小波變換及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　小波變換以及應(yīng)用</b></p><p><b>　　引言</b></p><p>　　小波分析是80年代中后期發(fā)展并成熟起來(lái)的一種信號(hào)處理分析方法，它有效完成了信號(hào)的時(shí)間與空間的局部化，對(duì)于信號(hào)處理是一個(gè)強(qiáng)有力的方法。</p><p>　　圖像是多媒體系統(tǒng)中非常重要的一部分，相當(dāng)多的多媒體信

2、息是以靜止圖像和動(dòng)態(tài)視頻圖像的信息表達(dá)出來(lái)的。人們?yōu)榱烁玫卦诙嗝襟w創(chuàng)作中使用圖像，就必然要研究圖像的壓縮和如何豐富圖像的表現(xiàn)效果。本文對(duì)小波變換做了簡(jiǎn)單的介紹并簡(jiǎn)單地介紹了小波變換在圖象邊緣析取、圖象壓縮和圖象拼接和鑲嵌方面的應(yīng)用。</p><p><b>　　小波分析的起源</b></p><p>　　長(zhǎng)期以來(lái)，無(wú)論是信號(hào)處理界，還是數(shù)學(xué)界，人們力圖尋求信號(hào)表示方

3、法，綜合三角函數(shù)系與Haar系兩者優(yōu)點(diǎn)的某種函數(shù)來(lái)分解任意函數(shù)。我們知道，這兩個(gè)函數(shù)系在以下意義上占據(jù)了兩個(gè)極端位置。三角函數(shù)系中的函數(shù)在頻率即在Fourier變量域上是完全局部化的，但在空間或時(shí)間域上無(wú)任何局部性卻很差，這是因?yàn)樗狈φ齽t性與震蕩性所致。</p><p>　　我們都曾使用過(guò)傅立葉變換，都知道傅立葉變換能把信號(hào)分解成各種頻率的正弦和余弦函數(shù)，也就是說(shuō)它能實(shí)現(xiàn)頻率的局部化，但大家有是否注意到它所分解

4、出的每個(gè)三角函數(shù)的有效域都是（-∞,+∞），也就是說(shuō)它在時(shí)間域上無(wú)任何局部性可言，可是，我們所面對(duì)的各種信號(hào)如圖象、地震波等往往有著強(qiáng)烈的局部相關(guān)性，要研究處理這些相關(guān)性，就需要更好的數(shù)學(xué)工具，小波分析正是在這個(gè)背景下發(fā)展起來(lái)的。它有效地分析了信號(hào)時(shí)域與頻域的局部性，成為信號(hào)分析的一個(gè)強(qiáng)有力的方法。所謂“小”，正是指小波函數(shù)在時(shí)域上的局部性，所謂“波”正是指小波函數(shù)的波動(dòng)性也就是說(shuō)在頻域上的局部性。</p><p&g

5、t;　　小波分析的方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”規(guī)范正交基及1938年Littlewood-Parley對(duì)Fourier級(jí)數(shù)建立的L-P理論，即按二進(jìn)制頻率成分分組Foureier變換的相位變化本質(zhì)上不影響函數(shù)的形狀及大小。其后，Calderon于1975年用其早年發(fā)現(xiàn)的再生公式給出拋物型空間上H1的原子分解，這個(gè)公式后來(lái)成了許多函數(shù)分解的出發(fā)點(diǎn)，它的離散形式已接近小波展開，只是還無(wú)法得到組成一正交系的結(jié)論。19

6、81年Stromberg對(duì)Haar系進(jìn)行了改進(jìn)，證明了小波函數(shù)的存在性。1982年Battle在構(gòu)造量子場(chǎng)理論中使用了類似Calderon再生公式的展開。值得注意的是，1984年法國(guó)地球物理學(xué)家Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的Fourier變換難以達(dá)到要求，因此他引入小波概念于信號(hào)分析中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。隨后，理論物理學(xué)家Grossman對(duì)Morlet的這種信號(hào)按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性進(jìn)行了研究，這無(wú)疑為小

7、波分析的形成開了先河。</p><p>　　真正的小波熱開始于1986年，當(dāng)時(shí)Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出了具有一定衰減性的光滑函數(shù)ψ，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成L2(R)的規(guī)范正交基。在那以前，人們或許認(rèn)為具有如此好性質(zhì)的小波函數(shù)時(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)神話而對(duì)其存在性發(fā)生了動(dòng)搖。事實(shí)上，Daugechies、Grossman和Meyer在此之前的工作就退而研究函數(shù)ψ及數(shù)a0與b0使函數(shù)系構(gòu)成L2(R)的框架的條件去了。</p

8、><p>　　繼Meyer提出小波變換以后，Lemarie和Battle又分別獨(dú)立地給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。1987年，Mallat巧妙地將計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函數(shù)的構(gòu)造及信號(hào)按小波變換及重構(gòu)，從而成功地統(tǒng)一了在此之前的Stromberg、Meyer和Battle提出的具體小波函數(shù)的構(gòu)造，研究了小波變換的離散化情形，并將相應(yīng)的算法——現(xiàn)今稱之為Mallat算法有效地應(yīng)用于圖象分

9、解與重構(gòu)。與此同時(shí)，Daubechies構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基這樣，小波分析的系統(tǒng)理論初步得到建立。1988年，Arneodo及Grasseau等人將小波變換運(yùn)用于混沌動(dòng)力學(xué)及分形理論以研究遄流及分形生長(zhǎng)現(xiàn)象。1990年崔錦泰和王建忠構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的所謂單正交小波函數(shù)，并討論了具有最好局部化性質(zhì)的多尺度分析的生長(zhǎng)函數(shù)及相應(yīng)的小波函數(shù)。也是1990年Beylkin,Coifman等將小波變換應(yīng)用于算子理論。1991年，Jaff

10、ard及Laurencot將小波變換應(yīng)用于偏微分方程數(shù)值解，而Wickerhanser等將Mallat算法進(jìn)一步深化，得到了小波包算法。其后，秦前清將小波</p><p>　　小波變換定義及其性質(zhì)</p><p>　　定義1設(shè)且，則按如下方式生成的函數(shù)族{ψa,b}</p><p><b>　　（1）</b></p><p

11、>　　叫分析小波（Analyzing Wavelet）或連續(xù)小波，ψ叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。若ψ使雙窗函數(shù)(Double-window Function)。就叫ψ為窗口小波函數(shù)，今后我們恒假定ψ為窗口小波函數(shù)。</p><p>　　連續(xù)小波提供的局部化格式使變換著的，表現(xiàn)在高頻處的時(shí)間分辨率高。即具有“變焦”（Zooming）特性，這一特性決定了它在突變信號(hào)處理上的特殊地位及功能

12、。</p><p>　　現(xiàn)在我們來(lái)討論連續(xù)小波變換下信號(hào)處理的基本性質(zhì)。</p><p>　　定義2設(shè)ψ是基本小波，{ψa,b}是按（1）式給出的連續(xù)小波，對(duì)，信號(hào)f的連續(xù)變換Wf(b,a)定義為</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　定義3設(shè)且滿足：</b>&

13、lt;/p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　則ψ叫做允許小波(Admission Wavelet),而條件（*）被稱為允許條件(Admissible Condition)。</p><p>　　注意到條件（*）蘊(yùn)含著，因此允許小波一定是基本小波。反過(guò)來(lái)，若，且，則允許條件（*）成立。特別地，雙窗口函數(shù)一定是允許小波，

14、對(duì)于有允許小波產(chǎn)生的信號(hào)的連續(xù)小波變換，我們有如下關(guān)系式。</p><p>　　定理1設(shè)ψ是允許小波，則對(duì)一切，有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　另外，對(duì)任意，若f在t處連續(xù)，則：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>

15、;　　有時(shí)，為了數(shù)學(xué)上的方便起見，我們常用如下定義。</p><p>　　定義4我們把下列變換Wf(s,x)定義為的小波變換</p><p><b>　　（5）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?）</b></p>

16、<p>　　注意到，這里的定義在形式上雖與前面的定義有所不同，主要在于：</p><p><b>　　伸縮系數(shù)不同；</b></p><p><b>　　用卷積代替了相關(guān)。</b></p><p>　　但它們之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。</p><p>　　不難驗(yàn)證，以下函數(shù)是基本小波：<

17、;/p><p><b>　　Haar小波</b></p><p>　　(2)墨西哥帽狀小波</p><p>　　上面我們引入了連續(xù)小波及其概念變換的概念及性質(zhì)。在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在計(jì)算機(jī)實(shí)際上，往往需要把上面提到的連續(xù)小波及其變化離散化，作為一種方便的形式，則是對(duì)變換進(jìn)行二進(jìn)制離散。把經(jīng)過(guò)這種離散化后的小波和相應(yīng)的小波變換，稱之為二進(jìn)小波和二進(jìn)小

18、波變換。</p><p>　　定義5函數(shù)被稱為是一個(gè)二進(jìn)小波(Dyadic Wavelet)，若存在二常數(shù)使得：</p><p>　　B a.e.(7)</p><p>　　條件（7）式被稱為穩(wěn)定條件(Stability Condition)。若A=B，則稱為最穩(wěn)定條件，而函數(shù)序列叫做f的二進(jìn)小波變換，其中</p><p&g

19、t;<b>　?。?）</b></p><p>　　由卷積定理，我們有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由此（7）式等價(jià)于，對(duì)任意有：</p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　下面定理說(shuō)明，二進(jìn)

20、小波一定是一個(gè)允許小波。</p><p>　　定理2設(shè)ψ是一個(gè)二進(jìn)小波，則它一定是一個(gè)允許小波，且</p><p><b>　　（11）</b></p><p><b>　　A=B時(shí)有：</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p&

21、gt;　　定理3由（7）式給出的算子V是I2(L2)到L2的有界線形算子，而且WV是I2(L2)到W(L2)的正交投影算子。</p><p>　　為了數(shù)學(xué)上的完美及實(shí)際運(yùn)用的方便起見，我們引進(jìn)下面概念及事實(shí)：</p><p>　　定義6設(shè)，若對(duì)一切，存在與f無(wú)關(guān)的常數(shù)，使得</p><p><b>　?。?3）</b></p>

22、<p>　　成立，則稱是空間L2的一組標(biāo)架(Frame),B,A分別稱為此標(biāo)架之上，下界。</p><p>　　為討論標(biāo)架的性質(zhì)，我們引進(jìn)算子</p><p><b>　　（14）</b></p><p><b>　?。?5）</b></p><p>　　我們稱T為標(biāo)架算子。</p

23、><p>　　定理4也是L2中的標(biāo)架，稱之為標(biāo)架的共軛標(biāo)架，其上下界分別為A-1和B-1，且其標(biāo)架算子為有：</p><p><b>　?。?6）</b></p><p>　　定理5緊標(biāo)架成為正交基的充要條件是：</p><p>　　A = 1,且對(duì)一切</p><p>　　定義7如構(gòu)成L2的一

24、個(gè)標(biāo)架，則標(biāo)架的上、下界B,A滿足下面的不等式</p><p><b>　?。?7）</b></p><p>　　下面討論一下數(shù)字信號(hào)的二進(jìn)小波變換</p><p>　　假設(shè)是一個(gè)數(shù)字信號(hào)，不妨假定它由采樣而得，適當(dāng)選用時(shí)間單位，在數(shù)學(xué)上我們總可以認(rèn)為采樣密度為1，則我們可以以下面方式把模擬化。即令</p><p>&l

25、t;b>　　其中</b></p><p>　　這樣得f的確存在的，即我們有：</p><p>　　定理8任取，則存在使得</p><p><b>　　(18)</b></p><p>　　定義8設(shè)，f為滿足條件的函數(shù)，其中滿足</p><p><b>　?。?9）&

26、lt;/b></p><p><b>　　則稱</b></p><p>　　為的離散二進(jìn)小波變換。</p><p>　　圖象的小波的變換處理</p><p>　　我們知道，在處理實(shí)際問(wèn)題是，作為一種新的處理工具，它必須具備以盡可能少的數(shù)據(jù)反應(yīng)該信號(hào)的盡可能多的信息，這其間當(dāng)然包括盡可能消除混雜在信號(hào)中的噪聲。我們發(fā)

27、現(xiàn)小波變換確有這些優(yōu)良特性</p><p>　　1、二進(jìn)小波變換對(duì)邊緣析取和回復(fù)的影響</p><p>　　我們主要定性地討論一下二進(jìn)小波變換對(duì)圖象邊緣析取和回復(fù)圖象的影響。如以前分析過(guò)的，為了析取更精細(xì)的奇異性（即Lipschitz指數(shù)α<1）,則所選的小波函數(shù)應(yīng)有較高階的消失矩，從而其支集也相應(yīng)變大。這時(shí)，由二進(jìn)小波變換極值所測(cè)定的奇異點(diǎn)位置往往不是圖象奇異點(diǎn)的正確位置，也就是會(huì)

28、發(fā)生邊緣偏移現(xiàn)象。反之，若選取支集較小的小波函數(shù)作為二進(jìn)變換，則邊緣偏移的現(xiàn)象將大大減弱，但它對(duì)Lipsichitz指數(shù)α較高的邊緣無(wú)法檢測(cè)，因此在提取圖象邊緣上不如原來(lái)精確。這樣在進(jìn)行圖象處理時(shí)，就需要根據(jù)問(wèn)題的需要選擇合適的小波函數(shù)。此外，在迭代收斂速度上，消失矩高的小波的逼近威力強(qiáng)，收斂速度快于消失矩較小的小波函數(shù)，但前者的支撐集大雨后者，因而作為濾波器，前者的長(zhǎng)度也長(zhǎng)于后者。因此，在每一次分解運(yùn)算時(shí)，所費(fèi)時(shí)間也多于后者?？傊?/p>

29、使用小波變換時(shí)，適當(dāng)選取小波函數(shù)時(shí)十分重要的。</p><p>　　2、正交變換、小波包與圖象數(shù)據(jù)壓縮</p><p>　　雖然圖象數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量時(shí)非常巨大的，但是鄰近的象素的灰度（將它看成隨機(jī)變量）往往是高度相關(guān)的。因此，下面利用這一性質(zhì)對(duì)圖象數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的壓縮。</p><p>　　設(shè)在我們所考慮的問(wèn)題中每一張圖片分成個(gè)像素，并取包含M張圖片的樣本集合s={s1,

30、……，sm},M應(yīng)足夠大，以保證所取樣本對(duì)所討論的問(wèn)題具有統(tǒng)計(jì)代表性。因?yàn)槊恳粡垐D片分成了N個(gè)像素，故每一樣本Sk(k=1,……，M)可以看成是一個(gè)N維的隨機(jī)變量，記為{Sn(n)},n = 1,……，N。它的分量表示第n個(gè)像素的灰度，其值為0---27-1之間的一正整數(shù)。由于代表鄰近像素灰度之分量之間具有很大的相關(guān)性。因此，我們可通過(guò)統(tǒng)計(jì)的各種分析法，如回歸分析、方差分析、主因子分析、向前向后回歸分析法等手段以選取具有代表性的像素進(jìn)行

31、壓縮數(shù)據(jù)。這里我們一一談到是不可能的，而且沒有必要。我們的做法是采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換使在新坐標(biāo)系下各分量之間的相關(guān)性盡可能小。</p><p>　　首先，我們介紹一下多元正交小波及構(gòu)造。一個(gè)簡(jiǎn)單而有效地生成多元小波基的方法是張量積方法。為說(shuō)明構(gòu)造原理我們僅以二元情況為例。</p><p>　　設(shè)是一個(gè)已知的L2(R)的多尺度分析，是它的標(biāo)準(zhǔn)正交生成元。</p><p>

32、;　　對(duì)于L2(R2)，我們知道，張量是L2(R2)中的子空間，而且</p><p><b>　　…………</b></p><p>　　是L2(R2)中的空間序列，記，則這一空間貫滿足</p><p>　　由于是Vj中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而</p><p>　　構(gòu)成了的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此。我們看到了一個(gè)二元的多尺度分析，其

33、生成元為</p><p>　　現(xiàn)在，我們來(lái)構(gòu)造L2(R2)的小波子空間的正交分解。</p><p>　　設(shè)是L2(R)中對(duì)應(yīng)于的正交小波子空間列。則</p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>

34、;　　令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　于是，我們得到</b></p><p>　　由此得到了L2(R2)中的一個(gè)小波子空間的正交分解。不難驗(yàn)證：中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是中的標(biāo)

35、準(zhǔn)正交基是中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是。總括起來(lái)：</p><p>　　構(gòu)成了L2(R2)的標(biāo)準(zhǔn)正交小波基。</p><p><b>　　這樣，任取，有</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　為便于離散處理，記L2(R2)到的正交投影算子為Pm,則當(dāng)m充分大時(shí)，。在數(shù)學(xué)上，不妨設(shè)

36、m = 0,從而有：</p><p>　　從而二元情形的正交分解和回復(fù)算法可由下面公式得到：設(shè),記</p><p><b>　　后，我們有</b></p><p><b>　　重構(gòu)程序則是</b></p><p>　　但正如前面所指出的那樣，當(dāng)j減小時(shí)必然導(dǎo)致相應(yīng)小波基的頻譜窗口增寬的缺點(diǎn)，因此我們

37、可利用正交小波包進(jìn)一步分解，并根據(jù)使目標(biāo)函數(shù)H取極小值的原則在其中選取最佳的基。利用這種基作正交變換來(lái)壓縮數(shù)據(jù)，效果就要比單純用正交小波基好的多。鑒于二維情形小波包的表示式過(guò)于復(fù)雜，我們就在此略過(guò)。</p><p>　　3、正交小波變換在圖象拼接和鑲嵌中的應(yīng)用</p><p>　　圖象的拼接和鑲嵌是圖象處理的一個(gè)重要內(nèi)容，比如從兩個(gè)航天飛船上拍攝的行星圖片，往往要拼接成一個(gè)全軌圖。又如，為

38、了得到星系或星云圖的詳圖，需要分別拍攝各個(gè)局部照片，然后拼接成一個(gè)整體圖片。生物醫(yī)學(xué)中，用顯微鏡拍攝的細(xì)胞圖片等都需要拼接技術(shù)，而圖形鑲嵌則可以創(chuàng)造人工合成圖象。</p><p>　　圖象拼接和鑲嵌的一個(gè)技術(shù)問(wèn)題是如何拼接的二幅圖象在拼接后不出現(xiàn)明顯的拼接縫，一般地在拼接邊界上，兩端圖象灰度值上的細(xì)微差別都會(huì)導(dǎo)致十分明顯的拼縫，在實(shí)際成象過(guò)程中，被拼接圖片在拼接邊界上的灰度的細(xì)微差別是幾乎不可避免的，照像角度的差

39、異、背景的微小差別、成象手段的改變等等都是造成這種灰度差的原因，因此在拼接過(guò)程中，需要一種技術(shù)能修正兩圖片在拼接縫附近的灰度值，使拼接后的像在拼縫處有一個(gè)光滑的過(guò)渡。從數(shù)學(xué)上看，若把圖片賦以平面坐標(biāo)，像的灰度值看作函數(shù)I(x,y),則每幅像片對(duì)應(yīng)一個(gè)二元函數(shù)，兩幅像片的拼接，好比使兩個(gè)曲面的光滑連接。</p><p>　　但實(shí)際上圖象拼接與曲面的光滑連接不同。因?yàn)閳D像的光滑化表現(xiàn)為對(duì)圖像的模糊化。因此，光滑化手段

40、會(huì)導(dǎo)致圖像模糊不清。實(shí)踐證明：在拼接部分，若圖像的空間頻率的覆蓋幅度是由Wmax到Wmin的話，記Tl與Ts分別為Wmax與Wmin對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，則為了使拼接后圖像的拼縫不顯現(xiàn)，拼接寬度（即灰度影響修正范圍）應(yīng)不小于Tl，而為了使拼接后的圖片清晰，不致于使人有兩次暴光的感覺，拼接寬度應(yīng)不大于Ts的兩倍。顯然當(dāng)圖像在拼接邊界附近的空間頻率的頻帶稍寬一些的話（即Wmax>2Wmin），要找出一個(gè)合適的拼接寬度是不可能的。</p&g

41、t;<p>　　利用正交小波變換可以較好地解決上述問(wèn)題。由于小波變換函數(shù)實(shí)際是一個(gè)帶通濾波器，在不同尺度下的小波變換分量，實(shí)際上占有一定的頻寬，j越大，該分量的頻率越高。因此每一個(gè)小波分量所具有的頻寬不大，把要拼接的兩幅圖像先按分解的方法把它們分解為不同頻率的小波分量，然后在不同尺度下，選取不同不同的拼接寬度，把兩個(gè)圖像按不同尺度下的小波分量先拼接下來(lái)，然后再用程序重構(gòu)整個(gè)圖像。這樣得到的圖像可以很好地兼顧清晰度和光滑度兩

42、個(gè)方面的要求。</p><p>　　具體做法如下：設(shè)圖像A與圖像B是需要拼接或鑲嵌的。圖像A的像數(shù)為，圖像B的數(shù)據(jù)為，利用有限正交小波變換，我們得到</p><p><b>　　令</b></p><p>　　K(x,y)的樣本值為,它在各尺度下的光滑化分量為。令</p><p>　　現(xiàn)取為拼接后圖像的有限正交

43、小波變換，則由重構(gòu)算法，可以得到拼接圖像。</p><p>　　注意當(dāng)濾波器H的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，而k,l離邊界的值大于γL/2時(shí)，為1或0視而定，因此拼縫的實(shí)際寬度是由H的長(zhǎng)度決定。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可選用H為線形樣條構(gòu)成的正交小波基對(duì)應(yīng)的H或緊支集正交小波基對(duì)應(yīng)的H。對(duì)前者而言，它雖然不是有限長(zhǎng)的，但是有指數(shù)衰減速度，因此實(shí)際上可視為有限長(zhǎng)的。</p><p>　　產(chǎn)生光滑因子的H還可以用其它

44、的方法得到，不一定強(qiáng)調(diào)它的正交性，因?yàn)橹灰饘?duì)邊緣光滑的作用即可，這樣的濾波器可以有多種選取方法，這里就不一一詳述了。</p><p><b>　　[參考文獻(xiàn)]</b></p><p>　　[1]Multiresolution Compression And Reconstruction Oliver G.Staadt, Markus H.Gross, Roger

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