數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文---關(guān)于初等幾何中的一些問題

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　高等幾何是利用克萊因的變換群的觀點(diǎn)定義的幾何學(xué)，其能從更高的角度探索初等幾何，對初等幾何的相關(guān)證明、理論依據(jù)和命題的構(gòu)造方面具有很好的指導(dǎo)作用。本文分析了高等幾何對初等幾何相關(guān)指導(dǎo)作用，闡明了其之間的相互關(guān)系，并利用高等幾何的思想方法對初等幾何命題進(jìn)行變換，通過實(shí)例從高等幾何在點(diǎn)線結(jié)合、交比、反射變換和射影變換方面對初等幾何

2、的指導(dǎo)作用進(jìn)行了探究，并闡述了高等幾何對初等幾何的作用在現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】 高等幾何；初等幾何；變換</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Higher geometry is the use of the transformation of the view of k

3、lein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry

4、 elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, lin</

5、p><p>　　【Keyword】 higher geometry；elementary geometry；transform</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　初等幾何是一種可測量的幾何，比較直觀、易懂，而高等幾何較抽象、難理解. 但高等幾何是初等幾何的延深課程，二者之間有很深的淵源.高等幾何作為一門幾何課程，有著

6、自身的特殊作用，高等幾何知識與初等幾何知識的溝通，為我們提供了解決初等幾何的一些方法.學(xué)好高等幾何，就能在更高層面上認(rèn)識幾何學(xué)的基本特性，研究方法，內(nèi)在聯(lián)系，可以認(rèn)識到幾何學(xué)的本質(zhì)，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內(nèi)涵和外延。特別是在對初等幾何的教學(xué)方面，有著很好的促進(jìn)作用。</p><p>　　“高等幾何”告訴我們在中學(xué)幾何之外，還有廣闊的幾何學(xué)新天地。這不僅開拓了讀者的眼界，而且有助于

7、讀者站在新的高度上，深入理解中學(xué)幾何教材，提高處理中學(xué)教材的能力。</p><p><b>　　相關(guān)知識簡介</b></p><p><b>　　幾何學(xué)：</b></p><p>　　學(xué)過數(shù)學(xué)的人，都知道它有一門分科叫作“幾何學(xué)”，然而卻不一定知道“幾何”這個(gè)名稱是怎么來的。在我國古代，這門數(shù)學(xué)分科并不叫“幾何”，而是叫作

8、“形學(xué)”?！皫缀巍倍?，在中文里原先也不是一個(gè)數(shù)學(xué)專有名詞，而是個(gè)虛詞，意思是“多少”。比如三國時(shí)曹操那首著名的《短歌行》詩，有這么兩句：“對酒當(dāng)歌，人生幾何？”這里的“幾何”就是多少的意思。明末時(shí)期，杰出的科學(xué)家徐光啟首先把“幾何”一詞作為數(shù)學(xué)的專業(yè)名詞來使用。</p><p>　　幾何學(xué)的現(xiàn)代化則歸功于克萊因、希爾伯特等人。克萊因在普呂克的影響下，應(yīng)用群論的觀點(diǎn)將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比

9、特為幾何奠定了真正的科學(xué)的公理化基礎(chǔ)。應(yīng)該指出幾何學(xué)的公理化，影響是極其深遠(yuǎn)的，它對整個(gè)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化具有極其重要的先導(dǎo)作用。它對數(shù)理邏輯學(xué)家的啟發(fā)也是相當(dāng)深刻的。</p><p><b>　　高等幾何</b></p><p>　　《高等幾何》是高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課程之一，主要包括射影幾何與幾何基礎(chǔ)兩部分內(nèi)容。這是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門課程，這門課程對學(xué)生畢業(yè)后從事

10、中學(xué)幾何教學(xué)有著非常重要的指導(dǎo)意義 。</p><p>　　高等幾何著力于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和對其知識的銜接和運(yùn)用。并通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解運(yùn)用近代公理法建立幾何邏輯體系的基本思想，理解中學(xué)幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)；掌握射影幾何的基本內(nèi)容和研究方法，并了解一些幾何基礎(chǔ)內(nèi)容。在中學(xué)教師的教學(xué)方面，能很好的加深學(xué)生對中學(xué)初等幾何和解析幾何的理論與方法的理解，能用較高的觀點(diǎn)處理初等幾何教材；擴(kuò)大學(xué)生的知識領(lǐng)域，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它

11、后續(xù)課程打好基礎(chǔ)，從而提高學(xué)生的邏輯推理能力與空間想象能力。</p><p><b>　　初等幾何</b></p><p>　　初等幾何指可用坐標(biāo)、向量、方程描述的幾何問題，即初等代數(shù)描述的幾何問題。</p><p>　　初等幾何在中學(xué)階段的教學(xué)中處于一個(gè)很重要的位置，他是學(xué)生從代數(shù)到幾何過度的第一次跳躍，更是學(xué)生從一般思維到抽象思維、邏輯思維

12、的過度。成功掌握一門初等幾何將對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程起到很大的促進(jìn)作用。但對于中學(xué)數(shù)學(xué)來說，初等幾何這一塊既是一個(gè)重點(diǎn)，更是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生對初等幾何的學(xué)習(xí)認(rèn)識和理解運(yùn)用程度將直接關(guān)系的學(xué)生的成績、思維拓展、高中階段乃至本科階段的學(xué)習(xí)。</p><p>　　高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)作用探究</p><p>　　更加全面的認(rèn)識初等幾何</p><p>　　我們知道初等幾何

13、是以歐氏幾何為其學(xué)習(xí)內(nèi)容的.用變換群的觀點(diǎn)看，歐氏幾何學(xué)就是研究正交變換下的圖形不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué).由于正交變換群是相似變換群的子群，相似變換群是仿射變換群的子群，而仿射變換群又是射影變換群的子群.因而所對應(yīng)的幾何學(xué)從研究的范圍講是:射影幾何、仿射幾何、相似度量幾何、歐氏幾何。而從研究的內(nèi)容來看，歐氏幾何研究的對象不僅包括度量性質(zhì)和度量不變量，而且包括相似性質(zhì)和相似不變量，仿射性質(zhì)和仿射不變量，射影性質(zhì)和射影不變量。即射影幾何，仿

14、射幾何，相似度量幾何，歐氏幾何。我們了解了這些關(guān)系才能全面地正確地掌握歐氏幾何的內(nèi)容，同時(shí)在研究歐氏幾何許多具體問題時(shí)，我們才可以居高臨下的看待這些問題.</p><p>　　為初等幾何的部分內(nèi)容提供了理論依據(jù)</p><p>　　如立體幾何直觀圖的畫法、截面圖的作法分別是以透視仿射對應(yīng)性質(zhì)及笛沙格定理的理論為依據(jù)的，著名的“九樹十行”問題是以巴卜斯定理為基礎(chǔ)的.還有些在中學(xué)難以講透的問題

15、在高等幾何中得到徹底講清楚，如:非退化二次曲線需每三點(diǎn)不共線的五點(diǎn)才能唯一確定，為什么圓只要不共線的三點(diǎn)就能確定，就是這樣一個(gè)問題.</p><p>　　九樹十行問題：把九裸樹栽成十行, 使得每行恰好有三裸樹。</p><p>　　巴布斯定理：（如圖1）即中線定理，設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有</p><p><b>　　圖1</b>

16、</p><p>　　笛沙格定理：如圖2所示，,中，,,三線交于一點(diǎn)O，其充要條件是三點(diǎn)共線。</p><p><b>　　圖2</b></p><p><b>　　簡化初等幾何的證明</b></p><p>　　我們知道在高等幾何中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，任意一個(gè)三角形(平行四邊形、梯形、橢圓)可變

17、為正三角形(正方形、等腰梯形、圓)，那么對有關(guān)仿射性質(zhì)的一些命題，將命題中的一般圖形用仿射變換變?yōu)樘厥鈭D形，如果所給命題在特殊圖形中成立，則根據(jù)仿射變換保持同素性、結(jié)合性、平行性、共線三點(diǎn)的單比不變、封閉圖形的面積之比不變等即可推出該命題在原圖形中也成立.在證明一些共點(diǎn)或共線問題時(shí)，可以利用“投影到無窮遠(yuǎn)”的方法，把相交直線投影成平行直線，在投影后的圖形中，容易證明共點(diǎn)或共線問題，再利用中心投影保持結(jié)合性不變的性質(zhì)，使原命題得證。還有利

18、用笛沙格定理及其逆定理證明共線點(diǎn)和共點(diǎn)線的問題；利用交比證明有關(guān)圓的問題；利用調(diào)和比的性質(zhì)證明有關(guān)平分線段、平分角以及比例線段的問題等等。</p><p>　　為初等幾何構(gòu)造新的命題</p><p>　　許多初等幾何的命題是以高等幾何為背景的.掌握了高等幾何相關(guān)知識并摸透它與初等幾何知識之間的聯(lián)系，就能構(gòu)造出形式多樣、內(nèi)容豐富的初等幾何新命題，如1978年全國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽第二試的第一題“四

19、邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對角線平行，證明:另一條對角線的延長線平分對邊交點(diǎn)連成的線段”（具體證明詳見例1）。此題就是以完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)為背景的.</p><p>　　具體實(shí)例的應(yīng)用與分析</p><p>　　完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)在初等幾何證明上的作用。</p><p>　　完全四點(diǎn)形：平面上無三點(diǎn)共線的四個(gè)點(diǎn)以及連結(jié)其中任意兩點(diǎn)的六

20、條直線所組成的圖形稱為完全四點(diǎn)形。</p><p>　　性質(zhì)1：完全四點(diǎn)形對應(yīng)三點(diǎn)形的每一邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn), 其中兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn), 另外兩個(gè)點(diǎn)是這條邊與通過第三邊點(diǎn)的一對對邊的交點(diǎn)。</p><p>　　性質(zhì)2：在完全四點(diǎn)形的每一條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn), 其中兩個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn), 另外一對對偶點(diǎn)里, 一個(gè)點(diǎn)是對邊上的點(diǎn), 另外一個(gè)點(diǎn)是這個(gè)邊與對應(yīng)三點(diǎn)形的邊的交點(diǎn)。</p>&l

21、t;p>　　例1：（如圖3）四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點(diǎn)連成的線段．</p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　證明：設(shè)四邊形ABCD的對邊交點(diǎn)為E、F，并且BD∥EF，AC交BD于H，交EF于．</p><p>　　由于BD∥EF，所以&l

22、t;/p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2:求證三角形三中線共點(diǎn)</p><p>　　已知: （如圖4）在中，分別為的中線,</p><p><b>　　求證:共點(diǎn)。</b></p><p><b>　　圖4</b></p>

23、;<p>　　證明:設(shè)BE交CF 于O, AO 交BC 于, </p><p>　　由EF∥BC, EF 交BC 于無窮遠(yuǎn)點(diǎn).</p><p>　　在完全四點(diǎn)形AFOE 中, </p><p>　　根據(jù)調(diào)和性質(zhì)( BC, ) =-1</p><p>　　故為BC的中點(diǎn), 故D和重合。</p><p>　　

24、亦即AD,BE,CF 共點(diǎn).</p><p>　　例3:求證三角形的三條外角平分線和對邊相交,所得三點(diǎn)共線.</p><p>　　已知:（如圖5）中,∠C外角平分線交AB于E,∠A外角平分線BC交于F,∠B 外角平分線交AC于G,求證E, F, G 三點(diǎn)共線。</p><p><b>　　圖5</b></p><p>　

25、　證明:設(shè)P為內(nèi)角平分線的交點(diǎn),</p><p>　　AB與, BC與, AC與分別交于</p><p>　　根據(jù)德薩格定理, 共線。</p><p>　　又∠C 外角平分線交AB于E,</p><p>　　∠A 外角平分線交BC 于F,</p><p>　　∠B 外角平分線交AC 于G.</p><

26、;p><b>　　有.</b></p><p><b>　　在完全四點(diǎn)形 中,</b></p><p><b>　　根據(jù)調(diào)和性質(zhì)</b></p><p><b>　　有 </b></p><p><b>　　故E 和重合.</b>

27、;</p><p>　　同理F和重合, 和重合.</p><p><b>　　所以三點(diǎn)共線.</b></p><p>　　例4：利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)證明初等幾何問題</p><p>　　已知：（如圖6）△ABC中，AD⊥BC，H是AD上任意一點(diǎn)。連接BH，CH，分別交對邊于E，F(xiàn)，求證：AD平分∠EDF。</p

28、><p><b>　　圖6</b></p><p>　　證明：延長AC，F(xiàn)D交于點(diǎn)G，由完全四點(diǎn)形BFHD的調(diào)和性質(zhì)，可得：</p><p>　?。ˋ,C;E,Q）=-1</p><p>　　又因?yàn)镈{A,C,E,F}{A,C,E,G}</p><p>　　所以（DA,DC,DE,DF）=-1<

29、;/p><p><b>　　因?yàn)锳DBC,</b></p><p>　　所以AD平方∠EDF成立。</p><p>　　高等幾何的點(diǎn)線接合命題對初等幾何的指導(dǎo)作用。</p><p>　　例5：（世界聞名的初等幾何命題）如圖7，在△中角平分線交于點(diǎn)，.試證明△是等腰三角形。</p><p><

30、b>　　圖 7</b></p><p>　　分析： 眾所周知，一個(gè)三角形，如果它是等腰三角形，那么它兩個(gè)底角的角平分線相等。一個(gè)數(shù)學(xué)真命題的提出，人們往往喜歡追問它的逆命題的真?zhèn)?，現(xiàn)在問：一個(gè)三角形，它有兩個(gè)角的平分線相等，它是否是等腰三角形呢？回答是肯定的，但是要證明它卻不那么簡單，最好的方法是用反證法。</p><p><b>　　證明：∵<

31、/b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∵是和的角平分線</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　∴，即△是等腰三角形。</p><p>　　例6：試證三角形的三條中線共點(diǎn)。（如圖8）

32、</p><p><b>　　圖8</b></p><p>　　代沙格定理：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。</p><p>　　代沙格定理的逆定理：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)邊（AB和DE、BC和EF、CA和

33、FD）的交點(diǎn)共線，則其對應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。</p><p>　　分析： 證明此題若用初等幾何的方法來證是相當(dāng)費(fèi)力的，現(xiàn)在用高等幾何的方法來證明，有更深的認(rèn)識。</p><p>　　證明：如圖8，AD，BE，CF分別為ΔABC的三邊BC，CA，AB 上的中線</p><p>　　所以EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC</p><p>

34、<b>　　設(shè)，，</b></p><p>　　在ΔABC 與ΔDEF 中，</p><p>　　對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線于無窮遠(yuǎn)直線，</p><p>　　則由代沙格定理的逆定理可知，</p><p>　　對應(yīng)定點(diǎn)的連線AD，BE，CF 共點(diǎn)。</p><p>　　例7：如圖9所示，直線τ交ΔABC 的

35、三邊或其延長線于L，M，N，若直線AM，BN，CL 交成一個(gè)三角形PQR，求證：AQ，BR，CP 三直線共點(diǎn)。</p><p>　　圖9 圖</p><p>　　證明：利用中心射影將L，M，N 所在的直線τ投射到無窮遠(yuǎn)直線</p><p><b>　　并作圖9的對應(yīng)圖形</b></p><p&

36、gt;<b>　　∵是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，</b></p><p><b>　　∴ </b></p><p>　　∴四邊形與都是平行四邊形</p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴是的中點(diǎn)</b></p><p>

37、;　　同理， 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)</p><p>　　即，，是Δ三邊上的中線。</p><p>　　且可知，它們必交于一點(diǎn)。</p><p>　　由于中心射影同素性和接合性，</p><p><b>　　故 交于一點(diǎn)S。</b></p><p>　　中心射影：（如圖10）設(shè)與是同一平面內(nèi)兩條不同的

38、直線，是在此平面內(nèi)不在與上的一點(diǎn)。設(shè)是上任意一點(diǎn)，連接交直線于，點(diǎn)稱為點(diǎn)從投影到上的中心射影，稱為投影線，稱為投影中心，</p><p>　　顯然也叫做在上的中心射影。</p><p><b>　　圖10</b></p><p>　　交比在初等幾何當(dāng)中的作用</p><p>　　例8：求證：“一個(gè)角的兩邊與這個(gè)角的內(nèi)外角

39、平分線調(diào)和共扼”。</p><p>　　圖11圖</p><p>　　證明：在圖11中，順次為∠的內(nèi)外角平分線，</p><p><b>　　作直線與平行，則。</b></p><p>　　若交于，于是△為等腰三角形，</p><p><b>　　因此,</b&g

40、t;</p><p>　　令與的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為故(AB，T) =-1</p><p>　　所以(ab,cd)=-1。</p><p>　　圖所示，d，c順次為∠(a，b)的內(nèi)外角平分線，</p><p>　　直線與a,b,c, d 分別交于A,B ,T ,P .</p><p>　　由于(ab,cd)=(AB,TP)，&l

41、t;/p><p><b>　　而BP=-PB，</b></p><p>　　所以AT ·PB= BT·AP，</p><p><b>　　即。</b></p><p>　　于是可得初等幾何中的角平分線性質(zhì)定理。</p><p>　　角平分線性質(zhì)定理:在中，平分

42、,交邊于,則有有下列式子成立：</p><p>　　例9：（蝴蝶定理）在圖12中，過弦BC的中點(diǎn)A的任何兩弦PQ、RS，設(shè)PS、RQ分別交BC于M、N。求證：AM=AN</p><p><b>　　圖12</b></p><p>　　證明：連SB、SC、QB、QC，則S(BP,RC)=Q(BP,RC)，再由直線BC截這兩組等交比的直線，則有（B

43、M,AC）=(BA,NC).</p><p><b>　　由此可知：</b></p><p>　　由已知：BA=AC.得</p><p><b>　　所以：</b></p><p><b>　　又因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以

44、：MA=AN</b></p><p>　　總結(jié)：在上述論證中，應(yīng)用了射影幾何的交比方法，非常簡便地解決了問題，而且計(jì)算交比的方法適用于所有的二階曲線，這樣就自然地將蝴蝶定理推廣到橢圓、拋物線、雙曲線上。</p><p>　　綜上所述，我們可以認(rèn)識到高等幾何對中學(xué)數(shù)學(xué)，特別是中學(xué)幾何的教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義和作用，特別對于即將從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的老師，不僅要懂中學(xué)數(shù)學(xué)，更要拓展視野

45、，拓廣思路，能應(yīng)用高等幾何原理去解決初等幾何問題，這樣才能更好地指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。</p><p>　　仿射幾何對初等幾何的相關(guān)指導(dǎo)作用</p><p>　　因經(jīng)適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，一個(gè)任意三角形可變成正三角形，一個(gè)任意平行四邊形可變成正方形，一個(gè)橢圓可變成圓；同素性、平行性、共線三點(diǎn)的單比及封閉圖形的面積比等都是仿射性質(zhì)。所以在一個(gè)只涉及到幾何圖形的仿射性質(zhì)的命題中，如果該命題在特殊圖形中成

46、立，此時(shí)可以采用將給定的一般圖形用仿射變換變?yōu)樘厥鈭D形，在得出結(jié)論后又回到原圖形的辦法來完成命題的證明。</p><p>　　例10：求證：“正方形ABCD的一組鄰邊上有兩點(diǎn)，且EF//AC。則AEB和CFB面積相等“（見圖13）</p><p><b>　　圖13</b></p><p>　　證明：將此命題作一仿射對應(yīng)，若經(jīng)仿射對應(yīng)后的記號不

47、變，使正方形ABCD對應(yīng)平行四邊形ABCD,E對應(yīng)E,F 對應(yīng)F。</p><p>　　在正方形ABCD中(見圖13)，</p><p><b>　　顯然有，</b></p><p>　　由于兩個(gè)多邊形面積之比為仿射不變量，</p><p>　　所以在平行四邊形ABCD中，</p><p>　　△

48、AED和△CFD面積相等。</p><p>　　于是可得另一命題“平行四邊形ABCD的一組鄰邊上有E,F兩點(diǎn)，且EF//AC，則△AED和△CFD面積相等”(見圖13).</p><p>　　例11：已知L、M、N分別為分ABC的三邊AB、BC及CA成相同比例的兩個(gè)線段的三等分點(diǎn)，求證：△ABC和△LMN有相同的重心。</p><p><b>　　圖14&

49、lt;/b></p><p>　　證明：經(jīng)適當(dāng)仿射變換將三角形ABC變成正三角形 (圖14)。</p><p>　　設(shè)三角形的重心為、、、分別為L、M、N在仿射變換下的象。</p><p>　　因反射變換保持分一線段成兩線段的比不變，</p><p>　　容易證明△是正三角形,</p><p><b>

50、　　因此是△的重心，</b></p><p>　　即△’和△有相同的重心，</p><p>　　又仿射變換保持三角形重心不變，</p><p>　　故△ABC和△LMN重心相同。</p><p>　　例12. 命題:“從圓上一點(diǎn)E作EP垂直于直徑AB,P 為垂足，圓在E處的切線與在A,B處切線分別交于C,D，則AD,BC,EP共點(diǎn)

51、，且EP被交點(diǎn)平分，’(見圖15)</p><p>　　圖15圖</p><p>　　證明：此命題顯然為真，</p><p>　　令A(yù)D,BC交于T，</p><p>　　因?yàn)椤鰾DT∽△ACT，</p><p><b>　　于是，</b></p><p>

52、;　　又CE = CA, BD = DE，</p><p><b>　　所以，</b></p><p>　　從而ET//BD//CA。</p><p><b>　　又,</b></p><p>　　所以EP // BD//CA，</p><p><b>　　即共點(diǎn)得

53、證明。</b></p><p>　　EP被交點(diǎn)平分容易證。</p><p>　　作一仿射對應(yīng)，若經(jīng)仿射對應(yīng)后的記號不變，于是可得另一命題：</p><p>　　“從橢圓上一點(diǎn)E作直徑AB的共扼弦EP與AB交于P，圓在E處的切線分別與在A,B處的切線分別交于C,D ，則AD,BC,EP共點(diǎn)，且EP被交點(diǎn)平分。(見圖)根據(jù)仿射性質(zhì)，此命題亦為真。</p

54、><p>　　射影幾何對初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)作用</p><p>　　例13：命題 :“三平行直線分別交兩平行的直線得三平行四邊形，這三平行四邊形的對角線交點(diǎn)共線且所在直線平行于一組對邊”(見圖16)。</p><p>　　圖16圖</p><p>　　證明：此命題顯然為真。在圖中，</p><p>　　

55、設(shè)過點(diǎn)S的三直線分別交過點(diǎn)T的二直線兩與于。</p><p>　　作一中心射影，使直線ST成為無窮遠(yuǎn)直線，若各點(diǎn)在中心射影后的記號不變經(jīng)過中心射后//; ////;</p><p>　　這樣O,P,Q成為三平行四邊形的對角線交點(diǎn)，</p><p>　　故有O,P,Q共線且所在直線與,平行，</p><p>　　即O,P,Q與,的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)共線，

56、(見圖16)。</p><p>　　由于射影對應(yīng)保持結(jié)合不變，所以中心射影前的四點(diǎn)T,O,P,Q也共線。于是可得另一命題共點(diǎn)三直線分別交共點(diǎn)兩直線得三四邊形這三四邊形的對角線交點(diǎn)與相交兩直線交點(diǎn)共線(見圖),</p><p>　　例14：命題:“已知BE// CF,BC交BE,CF分別于B,C，圓與BE,BC,CF分別相切于E,D ,F ，BF交EC于T，DT//BE//CF”(見圖17)

57、。</p><p>　　圖17圖</p><p>　　證明：此命題顯然為真，</p><p>　　因?yàn)椤鰾ET≌△FCT，</p><p><b>　　于是，</b></p><p>　　CD=CF,BD=BC</p><p><b>　　,<

58、;/b></p><p>　　從而DT//BE//CF。即得證明。</p><p>　　如圖所示，△ABC的旁切圓切邊BC于D,切邊AB和AC的延長線于E和F,BF交EC于T，作一射影變換，若各點(diǎn)在射影變換后的記號不變，使射影變換后，△ABC的旁切圓為一圓，EF變?yōu)閳A的直徑，A為垂直于直徑EF的直線相對應(yīng)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。(見圖17)。</p><p>　　于是可得

59、另一命題“△ABC的旁切圓切邊BC于D，切邊AB和AC的延長線于E和F，設(shè)T是直線BF與CE的交點(diǎn)，則點(diǎn)A,D,T共線。”由原命題得此命題亦為真。 </p><p>　　通過對本文的撰寫，本人所得到的收獲</p><p>　　能很好將高等幾何思想與初等幾何思想相結(jié)合</p><p>　　高等幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，其涵義較為廣泛

60、，在內(nèi)容上以射影幾何為主，兼顧其它，方法上采用代數(shù)法兼綜合法而側(cè)重代數(shù)法。從理論和實(shí)踐的結(jié)合上學(xué)好高等幾何，能在更高層面上認(rèn)識幾何學(xué)的基本特性，研究方法，內(nèi)在聯(lián)系確認(rèn)幾何學(xué)的本質(zhì)升華和發(fā)展幾何空間概念。從而弄清高等幾何與初等幾何的內(nèi)在聯(lián)系，幫助我們對初等幾何中的許多問題作透徹的理解，以至于更好的深入到數(shù)學(xué)的思想中去，很好的將其之間的思想融為一體。</p><p>　　對中學(xué)幾何教材的相關(guān)觀點(diǎn)有更強(qiáng)的認(rèn)識</

61、p><p>　　幾何學(xué)的研究，被分為靜和動兩種觀點(diǎn)，公理法建立幾何學(xué)是研究幾何的靜的觀點(diǎn)；然而變換群下對應(yīng)的幾何學(xué)是研究幾何的動的觀點(diǎn)，這兩種觀點(diǎn)是貫串現(xiàn)行高等幾何教材的兩條主線。</p><p>　　然而對于初等幾何教材，我們可以通過了解高等幾何在幾何學(xué)中的位置，進(jìn)而更加全面和深刻的來理解和分析初等幾何。從而了解了歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何三者之間的關(guān)系，以及他們在初等幾何當(dāng)中所起到的作用

62、。</p><p>　　提高自己對中學(xué)教材體系的掌控能力</p><p>　　在射影幾何中，運(yùn)用射影幾何的理論來統(tǒng)一初等幾何問題，從而提高推廣問題的能力。在初等幾何中有一些命題，他們的內(nèi)容各不相同，其證法也有差異，但從射影幾何觀點(diǎn)來看，他們都是一致的。例如：由三角形的三垂足構(gòu)成的三角形的三邊與原三角形的對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線；三角形三邊中點(diǎn)連線所成的三角形與原三角形對應(yīng)邊分別平行等等。這些命題在

63、初等幾何中不僅內(nèi)容不同，且證明方法也有差異。但在射影幾何中來看，由于三角形的三條高線、三內(nèi)角平分線、三中線分別共點(diǎn)，所以能夠由笛沙格定理直接推出其結(jié)論。</p><p>　　因?yàn)樵S多初等幾何的命題是以射影幾何為其背景的，所以只要掌握了射影幾何知識，并熟知它與初等幾何知識間的聯(lián)系，就能構(gòu)造出形式多樣、內(nèi)容豐富的初等幾何問題。故用射影幾何的相關(guān)理論來構(gòu)造初等幾何問題，可以增強(qiáng)自己的創(chuàng)新能力。</p&

64、gt;<p>　　在幾何思維和分析能力上得到了升華</p><p>　　通過對本文的撰寫，使得我對于幾何問題的思考方面更加靈活，更加全面。從而深一層理解到眾所周知的對偶原則，就是相似、類比思維的產(chǎn)物，如綜合法與代數(shù)法的類比、幾何元素與數(shù)的類比、齊次坐標(biāo)與向量的類比、點(diǎn)坐標(biāo)與線坐標(biāo)的類比等等。既而今后在從事相關(guān)的初等教學(xué)工作中，能夠充分利用高等幾何所體現(xiàn)出的思維，來培養(yǎng)學(xué)生相似類比和辯證思維的能力。&

65、lt;/p><p>　　另外，通過探索高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)作用，使我認(rèn)識到在教學(xué)中，不僅僅要結(jié)合基本理論進(jìn)行講解，更應(yīng)該提出一些值得探索和思維的問題，特別是與初等幾何相關(guān)聯(lián)的問題。雖然這些問題已經(jīng)被前人所解決，但對于學(xué)生而言，仍然是新問題。只有大膽的引導(dǎo)他們，讓他們?nèi)ヌ接?、去研究，這樣一來，不僅可以擴(kuò)大學(xué)生的知識領(lǐng)域，還能培養(yǎng)學(xué)生鉆研教材、分析問題和解決問題的能力。</p><p><

66、;b>　　結(jié)論</b></p><p>　　高等幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課。高等幾何的涵義較為廣泛。我國現(xiàn)在開設(shè)的高等幾何課內(nèi)容上以射影幾何為主，兼顧其他，方法上采用代數(shù)法兼綜合法而側(cè)重代數(shù)法。目的旨在使學(xué)生系統(tǒng)接受射影幾何而主要又是實(shí)射影平面幾何的基本知識，認(rèn)識射影空間的基本特性，研究方法和幾何學(xué)的本質(zhì)，深化幾何空間的概念。從理論和實(shí)踐的結(jié)合上學(xué)好高等幾何，就能在更高層面上認(rèn)識幾何學(xué)

67、的基本特性，研究方法，內(nèi)在聯(lián)系，確認(rèn)幾何學(xué)的本質(zhì)，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內(nèi)涵和外延。,我們明白了高等幾何與初等幾何的內(nèi)在聯(lián)系，擴(kuò)大了關(guān)于幾何學(xué)的眼界，了解到初等幾何在幾何學(xué)中所處的地位，就有助于我們從幾何學(xué)的全局與整體來理解和分析初等幾何教材，就能對初等幾何中的許多問題作透徹的理解，使我們獲得駕馭教材的本領(lǐng)，減少教學(xué)中的盲目性，避免發(fā)生錯(cuò)誤。掌握了高等幾何，我們對處理初等幾何問題的能力增強(qiáng)了，因而在我們

68、備課、答疑和編造習(xí)題時(shí)就能以高等幾何為背景，設(shè)計(jì)出多種多樣的幾何題.此外，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，不只是給學(xué)生傳授書本上的知識，還要在傳授知識的同時(shí)，注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力.在高等幾何問題的研究中貫穿</p><p>　　綜上所述 ，高等幾何對初等幾何的作用非常大.特別對于我們立志成為人民教師的學(xué)子，要教好中學(xué)數(shù)學(xué)，不能只懂中學(xué)數(shù)學(xué)，要“站得更高，看得更遠(yuǎn)”，應(yīng)拓寬視野，拓廣思路，這樣才能更好地把握中學(xué)數(shù)學(xué)

69、.利用高等幾何的觀點(diǎn)和思想方法，將已知初等幾何命題進(jìn)行變換，獲得相關(guān)的其他初等幾何命題，是十分有效的解題方法。只要我們有心，積極開動腦筋，就會把高等幾何的知識很好的運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中去.</p><p><b>　　總結(jié)與體會</b></p><p>　　在對本文的撰寫過程中，遇到了很多的困難，但同樣也感受到了很多。從收集、查閱論文寫作的相關(guān)資料文獻(xiàn)到整理論文的相關(guān)

70、理論，再到論文的撰寫。這個(gè)過程真正讓我感受到自己在短時(shí)間內(nèi)煥然一新的感覺，真正取得了很大的進(jìn)步?，F(xiàn)對這段時(shí)間的論文設(shè)計(jì)情況總結(jié)一下，并分享一下自己的一些感受。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　通過對本文的撰寫，不僅讓我更加熟悉了高等幾何和初等幾何的相關(guān)知識，更讓我更進(jìn)一步認(rèn)識到高等幾何對初等幾何的相關(guān)指導(dǎo)作用。</p>&l

71、t;p>　　通過對本文的撰寫，讓我對初等幾何相關(guān)知識更加了解，并能從初等幾何相關(guān)問題中看到更深的含義。</p><p>　　通過對本文的撰寫，我更加急切地要成為一名人民教師，將自己所知、所想、所感、所悟都傳遞給每一位學(xué)生；同時(shí)我也相信自己一定能通過自己的不斷努力，變得越來越好。</p><p><b>　　體會</b></p><p>　

72、　論文寫作過程是辛苦的，但又能讓自己感受到快樂，因?yàn)樵诶锩嬗泻芏鄸|西是我在任何地方都學(xué)不到的。那就是非凡的自學(xué)能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，以及大膽嘗試的能力和獨(dú)立自主的能力。</p><p>　　在完成論文時(shí)，真正感受到我們大學(xué)四年學(xué)習(xí)最大的收獲就是個(gè)人各方面能力的培養(yǎng)，不僅僅要對理論知識進(jìn)行了解，更應(yīng)該加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，提升實(shí)際操作能力。</p><p>　　做任何一件事情都不是隨隨便便就成功

73、的，都需要我們不斷的努力，不斷的加油，但只要我們有恒心，堅(jiān)持不懈，最后絕對能夠獲取成功的。</p><p>　　學(xué)習(xí)無處不在，在任何一個(gè)時(shí)刻，任何一個(gè)地方，和任何人一起交流，都能學(xué)到很多的知識，關(guān)鍵是看自己抓住學(xué)習(xí)的機(jī)會不斷的學(xué)習(xí)。</p><p><b>　　致謝辭</b></p><p>　　我感謝學(xué)校和學(xué)院對我?guī)啄陙淼呐囵B(yǎng)，感謝關(guān)心和幫助

74、我的所有同學(xué)和老師。特別感謝本次論文撰寫過程中指導(dǎo)老師x老師對我的細(xì)心指導(dǎo)和幫助，xx老師讓我更加自信，更加努力，讓我在論文的撰寫過程中學(xué)到了更多知識，感受到更多。在此，我向x老師表示深深的謝意，謝謝您！</p><p><b>　　【參考文獻(xiàn)】</b></p><p>　?。?］羅崇善.高等幾何［M］.北京:高等教育出版社 1999.</p><

75、p>　?。?］梅向明. 高等幾何［M］. 高等教育出版社，1983.</p><p>　?。?］趙宏量. 幾何教學(xué)探索［M］. 西南師范大學(xué)出版社，1987.</p><p>　　［4］姜樹民等. 高等幾何學(xué)［M］. 陜西人民教育出版社，2000.</p><p>　?。?］黃良文，曾五一. 統(tǒng)計(jì)學(xué)原理［M］. 北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，1992.</p&g

76、t;<p>　?。?］黃虹. 算術(shù)平均數(shù). 重慶高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000，1（3）：60—61.</p><p>　?。?］章嵐. 幾個(gè)統(tǒng)計(jì)平均數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系［J］. 統(tǒng)計(jì)與信息論壇，1999，</p><p>　?。?］鐘集.高等幾何.高等［M］教育出版社.1983.</p><p>　　［9］羅祟善，鄧純江，周開瑞.高等幾何講義［M］.四川科學(xué)

77、技 術(shù)出版社.1986</p><p>　　［10］沈純理（等）.經(jīng)典幾何.北京科學(xué)出版社</p><p>　?。?1］鄭崇友（等）.幾何學(xué)引論.高等教育出版社。</p><p>　?。?2］朱德祥.初等幾何研究[ M] .北京: 高等教育出版社, 1999.</p><p>　　［13］李長明.初等數(shù)學(xué)研究[ M] .北京: 高等教育出版社