若干孤子方程和超對(duì)稱方程的研究.pdf

1、討論孤子方程的可積性一直是孤立子理論研究中的一個(gè)重要且基本的課題.Painlevé分析在孤子理論研究中扮演著重要角色，特別是在研究方程的可積性質(zhì)方面.人們發(fā)現(xiàn)，完全可積系統(tǒng)與Painlevé性質(zhì)之間有密切的聯(lián)系.求解非線性孤子方程的精確解是孤子領(lǐng)域的又一基本課題.目前已發(fā)展形成許多方法，Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法和雙線性B(a)cklund變換是其中常用的方法.本文首先對(duì)一個(gè)新的(2+1)維廣義KdV方程進(jìn)行Painlevé分析，并利用雙

2、線性方法求得了該方程的許多精確解.其次給出了兩個(gè)破碎孤子方程的雙線性B(a)cklund變換.
　　 由于可積系統(tǒng)在數(shù)學(xué)物理中有著廣泛的應(yīng)用，所以人們認(rèn)為研究他們的超對(duì)稱化亦是有著重要意義的.大量的孤子方程被推廣為其超對(duì)稱方程，同時(shí)研究普通孤子方程的方法也相繼被推廣用來(lái)研究超對(duì)稱方程.本文最后是在參考一些相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，來(lái)論述如何應(yīng)用雙線性方法研究超對(duì)稱方程.
　　 本文具體工作如下:
　　 1.第二章討論了一

3、個(gè)新的(2+1)維廣義KdV方程，該方程存在雙線性形式.首先證明此方程不能通過(guò)Painlevé測(cè)試.當(dāng)參數(shù)a=0時(shí)，其退化的方程也不具有Painlevé性質(zhì).其次利用雙線性方法，給出了(2+1)維廣義KdV方程的雙線性形式及多孤子解.基于雙線性方法，采用長(zhǎng)波極限法求得了有理解.最后給出了黎曼θ函數(shù)表示的周期解并對(duì)周期解的漸進(jìn)性作了詳細(xì)的分析.
　　 2.第三章利用一些雙線性恒等式推得了Calogero方程和Bogoy-avlen

4、skii破碎孤子方程的雙線性B(a)cklund變換.對(duì)于Bogoyavlenskii破碎孤子方程，得到的是一個(gè)雙參數(shù)的雙線性B(a)cklund變換.此外，還根據(jù)Calogero方程的Lax對(duì)導(dǎo)出了其另一個(gè)雙線性B(a)cklund變換.由此B(a)cklund變換，通過(guò)一個(gè)代數(shù)程序建構(gòu)了Calogero方程的N孤子解.
　　 3.第四章以KdV方程為例來(lái)說(shuō)明如何將其超對(duì)稱化，如何導(dǎo)出超對(duì)稱KdV方程的雙線性形式以及如何求超對(duì)