基于有限幾何的有向強正則圖與結合方案的構作.pdf

1、距離正則圖是代數組合論研究的主要對象之一，它對應于一類特殊的結合方案,與有限幾何、組合設計以及編碼理論等有著密不可分的聯(lián)系.強正則圖作為直徑為2的距離正則圖，更是學者們研究的一個熱點.Duval于1988年將強正則圖概念推廣到了有向強正則圖.2013年，Dam和Omidi引進了強步正則圖這一概念，2015年他們又將此研究推廣到了有向強步正則圖，這使得強正則圖理論的研究更加深入，豐富.
　　本文主要基于有限幾何構作了四類有向強正則圖

2、和一類結合方案，此結合方案中三個關系圖的并是所構作的第二類有向強正則圖的補圖.本文計算了有向強正則圖的參數與結合方案的交叉數，并得到第一類圖的全自同構群和該結合方案的自同構群.
　　首先，利用有限域上秩為1的矩陣構作了有向強正則圖Ⅰ.對于q元有限域Fq上任意n級方陣X，令[X]={tX|t∈F*q}，且用X代替[X].定義圖Γ（n，q）是以{X|X∈F(n×n)q，r(X)=1，X2=0}為頂點集的有向圖，對于兩個頂點A，B，A→

3、B當且僅當AB≠0.類似地，定義圖Γ'(n，q)是以{X|X∈F(n×n)q，r(X)=1，X2≠0}為頂點集的有向圖，鄰接關系定義為A→B當且僅當AB=0.則Γ(n，q)和Γ'（n，q）均為有向強正則圖，我們分別確定了它們的參數和全自同構群.
　　其次，以F q上n-維射影空間中全體s-flats作為點集P，全體m-flats作為區(qū)組集B，其中0≤s＜m＜n，建立一個關聯(lián)結構Τ(s，m;n，q)=（P，B，∈），點與區(qū)組的關聯(lián)關

4、系定義為flats之間的關聯(lián)關系.我們利用關聯(lián)結構Τ（s，m;n，q）定義圖Ⅱ.圖Γ(s，m;n，q)是以{(X，Y)∈P×B|X∈Y}為頂點集的有向圖，鄰接關系定義為(X1，Y1)→(X2，Y2)(≒)(X1，Y1)≠(X2，y2)，X1∈Y2.對于任意一個(s-1)-flat K，定義圖Γ(s，m;n，q，K)為Γ(s，m;n，q)中由{(X，Y)∈VΓ(s，m;n，q)|K(∈)X}誘導所得到的子圖.則Τ(s，m;n，q)是一個1

5、1/2-設計當且僅當s=0或m=n-1.Γ(0，m;n，q)，Γ（s，n-1;n，q）和Γ(s，m;n，q，K)均為有向強正則圖，且Γ（s，m;n，q，K）的參數與K的選取無關.
　　然后，利用跡函數和1-維子空間分別構作了有向強正則圖Ⅲ和Ⅳ.
　　最后，利用有限域上n-維向量空間中1-維子空間與2-維子空間的有序對得到了一類結合方案.令Mm為Fq上n-維向量空間中全體m-維子空間構成的集合，其中n≥4.設X={(A，B)|