幾種求平面圖形面積的方法畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　題 目：幾種求平面圖形面積的方法</p><p>　　學生姓名　 xxx 　　 指導教師　 xxx</p><p>　　系（部）　師范教育系 專 業(yè) 數(shù)學教育</p><p>　　班　　級　 　

2、 　 學　　號 xxxxxx</p><p>　　提交日期 201 年 月 日 答辯日期 201 年 月 日</p><p>　　201 年 月 日</p><p>　　幾種求平面圖形面積的方法</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文研究

3、的主要問題是平面內圖形面積的幾種解法，解題方法是指解答數(shù)學問題時，總體上所采取的方針、原則和方案。不同題目通過分析條件與結論之間的差異，并不斷縮小目標差來完成的。</p><p>　　關鍵詞：平面圖形 面積 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　現(xiàn)介紹幾種常用的方法……………………………………（1）</

4、p><p>　　（一）轉化法 …………………………………………………………（1）</p><p>　?。ǘ┖筒罘?…………………………………………………………（1）</p><p>　?。ㄈ┲丿B法 …………………………………………………………（2）</p><p>　　（四）補形法 …………………………………………………………（2）</

5、p><p>　?。ㄎ澹┢唇臃?…………………………………………………………（2）</p><p>　?。┨厥馕恢梅?……………………………………………………（3）</p><p>　?。ㄆ撸┐鷶?shù)法 …………………………………………………………（3）</p><p>　　（八）直角坐標系-積分法 …………………………………………（4）</

6、p><p>　　1、巧選積分變量 ………………………………………………（4）</p><p>　　2、巧用對稱性 …………………………………………………（5）</p><p>　　參考文獻 ……………………………………………（6）</p><p><b>　?。ㄒ唬┺D化法</b></p><p>　　

7、此法就是通過等積變換、平移、旋轉、割補等方法將不規(guī)則的圖形轉化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計算出所求的不規(guī)則圖形的面積。</p><p>　　例1. 如圖1，點C、D是以AB為直徑的半圓O上的三等分點，AB=12，則圖中由弦AC、AD和圍成的陰影部分圖形的面積為_________。</p><p>　　分析：連結CD、OC、OD，如圖2。易證AB//CD，則的面積相等，

8、所以圖中陰影部分的面積就等于扇形OCD的面積。</p><p><b>　　易得，故。</b></p><p><b>　　和差法</b></p><p>　　有一些圖形結構復雜，通過觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達到化繁為簡的目的。</p>

9、<p>　　例2. 如圖3是一個商標的設計圖案，AB=2BC=8，為圓，求陰影部分面積。</p><p>　　分析：經(jīng)觀察圖3可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。</p><p><b>　?。ㄈ┲丿B法</b></p><p>　　就是把所求陰影部分的面積問題轉化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題

10、陰影一般是由幾個圖形疊加而成。要準確認清其結構，理順圖形間的大小關系。</p><p>　　例3. 如圖4，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內作半圓，求所圍成陰影部分圖形的面積。</p><p>　　解：因為4個半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于4個半圓的面積和與正方形面積的差。故。</p><p><b>　　（四）補

11、形法</b></p><p>　　將不規(guī)則圖形補成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。</p><p>　　例4. 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60°，B=D=90°，求四邊形ABCD所在陰影部分的面積。</p><p>　　解：延長BC、AD，交于點E，因為，所以角E等于30°，又，

12、易求得，所以</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　?。ㄎ澹┢唇臃?lt;/b></p><p>　　例5. 如圖6，在一塊長為a、寬為b的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是c個單位），求陰影部分草地的面積。</p><p>　　解：（1）將“小路”沿著

13、左右兩個邊界“剪去”；（2）將左側的草地向右平移c個單位；（3）得到一個新的矩形（如圖7）。由于新矩形的縱向寬仍然為b，水平方向的長變成了，所以草地的面積為。</p><p><b>　?。┨厥馕恢梅?lt;/b></p><p>　　例6. 如圖8，已知兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行，且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于_______。</p>

14、;<p>　　分析：在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動至兩個半圓同圓心位置（如圖9）。</p><p>　　解：移動小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖9。設切點為H，連結OH、OB，由垂徑定理，知。又AB切小半圓于點H，故，故</p><p><b>　?。ㄆ撸┐鷶?shù)法</b></p><p>

15、　　將圖形按形狀、大小分類，并設其面積為未知數(shù)，通過建立方程或方程組來解出陰影部分面積的方法。</p><p>　　例7. 如圖10，正方形的邊長為a，分別以兩個對角頂點為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積。</p><p>　　解：設陰影部分的面積為x，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為y，則圖中正方形的面積是，而是以半徑為a的圓面積的。故有，。解得。即陰影部分的面積是。<

16、;/p><p>　　（八）直角坐標系-積分法</p><p>　　求平面圖形的面積是定積分在幾何中的重要應用.把求平面圖形的面積問題轉化為求定積分問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.求解此類題常常用到以下技巧.</p><p><b>　　1、巧選積分變量</b></p><p>　　求平面圖形面積時，要注意選擇積分變量，以

17、使計算簡便.</p><p>　　例8 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積．</p><p>　　解析：如圖1，解方程組得兩曲線的變點為．</p><p>　　方法一：選取橫坐標為積分變量，則圖中陰影部分的面積應該是兩部分之和，即．</p><p>　　方法二：選取縱坐標為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據(jù)公式求得，即．</p>

18、<p>　　點評：從上述兩種解法可以看出，對y積分比對x積分計算簡捷.因此，應用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取是至關重要的.但同時也要注意對y積分時，積分函數(shù)應是，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為的形式，然后求得積分．另外還要注意的是對面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的，即定積分的值不會改變.</p><p><b>　　2、巧用對稱性</b>&

19、lt;/p><p>　　在求平面圖形面積時，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對應曲線的對稱性解題，也是簡化計算過程的常用手段. </p><p>　　例9 求由三條曲線所圍圖形的面積.</p><p>　　解析：如圖2，因為是偶函數(shù)，根據(jù)對</p><p>　　稱性，只算出軸右邊的圖形的面積再兩倍即可．</p><p>　　解方

20、程組和得交點坐標 ．</p><p>　　方法一：選擇為積分變量，</p><p><b>　　則．</b></p><p>　　方法二：可以選擇y為積分變量，求解過程請同學們自己完成.</p><p>　　點評：對稱性的應用和積分變量的選取都影響著計算過程的繁簡程度.</p><p>　　

21、平面圖形面積的傳統(tǒng)教學過程中，教師們常重結果而非過程，教師恨不得把所有的數(shù)學知識都灌輸?shù)綄W生的腦子里，這種教法實際上是孤立地傳授知識的細節(jié)部分，缺乏對數(shù)學知識的整體聯(lián)系。新課程主張，“重結果更重過程，過程比結果更重要”，讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用過程，在知識的發(fā)生發(fā)展過程中滲透數(shù)學思想方法。特別對于平面圖形的面積的求解中應讓學生體驗數(shù)學思想方法和空間的想象能力。</p><p>　　在教學中，一方面要講清數(shù)學概念

22、，另一方面要引導學生挖掘其中的解題過程。有的時候再解題時可能會發(fā)生題中所給的信息中產(chǎn)生信息，從同一來源產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多的信息。即從問題的多種可能方向擴散出去，探索問題的多種解法?？墒顾季S廣闊，對一個問題能根據(jù)客觀情況的變化而變化。在學生的腦海中形成解題的三步曲：觀察—聯(lián)想—轉化，通過對題目的觀察，由概念、原理、法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想，由命題的已知條件和結論的外表形態(tài)與結構特征，想到相關的、相似的定義、定理、公式和圖形等，通過變化使面

23、臨的問題轉化為自己會解決的問題。上面例題解答方法中就是通過這樣的模式在學生思維中轉化，從而在學生思維中形成獨立的、連動的、多向的、跨越的、綜合的網(wǎng)絡模式，從三個層次進行解答，即一般性解決、功能性解決和特殊性解決。如上的例題中都是從這三個層次分析解答的。</p><p>　　不管是平面圖形還是其他問題，解題的目的有三個方面：知識基礎性、方法技能性、觀念意識性，分別對應著認識論、方法論、世界觀。分四點來論述:一、加深

24、理解概念，鞏固拓展知識；二、掌握數(shù)學方法，培養(yǎng)數(shù)學技能；三、領會數(shù)學思想，訓練思維品質；四、發(fā)展個性心理，形成科學精神。</p><p>　　建議在平時教學中從學生的實際出發(fā)，在充分發(fā)揮教師的主導作用的前提下，善于激發(fā)學生對數(shù)學的求知欲和學習的興趣，引導學生積極開展思維活動，主動獲得知識的意識，有利于注重調動學生的學習主動性,引導他們獨立思考,積極探索,生動活潑地學習,自覺地掌握科學知識，提高分析問題、解決問題的

25、能力，充分體現(xiàn)了學生的主體特性。學生只有主動參與其中,親身感受、體會、思索、提煉才能逐步領悟、形成、掌握數(shù)學思想方法。</p><p>　　致謝：感謝xxx老師對我論文的精心指導。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]鄭毓信，肖柏榮，熊萍著.數(shù)學思維和數(shù)學方法論四川：四川教育出版社，2001.</p&g