑信號的小波系數(shù)分布規(guī)律的快速重構(gòu)算法——異權重迭代法，該算法通過利用變換系數(shù)的先驗信息對小波系數(shù)分組并施加不同權重值，提高了每次迭代結(jié)果的稀疏度，減少了算法中的迭代次數(shù)。由于在重構(gòu)信號時需要使用過完備小波字典對應的矩陣表達式，本文在推導了正交小波變換所對應的矩陣形式的基礎上給出了過完備小波字典所對應矩陣的生成方法。
　　 (5)為了檢驗本文提出的信號重構(gòu)算法在實際應用中的效果，本文將其應用于自然圖像的去噪處理。提