關(guān)于微積分思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　題 目 微積分思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 </p><p>　　院（系） 數(shù)學(xué)系 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名

2、 xxxxxxxxxxxxx </p><p>　　學(xué) 號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 xxxxxxxxxxxx 職稱 xxxxxxxxxxxxxxxxx </p><p>　　完成

3、日期: 年 月 日</p><p>　　微積分思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　如今，微積分這一部分已經(jīng)成為了高中數(shù)學(xué)教材中較為重要的一知識(shí)部分。教學(xué)大綱中已經(jīng)將微積分的部分知識(shí)正式提出，相應(yīng)的教材也出版了多次。微積分是理工科大學(xué)生的必修課程，而高中開設(shè)的微積分，對大學(xué)微積分

4、教學(xué)產(chǎn)生了很多很重要的影響。同時(shí)，利用微積分可以解決許多初等數(shù)學(xué)中的問題，如在函數(shù)；方程；數(shù)列；曲線等都有很多應(yīng)用。微積分有助于初等數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)。目前高考中的一個(gè)熱門就是利用微積分來處理初等數(shù)學(xué)中的值域問題及不等式問題。所以，如何開設(shè)高中微積分課程，如何完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)上的一個(gè)基本過渡，這是一個(gè)很值得研究的問題。本文就在此背景下研究這個(gè)問題，力求在教育思想、教育理念上達(dá)到一個(gè)升華。</p><p>　　

5、關(guān)鍵詞：微積分；新課標(biāo)；高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；方程；數(shù)列；曲線；不等式</p><p>　　The application of calculus in high-level mathematics</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Now infinitesimal calculus has become a

6、 pretty important part in high school textbook．In teaching program，infinitesimal calculus is raised and be published in textbook three times．Especially in the new standard for course，infinitesimal calculus has been a key

7、 point．And，infinitesimal calculus is a obligatory course for science students in university。The set up of infinitesimal calculus in high school took affect for university study a lot．Infinitesimal calculus could solve ba

8、sic mathematics probl</p><p>　　Key words：infinitesimal ；calculus ；new standard of course ；function ；function ；equation ；progression ；curve</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　

9、　中文摘要.................................. .................Ⅰ</p><p>　　英文摘要................................. ..................Ⅱ</p><p>　　引言................................... .....................

10、1</p><p>　　1.問題的提出與研究綜述................... ...................1</p><p>　　1.1研究背景.................................................1</p><p>　　1.2微積分在高中的教學(xué)與研究綜.........................

11、......2</p><p>　　1.2.1中學(xué)微積分課程的教學(xué)現(xiàn)狀. ..............................2</p><p>　　1.2.2 我國中學(xué)微積分的教學(xué)研究現(xiàn)狀.. ........................2</p><p>　　1.2.3 中學(xué)微積分的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀........... ..................

12、.....3</p><p>　　2.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用................ ......................3</p><p>　　2.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用.............................4</p><p>　　2.2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題...............................

13、..4</p><p>　　2.3導(dǎo)數(shù)關(guān)于方程解的應(yīng)用.....................................6</p><p>　　2.4導(dǎo)數(shù)在曲線的切線問題上的應(yīng)用.............................7</p><p>　　2.5導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題上的應(yīng)用...................................8

14、</p><p>　　2.6導(dǎo)數(shù)在不等式問題上的應(yīng)用................................10</p><p>　　3.積分在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用..... ................................10</p><p>　　3.1定積分在幾何中的應(yīng)用....................................1

15、1</p><p>　　3.2定積分在物理中的應(yīng)用....................................11</p><p>　　4.結(jié)論與展望............ ...................................13</p><p>　　參考文獻(xiàn). ....................................

16、..............14</p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　微積分的建立是離不開實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的。在古代的時(shí)候就有極限和微積分的概念，從十七世紀(jì)后半葉起，經(jīng)過長期的發(fā)展演變，才得以嚴(yán)密化。微積分的發(fā)展與實(shí)際應(yīng)用有著密不可分的聯(lián)系，隨著社會(huì)的進(jìn)步發(fā)展，微積分在天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)等自然科學(xué)都有廣泛

17、的應(yīng)用。微積分不僅在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支等也起到很大的作用，在數(shù)學(xué)方面的發(fā)展更是提供了極大的推動(dòng)。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展，在研究這些變化著的量時(shí)數(shù)學(xué)也就進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代。一門漸漸完善的學(xué)科——微積分，越來越受到人們的關(guān)注，也就有了越來越多的人不斷研究、應(yīng)用微積分思想。</p><p>　　1.問題的提出與研究綜述</p><p><b>　

18、　1.1 研究背景</b></p><p>　　微積分在天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)等自然科學(xué)都有廣泛的應(yīng)用。它推動(dòng)了人類科學(xué)的進(jìn)步，使人類經(jīng)濟(jì)、社會(huì)生活都取得較快的發(fā)展。在當(dāng)今競爭激烈的高考中，微積分成為高考考查的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)。微積分所具有的教育價(jià)值是需要我們重視的，它使得我們能夠更全面的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)價(jià)值。新中國成立以后，隨著課程改革微積分經(jīng)過多次修改才被正式列入中學(xué)教材內(nèi)容

19、。在2003的課程改革中，微積分內(nèi)容又進(jìn)行了修改，并且改名為導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。</p><p>　　在2006年可以看到不少關(guān)于學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的認(rèn)知心理過程的文章。專門研究中學(xué)微積分教學(xué)方面的論文在2009年之后也出現(xiàn)不少。當(dāng)前已經(jīng)有不少專家對微積分的教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行了調(diào)查研究,并提出了一些中可供參考的教學(xué)策略。通過對以上內(nèi)容的分析研究，我決定從微積分思想在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用這一方面做深入的探討。</p>&

20、lt;p>　　1．2 微積分在高中的教學(xué)與研究</p><p>　　1.2.1微積分在中學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀</p><p>　　微積分出現(xiàn)在很多國家的高中課程中。德、英、法都把微積分設(shè)為必修課，并且在內(nèi)容安排上都是比較深?yuàn)W的。美國和日本雖然把它設(shè)為選修課，但高考的范圍里面也包含微積分。別的許多國家也把微積分寫入了高中教材中。</p><p>　　在我國，微積分

21、在高中課程的教學(xué)并不是一帆風(fēng)順的。我國的高中數(shù)學(xué)課程水平也是起起落落，微積分在其中也扮演著不同的角色。經(jīng)過多次改革，很多高等數(shù)學(xué)知識(shí)在高中教材中出現(xiàn)了，微積分成為高中了教學(xué)的內(nèi)容之一。受我國國情和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情況的影響，微積分又在教學(xué)教材中消失了一段時(shí)間。在文化大革命結(jié)束后，新的教學(xué)大綱即“試行草案”新鮮出爐了，微積分再一次被編入高中教材。經(jīng)過幾年的試驗(yàn)之后，又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題，即老師和學(xué)生都不能適應(yīng)新的教學(xué)內(nèi)容。微積分在1983年底又改

22、成了選學(xué)內(nèi)容，盡由各個(gè)學(xué)校自由選擇，只是保留了要求比較低的極限這一內(nèi)容。</p><p>　　近年來受到高考的影響，微積分被很多高中作為在高中課程必須學(xué)習(xí)的功課，微積分的教學(xué)也被真正被重視起來。</p><p>　　1.2.2 微積分在我國中學(xué)教學(xué)研究現(xiàn)狀</p><p>　　通過對我國中學(xué)教學(xué)研究，很多專家認(rèn)為，微積分的課程在高中時(shí)期應(yīng)包含實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)、極限和函數(shù)、

23、導(dǎo)數(shù)及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其運(yùn)用、通過微積分認(rèn)識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)、微積分所具含的文化價(jià)值。 </p><p>　　在對教師如何給高中生講授微積分這一問題，其中匡繼昌老師在他的論文中進(jìn)行了討論，匡繼昌是湖南師范大學(xué)的一名教授。他提出了一些新的思路：第一、在給高中生講授微積分課程時(shí)，要做到在學(xué)生的接受、理解的基礎(chǔ)上講授與大學(xué)課程相銜接的內(nèi)容；第二、高中微積分課程應(yīng)該以基礎(chǔ)課程為主，這樣可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，教師也能有更

24、多的時(shí)間講授微積分的應(yīng)用方面的知識(shí)；第三、教師在教授微積分概念和微積分思想的時(shí)候不能只是單單按照課本念，應(yīng)該做充分準(zhǔn)備性說明，更好的讓學(xué)生理解接受；第四、微積分應(yīng)該作為高中的必修課來學(xué)習(xí)。</p><p>　　張曉波的碩士學(xué)位論文在教學(xué)方面作了研究，在他的論文中講述了我國與西方國家的微積分教學(xué)的不同之處，研究了新的教學(xué)大綱和微積分在高考要求之后，對如何在高中進(jìn)行微積分的教學(xué)作了探討。他提出的教學(xué)策略有：(1)首先

25、要給學(xué)生貫入變量思維的數(shù)學(xué)觀，深化對概念的理解記憶；(2)防止學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)只是記住一些公式和結(jié)論；(3)讓學(xué)生理解微積分在高中數(shù)學(xué)的重要性；（4)加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的文化的滲透.在對微積分教學(xué)設(shè)計(jì)上面可以多采用問題教學(xué)法進(jìn)入到對微積分的學(xué)習(xí)。</p><p>　　我國有好多專業(yè)人士在微積分這一知識(shí)做了大量的探索研究，但是對微積分思想在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用這一方面的研究卻不多，該論文主要對其應(yīng)用進(jìn)行研究。</p>

26、;<p>　　1.2.3 中學(xué)微積分的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀</p><p>　　在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，微積分是在學(xué)完必修課本以后，在選修內(nèi)容中進(jìn)行學(xué)習(xí)的。微積分近些年來已經(jīng)成為高考必考點(diǎn)，老師和學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中也對它足夠重視。在客觀上講，學(xué)生已經(jīng)能夠理解極限的思想、運(yùn)動(dòng)變化的思想，這就使得學(xué)生在理解導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念的可能性大大提高了。經(jīng)過對必修內(nèi)容的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)。用極限的思想來研究函數(shù)是微

27、積分的表現(xiàn)形式，而構(gòu)建一種運(yùn)動(dòng)變化模型則是函數(shù)。但由于學(xué)生對運(yùn)動(dòng)變化的認(rèn)識(shí)層面不高，而函數(shù)突出表現(xiàn)了函數(shù)關(guān)系和函數(shù)性質(zhì)，因此對客觀事物數(shù)學(xué)形式的認(rèn)識(shí)是不夠全面的。在高中教材中微積分主要突出了對變化率的研究，用導(dǎo)數(shù)的大小來表示一些生活事物的變化快慢。微積分內(nèi)容在高中教材中有一專題，即利用微積分中的導(dǎo)數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)來探究函數(shù)的基本性質(zhì)，學(xué)生通過觀察函數(shù)圖像的切線斜率的大小來判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值等性質(zhì)。很多學(xué)者經(jīng)過對全國各地的高中生進(jìn)行了大量

28、的問卷調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)絕大部分的學(xué)生微積分的掌握還是很好的，對微積分的思想理解的很好，能夠很好的利用微積分解決一些比較復(fù)雜的難題。</p><p>　　導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用</p><p>　　導(dǎo)數(shù)是高中教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容。在關(guān)于函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用、關(guān)于函數(shù)的極值問題的應(yīng)用、關(guān)于方程解的應(yīng)用、在曲線的切線問題上的應(yīng)用、在數(shù)列問題上的應(yīng)用、在不等式問題上的應(yīng)用等都可以很好的利用導(dǎo)數(shù)這

29、個(gè)重要工具來解決。近幾年來不斷加強(qiáng)了導(dǎo)數(shù)在高考中的考查，在題目所占的比重和難度上都有很大的提高，我國各個(gè)地區(qū)的高考題中都有關(guān)于導(dǎo)數(shù)的試題。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中也有著非常廣泛的應(yīng)用。學(xué)生要能夠正確理解導(dǎo)數(shù)的概念，確切把握導(dǎo)數(shù)的思想；能夠很好的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決一些數(shù)學(xué)問題。高中生應(yīng)該熟記一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如：（1）（是常數(shù)）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）<

30、/p><p>　　2．1 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用</p><p>　　在研究一個(gè)函數(shù)時(shí)，我們首先要研究的應(yīng)該是它的單調(diào)性，單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。判定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性通常有兩種方法：一、可以直接根據(jù)函數(shù)的定義判斷其單調(diào)性；二、導(dǎo)數(shù)法，在某一區(qū)間內(nèi)對可導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷在導(dǎo)數(shù)的大小。導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)小于零則函數(shù)為減函數(shù)。其中方法一在化簡過程中比較為繁瑣，容

31、易出錯(cuò)，在解決一些抽象函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)較為常用。而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則比較簡單快捷，尤其是在對于一些具體函數(shù)時(shí)更加適用。</p><p>　　例1、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)問是 ( )</p><p>　　A．(，2)；B．(0，3)；C．(1，4)；D．(2，)</p><p>　　分析：在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，這樣就把求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

32、的問題轉(zhuǎn)變成解不等式的問題。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　令，得</b></p><p>　　所以的單調(diào)增區(qū)間為(2，）故選D。</p><p>　　例2、有一函數(shù)為 ，試判斷該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。</p><p><b>　　

33、解：</b></p><p><b>　　令，即，解得；</b></p><p><b>　　又令即，解得</b></p><p>　　故該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和</p><p>　　單調(diào)減區(qū)間為（-1,1）</p><p>　　小結(jié)：對一些比較復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題

34、，可以配合數(shù)軸進(jìn)行觀察。</p><p>　　2．2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題</p><p>　　在包含的一個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都不大于點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值為函數(shù)的極大值。同理也可以得到極小值的概念，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。如何利用導(dǎo)數(shù)，來求極值的問題，解題時(shí)可分為三步：</p><p>　?。?）對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；</p&g

35、t;<p><b>　　（2）求方程的根；</b></p><p>　?。?）解得方程=0的每一個(gè)解，判斷在左、右兩側(cè)的符號(hào)，來確定極值點(diǎn)，進(jìn)而求得函數(shù)的極值。</p><p>　　A.如果在左側(cè)的符號(hào)為正，右側(cè)符號(hào)為負(fù)，那么為極大值點(diǎn)，為極大值。</p><p>　　B.如果在左側(cè)的符號(hào)為負(fù)，右側(cè)符號(hào)為正，那么為極小值點(diǎn)，為極小

36、值。</p><p>　　C.如果在左右兩側(cè)的符號(hào)是相同的，那么不是極值點(diǎn)，該函數(shù)也沒有極值。</p><p>　　例3、已知函數(shù)，(0，e]，分別求出該函數(shù)的極值與最值。</p><p>　　解：因?yàn)榱睿?，又因?yàn)?lt;/p><p>　　從列表中可以知道，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，</p><p>　　當(dāng)時(shí)，<0，所

37、以在區(qū)問(0，e]上最大值為e，最小值為</p><p>　　例4、 因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的值是多少？</p><p>　　解：因?yàn)?，所以因?16．</p><p>　　例5、有一可導(dǎo)函數(shù)，其定義域?yàn)閇2,2]，求該函數(shù)的最值。</p><p><b>　　解：</b></p><p&g

38、t;<b>　　令=0解得</b></p><p><b>　　列表</b></p><p>　　因此，在求一個(gè)閉區(qū)間[a，b]內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最值問題時(shí)，可用下面的方法。先求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，再判斷函數(shù)的各極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小，這樣就很容易得到函數(shù)的最值。</p><p>　　2．3利用導(dǎo)數(shù)解決方程解問題<

39、/p><p>　　(1)在方程根的個(gè)數(shù)問題上，可以把方程看作一個(gè)函數(shù)，再對其進(jìn)行求導(dǎo)，判定其單調(diào)性，然后判斷該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)與零的大小，進(jìn)而求出其根的個(gè)數(shù)。</p><p>　　例6、已知，方程，求該方程在[0，2]上有幾個(gè)根?</p><p><b>　　解；設(shè)=，則</b></p><p><b>　　當(dāng)且時(shí)，

40、</b></p><p>　　故在區(qū)間上為減函數(shù)，</p><p><b>　　因?yàn)樵谔幎歼B續(xù)，</b></p><p><b>　　且， ，</b></p><p>　　所以在[0，2]上只有一個(gè)根。</p><p>　　(2)在求出方程實(shí)根的近似值的問題時(shí)，可

41、以利用切線法(牛頓法)進(jìn)行解決。把方程看作是一個(gè)曲線函數(shù)，曲線弧可以用曲線弧一端的切線來代替，進(jìn)而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線法(牛頓法)。</p><p>　　例7、求方程的近似解．</p><p>　　解：假設(shè)，可以知道方程=0，的唯一根在開區(qū)間 之中，取，牛頓法的迭代公式為，則</p><p>　　2. 4導(dǎo)數(shù)在曲線的切線問題上的應(yīng)用</p&g

42、t;<p>　　導(dǎo)數(shù)的幾何意義主要是指曲線某一點(diǎn)的切線斜率即這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。對于一個(gè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是點(diǎn)在曲線處的切線的斜率，且過點(diǎn)的切線方程為。導(dǎo)數(shù)用某一點(diǎn)的切線把函數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)建立了聯(lián)系。已知有一曲線C:,求過一點(diǎn)的曲線的切線方程。其步驟為：</p><p>　　第一步：把點(diǎn)代入曲線方程，看該點(diǎn)是否在曲線C上；</p><p><b>　　第二步：求導(dǎo)數(shù)；&l

43、t;/b></p><p>　　第三步：如果點(diǎn)滿足函數(shù)，即點(diǎn)在曲線上，則所求切線方程為；若點(diǎn)不在曲線上，可設(shè)切點(diǎn)為，由，解出，進(jìn)而確定過的曲線的切線方程為。</p><p>　　例8、已知曲線，點(diǎn)(0，1)在該曲線上，求該點(diǎn)處的切線方程。</p><p>　　解：先對曲線函數(shù)求導(dǎo)得：</p><p>　　把點(diǎn)(0，1)代入求導(dǎo)函數(shù)，得到

44、該點(diǎn)處的斜率為，則該點(diǎn)處切線方程為，即．</p><p>　　例9、若曲線存在垂直于軸的切線，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）</p><p>　　分析：本題主要考查如何利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線的逆向思維。</p><p>　　解：通過對曲線函數(shù)求導(dǎo)可得，因?yàn)榇怪庇谳S的切線存在。所以</p><p><b>　　得出得出</b>

45、;</p><p>　　例10、求曲線C：的切線方程。</p><p>　　解：把點(diǎn)代入曲線的函數(shù)式中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)不在曲線C上，可設(shè)切點(diǎn)為，</p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以切線斜率，</b></p><p><b>　　故切線

46、方程為，</b></p><p><b>　　則，解得：</b></p><p><b>　　所以切線方程為 和</b></p><p>　　這三個(gè)例題都是考導(dǎo)數(shù)的幾何意義，題型雖然較為簡單，但是考查內(nèi)容卻不簡單，這種題型在填空題中也經(jīng)常出現(xiàn)，比較典型不容忽視。</p><p>　　2．

47、5導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用</p><p>　　數(shù)列本身是一種特殊的函數(shù),所以我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)問題的思路解決一些較為麻煩的數(shù)列問題。在一些數(shù)列問題中無論用什么傳統(tǒng)方法去解題，計(jì)算量都比較大，如果改用導(dǎo)數(shù)去解，就會(huì)變的容易很多。</p><p>　　例11、在一個(gè)數(shù)列中，其中,那么數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？</p><p>　　分析：如果此題用傳統(tǒng)方法解決，就會(huì)比較

48、慢。我們可以試著用導(dǎo)數(shù)法來求解。</p><p>　　解：先對公式的兩邊分別求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得；。令，則有，兩邊再對求導(dǎo)得：兩邊對積分得：.再對積分得把分別代入的公式并令</p><p>　　例12、求數(shù)列1，，，······ ，的和(其中)．</p><p>　　分析：可以用傳統(tǒng)的錯(cuò)位相減法求和，但會(huì)比較麻煩

49、。若是用導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)算，會(huì)使問題得到更好的解決。</p><p>　　解：把和看作是兩個(gè)函數(shù)，則，即是的導(dǎo)數(shù)，可先求數(shù)列的前項(xiàng)和．當(dāng) 時(shí)，</p><p>　　然后等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，有</p><p>　　例13、有一等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差d都是正整數(shù)，且滿足對任意，都有，(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)的和；(2)求數(shù)列的最小項(xiàng)．</p><p>　　分

50、析：第一小問比較簡單，在解最后一問時(shí)，可以先把數(shù)列看成是一個(gè)函數(shù)，然后求出該函數(shù)的極小值，所得極小值即是所求的項(xiàng)。</p><p><b>　　解：（1）注意到</b></p><p>　　對任意恒成立則，，解得d=1</p><p><b>　　設(shè)，</b></p><p><b>　　

51、當(dāng)時(shí)，當(dāng)5時(shí)</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　在利用導(dǎo)數(shù)解答數(shù)列問題時(shí)，一定要仔細(xì)觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想求導(dǎo)公式建立對應(yīng)的函數(shù)式，再對函數(shù)式的不同的表達(dá)式求導(dǎo)來解決問題。利用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)較難的數(shù)列問題更方便簡單。</p><p>　　2.6導(dǎo)數(shù)在不等式問題上的應(yīng)用</p><

52、;p>　　在碰到一些不等式證明的題目，可以轉(zhuǎn)換成函數(shù)的證明。然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)來證明一些不等式或者是解決一些不等式恒成立的問題等。</p><p><b>　　例14、求證：時(shí)，</b></p><p>　　證明：要證，則證成立即可，</p><p><b>　　設(shè)，</b></p>&

53、lt;p><b>　　由</b></p><p><b>　　所以在上為增函數(shù)</b></p><p><b>　　所以的最小值為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　即成立。故時(shí)不等式成立</p>&

54、lt;p>　　3.積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　在高中階段定積分是微積分的一部分，定積分的主要應(yīng)用如下：(1)求曲邊形的面積、不同時(shí)間的變力做功等；(2)通過實(shí)例，更加真實(shí)的體會(huì)微積分基本定理的含義；(3)了解微積分所具有的文化價(jià)值。由此我們看到，在高中時(shí)期學(xué)習(xí)定積分，主要是粗淺地了解它的主要思想和一些基本用法，定積分在解決問題所起的工具作用在通過一些實(shí)例可以體現(xiàn)出來。近幾年全國地區(qū)的高考試題

55、，主要考查利用定積分求曲邊形的面積。計(jì)算定積分的方法有三種：第一種方法是應(yīng)用定積分的定義，通過分割、求和、取極限來達(dá)到目的；第二種方法是通過計(jì)算被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間上函數(shù)值的增量來得到積分值；第三種方法是利用定積分的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合的思想，計(jì)算定積分。</p><p>　　3.1定積分在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　假設(shè)被積函數(shù)為，曲線與直線和軸所圍成的曲邊形的面積為。&l

56、t;/p><p><b>　　如果，則</b></p><p><b>　　如果，則</b></p><p><b>　　如果，，，，則</b></p><p>　　例15、有一曲邊形是由拋物線與直線所圍成的，求該曲邊形的面積是多少？</p><p>　　解

57、：把兩曲線的函數(shù)式連立成方程組，即 解得 故所求圍成的平面圖形面積為</p><p>　　==18，故所求面積為18</p><p>　　例16、曲線與圍成一個(gè)平面區(qū)域，求該迎面區(qū)域的面積。</p><p>　　解：把這兩條曲線函數(shù)連立成一個(gè)方程組，很容易求得兩曲線的交點(diǎn)是(0,0)與(1,1)，那么該區(qū)域的面積為</p><p>　　在解

58、決曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積等一些問題也可以用定積分來求，雖然高中教材沒有要求學(xué)生對這一部分要掌握，但是可以適當(dāng)?shù)闹v解給學(xué)生。</p><p>　　3.2定積分在物理中的應(yīng)用</p><p>　　若物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)，但速度是改變的，它所經(jīng)過的路程為，它的速度為函數(shù)，則，這就顯出了求導(dǎo)數(shù)和求積分得互為逆運(yùn)算。</p><p>　　變力作功：若一物體在變力的作用下由的

59、運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)方向與力的方向一致）那么此變力所做的功為 </p><p>　　例17、在平面的公路上，有一作變速運(yùn)動(dòng)的汽車行駛，其速度為（單位：m/s）.在行駛過程中駕駛員突然發(fā)現(xiàn)在前方不遠(yuǎn)處有一條狗橫穿公路，于是緊急剎車，那么</p><p>　　從駕駛員開始緊急剎車到汽車完全停止，需要多少時(shí)間？</p><p>　　從駕駛員發(fā)現(xiàn)橫穿公路的狗（緊急剎車時(shí)），這條狗與汽

60、車至少距離多遠(yuǎn)才能保證安全穿過馬路？</p><p>　　解：（1）令=0，解得方程為t=4或t=-2(舍去)故需要4s</p><p>　?。?）要想讓這條狗安全，狗與汽車的距離應(yīng)不小于駕駛員緊急剎車到停止所行駛的距離。因?yàn)槠囆旭偟木嚯x為：= 所以這條狗距汽車的距離為8+ln5才能保證安全。</p><p><b>　　4.結(jié)論與展望<

61、/b></p><p>　　在探究了微積分之后，我得出了一些結(jié)論：</p><p>　　1．在當(dāng)今信息時(shí)代，微積分思想是人們生活的一種需要，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的一種動(dòng)力，也是社會(huì)發(fā)展的一種動(dòng)力。向2l世紀(jì)的高中生教授一部分微積分思想、應(yīng)用方法，是很應(yīng)該的。</p><p>　　2．在微積分的教學(xué)實(shí)施過程中不要形式化的定義，應(yīng)該讓學(xué)生深刻理解概念，不要只是把導(dǎo)數(shù)作為

62、一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，要重視它所具含的更深層次的價(jià)值，在教學(xué)過程中應(yīng)該加強(qiáng)微積分思想方法的教學(xué)、在實(shí)際應(yīng)用方面更應(yīng)該進(jìn)行強(qiáng)化。</p><p>　　3.微積分在高中數(shù)學(xué)有著廣泛的用途，在以后的學(xué)習(xí)中我們要全方位地探索和研究新的用法。微積分的應(yīng)用不僅給學(xué)生提供了一種新的解決問題的方法，又使學(xué)生學(xué)到了一種新的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也使得高中畢業(yè)生能夠更加輕松的學(xué)習(xí)大學(xué)中較難微積分知識(shí)。</p><p>

63、;　　總之，如果教學(xué)能夠聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，采取合適的教學(xué)策略，突出思想方法的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，那么學(xué)生就能從中受益。</p><p>　　因?yàn)閷τ谖⒎e分的教學(xué)人們已經(jīng)有了一定的研究，但微積分的應(yīng)用方面還存在一些問題，所以使得探討微積分思想在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用更具價(jià)值和意義。通過對本論文的研究，所發(fā)現(xiàn)的問題，對今后的研究提出一些建議。</p><p>　　1.微積分教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)思想方法

64、的教學(xué)，本研究雖然在加強(qiáng)思想教學(xué)上有所強(qiáng)調(diào)，但實(shí)驗(yàn)性還是不強(qiáng)，在以后的研究中可從這一方面進(jìn)行實(shí)證研究。</p><p>　　有利于課程功能的發(fā)揮。</p><p>　　2．極限理論作為微積分的核心基礎(chǔ)，在本章節(jié)教學(xué)中從未涉及，在以前的教學(xué)中也從未涉及過，雖然對導(dǎo)數(shù)、定積分概念的教學(xué)可以采用直觀極限——無限逼近的思想直觀理解，但在許多地方仍然出現(xiàn)缺乏極限基礎(chǔ)而導(dǎo)致理解困難。那么應(yīng)補(bǔ)充哪些極限

65、基礎(chǔ)?什么時(shí)候補(bǔ)充?</p><p>　　3．在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這一方面，應(yīng)用的太過多是不是會(huì)對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)擔(dān)，在高中階段就學(xué)習(xí)這么深入是不是沒有必要的，應(yīng)該補(bǔ)充哪些方面的應(yīng)用才是更加合理的等。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]沈文選．中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M]．長沙：湖南師范大學(xué)出版社．1999．</p>

66、<p>　　[2]陳昌平．?dāng)?shù)學(xué)教育比較與研究．上海：華東師范大學(xué)出版社．1995．</p><p>　　[3]王子興．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M]．桂林：廣西師范大學(xué)出版社．1996．</p><p>　　[4]張楚庭．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]．北京：警官教育出版社．1998．</p><p>　　[6]孔企平．．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)過程中的學(xué)生參與[M]．上海：華東師范大學(xué)

67、出版社．2003．</p><p>　　[7]孫照格 .從現(xiàn)代數(shù)學(xué)看中學(xué)數(shù)學(xué)[M]中國林業(yè)出版社，1991</p><p>　　[8]王昭海 . 有關(guān)概率直覺認(rèn)識(shí)的幾個(gè)誤區(qū)及反例[J]安康師專學(xué)報(bào)，2005</p><p>　　[9]王憲平 .課程改革視野下教師教學(xué)能力發(fā)展研究[M]華東師范大學(xué)，2006</p><p>　　[10]王雪梅

68、.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題編制的研究[M]華東師范大學(xué)，2002</p><p>　　[11]孫弘揚(yáng).四點(diǎn)共圓的證明及應(yīng)用[J]數(shù)理天地，2006.（7）：46-47</p><p>　　[12]連春興 .高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用初探[J]北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000-3</p><p>　　[13]羅琳 .彭家麟，高觀點(diǎn)下的高考試題[J]數(shù)學(xué)通訊，2003-9</p