求異面直線距離的幾種方法畢業(yè)論文

1、<p>　　求異面直線距離的幾種方法</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本論文分別借用向量方法，平行六面體的高，向量的射影，點到平面的距離，兩點間的距離和平行平面的距離，給出空間兩異面直線的距離公式的方法來總結(jié)了求異面直線之間距離的定義法，轉(zhuǎn)化法，極值法，射影法…等十種方法。</p><p>　　關鍵詞：異

2、面直線； 異面直線之間的距離；</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p><p><b>　　引言1</b></p><p>　　1.定義法（直接法）1</p><p><b>　　

3、2.轉(zhuǎn)化法2</b></p><p>　　2.1 轉(zhuǎn)化為線面距離法2</p><p>　　2.2 轉(zhuǎn)化為面面距離法3</p><p><b>　　3.極值法3</b></p><p><b>　　4.射影法4</b></p><p><b>　

4、　5.公式法5</b></p><p><b>　　6.平移法7</b></p><p><b>　　7.垂面法8</b></p><p><b>　　8.向量法8</b></p><p><b>　　9.行列式法10</b><

5、/p><p><b>　　總結(jié)12</b></p><p><b>　　參考文獻13</b></p><p><b>　　致謝14</b></p><p><b>　　引言</b></p><p>　　求異面直線之間的距離是中學數(shù)

6、學中的重要概念之一，也是空間距離問題的難點，弄清異面直線距離的有關概念和性質(zhì)是求異面直線距離的前提。求異面直線之間的距離在中學數(shù)學中沒有具體講解，所以本論文利用定義法（直接法），轉(zhuǎn)化法，極值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法和實際例題來解決關于求異面直線之間的距離問題。</p><p>　　求異面直線間的是中學數(shù)學的一個難點，難就難在不知怎樣找異面直線的公垂線段，也不會將所求的問題進行轉(zhuǎn)化。解答

7、此類問題，主要的方法有將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離，或轉(zhuǎn)化為平面與平面的距離，或轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，或轉(zhuǎn)化為用等體積的方法等來求解。</p><p>　　特點：即不平行也不相交，兩直線永遠不可能在同一平面內(nèi)。</p><p>　　定義 和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分叫做異面直線的公垂線段。兩條異面直線的公垂線段的

8、長度叫做這兩條異面直線的距離。</p><p>　　性質(zhì)1 任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。</p><p>　　性質(zhì)2 兩條異面直線的公垂線段長（異面直線的距離）是分別連接兩條異面直線上兩點線段中最短的長度</p><p>　　下面我將求兩條異面直線的距離的幾種方法作一歸納總結(jié)。</p><p>　　1.定義法（直接法）</p

9、><p>　　定義法就是先作出這兩條異面直線的公垂線段，然后求出公垂線段長即異面直線之間的距離。</p><p>　　例1： 如圖所示，邊長均為的兩個正方形ABCD和CDEF成120°的二面角。求異面直線CD與AE間的距離。</p><p>　　解：如圖中，四邊形ABCD與CDEF是正方形得, CD平面AED</p><p>　　過點

10、D作DHAE，垂足為H</p><p>　　又CD平面AED ，得 CDDH</p><p>　　又因為DHAE，得 DH是CD與AE的公垂線（異面直線AE</p><p><b>　　與CD間的距離）</b></p><p>　　在ADE中，ADE=120°，AD=AE= ，DHAE， </p>

11、<p>　　得 DH = AD = DE = </p><p>　　即異面直線CD與AE的距離為；</p><p><b>　　2.轉(zhuǎn)化法</b></p><p>　　轉(zhuǎn)化法將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面距離或轉(zhuǎn)化為平面與平面的距離求解。</p><p>　　2.1 轉(zhuǎn)化為線面距離法</p>

12、<p>　　線面距離法就是選擇異面直線中的一條，過它作另一條直線的平行平面，因此直線與平面的距離即為所求異面直線的距離。</p><p>　　例2.如圖所示，正方體-的棱長為，求異面直線與之間的距離。</p><p>　　解：連接 </p><p><b>　　因為 得 而</b></

13、p><p>　　從而與的距離就是與平面的距離為h；</p><p>　　用體積法， </p><p>　　因為，所以 是等邊三角形</p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　從而 得 ；</b></p>&l

14、t;p>　　2.2 轉(zhuǎn)化為面面距離法</p><p>　　面面距離法就是所求異面直線的距離轉(zhuǎn)化為求分別過兩條異面直線的兩個平行的平面間的距離。</p><p>　　例3.如圖所示，正方體的棱長為1，求異面直線的距離。</p><p>　　解：如圖，分別連接 </p><p><b>　　因為</b></p

15、><p><b>　　,</b></p><p>　　得平面平面且對角線為兩個平面的公垂線，由體積法可以得出A到平面的距離等于到平面的距離為</p><p><b>　　因為</b></p><p>　　從而與平面的距離等于 ,</p><p>　　兩平面間的距離就是 與 之間的

16、的距離，</p><p>　　即 與 之間的的距離為；</p><p><b>　　3.極值法</b></p><p>　　極值法就是把兩條異面直線間的距離表示成某一個變量的函數(shù)，從而通過求函數(shù)的最小值來求異面直線間的距離。</p><p>　　例4，如圖，棱長為4的正三棱柱中，D是AB的中的，求與 間的距離。<

17、/p><p>　　解：在上任取一點M，作垂足為N，則平面</p><p>　　又作,垂足為Q，連接NQ，則 </p><p><b>　　因此,為直角三角形</b></p><p><b>　　設，則</b></p><p><b>　　在中，°&

18、lt;/b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　由勾股定理，</b></p><p><b>　　當 時 ，；</b></p><p>　　即 與 間的距離為 ；</p><p><b>　　4.射

19、影法</b></p><p>　　將兩條異面直線射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點和直線或兩條異面直線，那么點和直線兩條平行線的距離就是這兩條異面直線射影間的距離。</p><p>　　例5. 如圖在正方體中，分別是棱的中點，是的中點，求異面直線間的距離。</p><p>　　解：把異面直線的射影到同一平面內(nèi)，兩射影間的距離就是所求異面直線之間的距離。

20、 </p><p>　　取的中點Q，連接EQ,EN</p><p>　　因為E,Q是中點，得 </p><p><b>　　得 </b></p><p>　　又因為得，的射影為QN。</p><p>　　再取的中點F，同理，MF是的射影，</p><p>&l

21、t;b>　　得是的射影。</b></p><p>　　從而是EN和 在平面上的射影。</p><p>　　QN與間的距離就是兩條異面直線的距離</p><p>　　因為Q是BC的中點，得 </p><p>　　又°，設QN與的距離為，從而 得 ，</p><p>　　即異面直線 間的距離

22、為 ；</p><p><b>　　5.公式法</b></p><p>　　求異面直線之間的距離，我們還可以用下面兩個公式來求。</p><p>　　公式1 如圖 ⑴，三棱錐A-BCD中，若AB和CD所成的角為，三棱錐A-BCD的體積為 , 則異面直線AB與CD間的距離 </p><p>　?、?

23、 ⑵</p><p>　　公式2 .已知面積，二面角的平面角為，如圖（2），直線b與平面分別交與A,E到棱的距離為n ,m, 則異面直線與之間的距離</p><p>　　例6.如圖，已知正方體，其邊長為是的中點，求AC與BP間的距離。</p><p>　　解：（公式1） 設異面直線AC與BP所成的角為 &

24、lt;/p><p>　　取的中點N，連接AN</p><p><b>　　因為P是的中點，得</b></p><p>　　很容易解能求出 ; </p><p>　　即AC與PB之間的距離為 ；</p><p><b>　　（用公式2）</b></p&

25、gt;<p>　　解：設B到AC的距離為m，P到AC的距離為n.</p><p>　　設二面角P-AC-B的平面角為</p><p>　　用面積的射影公式得 </p><p><b>　　因為 </b></p><p><b>　　得 </b></p><p&g

26、t;　　即AC與PB之間的距離為 ；</p><p><b>　　6.平移法</b></p><p>　　找出一條直線，使兩條直線都垂直，但這條直線不是公垂線，這時把這條直線設法平移到這兩異面直線相交然后求出這兩異面直線的公垂線。</p><p>　　例7.已知正方體，其邊長為，求AC與間的距離。解：如圖，由正方體的性質(zhì)BD與AC交與O<

27、/p><p>　　在中，將平移到ON處，連接AN，可知N為的中點</p><p>　　設AN與交點為Q,將DN平移到PQ， </p><p>　　可知，PQ是AC與AD的垂線</p><p><b>　　由平面幾何知識，則</b></p><p><b>　　得 ，則，得出 &l

28、t;/b></p><p><b>　　即AC和間的距離為</b></p><p><b>　　7.垂面法</b></p><p>　　若兩條直線是異面直線，過其中一條做平面，使這條直線與平面垂直，在平面內(nèi)，過這條直線垂足點作另一條直線的垂線，垂足和前一個垂足的連線就是公垂線。</p><p>

29、;　　例8.，其邊長為1求BD與之間的距離。</p><p>　　解：連接AC，AC與BD交與P點 </p><p><b>　　過P作</b></p><p>　　又因為PQ平面 所以</p><p>　　又,所以PQ為BD與AC的公垂線 </p><p>　　

30、因為, </p><p>　　即BD與之間的距離為；</p><p><b>　　8.向量法</b></p><p>　　向量法又叫做法向量投影法，一般步驟是：</p><p>　?、?建立空間直角坐標系,求異面直線,b的方向向量在求出的法向量 （向量均與向量垂直）<

31、;/p><p>　?、?分別在直線,b上各取一點A,B，求做向量</p><p>　　⑶ 求向量在法向量上的投影</p><p>　　例9，如圖，已知正方形，其棱長為1，求異面直線與之間的距離。</p><p>　　解：建立空間直角坐標系 </p><p>　　設 = 是過直線且平行于AC的平面的法向量。 <

32、/p><p>　　因為 , 所以 </p><p>　　又, </p><p><b>　　所以 即 </b></p><p><b>　　令=1得， </b></p><p><b>　　因為在上且 ，&

33、lt;/b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　即；</b></p><p><b>　　9.行列式法</b></p><p><b>　　定理1 兩直線</b></p><p>　　異

34、面的充分必要條件是 M=</p><p>　　定理2. 異面直線：</p><p>　?。?與 ： 得距離為， 其中， </p><p>　　=() ，（） </p><p>　　例10.已知兩直線方程為與 </p><p>　?、?證明它們是異面直線

35、.</p><p>　?、?求出它們之間的距離.</p><p>　　解：⑴ 由兩直線異面的充要條件可知，這兩直線的一般方程的條數(shù)構(gòu)成四階行列式 = -25 </p><p>　?、?由已知方程，=（1，-1，-1），=（2，-3，1），=（1，-2，1），</p><p>　　=（1，-1，-1），</p><p>

36、　?。ǎ?，）==-8 ，（，，）== -6</p><p>　　（，，）-（，，）=-8（2，-3，1）+ 6（1，-1，-1）</p><p>　　=（-10，18，-14)</p><p><b>　　==</b></p><p>　　由定理2中的公式得，兩條異面直線的距離為</p><p>

37、;<b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　異面直線間的距離是立體幾何的核心概念，位于知識網(wǎng)絡的交匯處和思想方法的結(jié)合部，是立體幾何的學習的難點。求異面直線的距離不僅考察空間想象力邏輯思維能力。綜上可知，求異面直線間的距離要如下三種意識；定義意識，轉(zhuǎn)化意識和函數(shù)意識，同時要注意向量方法和坐標法在解題中的

38、重要作用。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]王成巖（牡丹江教育學院黑龍江 牡丹江 157005）[文章編號]1009-2323（2001）04-068-03</p><p>　　[2]薛金星主編 中學教學解題方法與技巧（上旬）北京教育出版社 2011.3 出版[M]（62-63）</p>

39、<p>　　[3]同濟大學數(shù)學系編 高等數(shù)學（第五版）上冊 高等教育出版社 2002</p><p>　　[4]單壿著編 中學數(shù)學研究 上海教育出版社 2012年第4期[M](37-39)</p><p>　　[5]數(shù)理化解題研究 2012年（15-17）</p><p>　　[6]朱洪亮編 數(shù)理化學習（高中版）天津科學技術(shù)出版社 201

40、2年第6期[M]（2-4）</p><p>　　[7]楊天林編中學生數(shù)理化（高中版）南京大學出版社 2009年第12期[M]（46-47）</p><p>　　[8]呂林根，許子道 編 解析幾何（第五版）北京高等出版社 2006.5</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在**師范學院經(jīng)過五年

41、學習，使我做人做事等各方面得到了很大提高。</p><p>　　在阿布拉江老師的指導下，我的畢業(yè)論文順利通過。他幫助我批閱了很多次，提供各方面的資料和很好的意見，所以非常感謝他的幫助。在指導老師耐心的指導下，我學會了論文的三步：怎樣開頭，怎樣繼續(xù)，怎樣結(jié)束。</p><p>　　非常感謝指導老師，也非常感謝我系的各位老師。在他們的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，為以后的工作打下了良好