數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

1、<p>　　2008年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　　不動(dòng)點(diǎn)原理及應(yīng)用</b></p><p>　　院 － 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p>

2、<p>　　年 級(jí)： 2004級(jí) </p><p>　　學(xué)生姓名： 王 碧 成 </p><p>　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　導(dǎo)師及職稱： 楊 鑫 松

3、 </p><p><b>　　2008年5月</b></p><p>　　2008 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate </p><p>　　The Principle and Application of Immovable point</

4、p><p>　　Department: Mathematics and Applied Mathematics</p><p>　　Grade:2004</p><p>　　Student’s Name: Wang Bicheng</p><p>　　Student No.:</p><p>　　Tutor: Profes

5、sor Yang Xinsong</p><p>　　Finished by May, 2008</p><p>　　畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明</p><p>　　本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要

6、貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 </p><p>　　作者簽名： 日期： </p><p>　　畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說明</p><p>　　本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文

7、（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 </p><p>　　作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：</p><p>　　日期： 日期： </p><p>

8、;　　畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)(答辯小組)成員名單</p><p>　　摘要：介紹了banach不動(dòng)點(diǎn)原理即壓縮影射原理，及其在求一些數(shù)列極限、方程近似解中的應(yīng)用；然后講述了不動(dòng)點(diǎn)原理在微分方程、積分方程解的存在性、和唯一性方面的重要應(yīng)用即逐次逼近法；再講述不動(dòng)點(diǎn)原理在線性方程組方面的應(yīng)用；簡述不動(dòng)點(diǎn)原理在積分中值定理、隱函數(shù)存在定理方面的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：Banach

9、不動(dòng)點(diǎn)原理；壓縮影射；應(yīng)用。</p><p>　　The Principle and Application of Immovable point</p><p>　　Abstract: The banach fixed point compression insinuate that the principle of principle, and for some of the seri

10、es limit, equations approximate solution of and then on a fixed point in the principle of differential equations, integral equations of the existence of, and uniqueness of The important applications that successive appro

11、ximation method; again on the fixed point of principle-the application of equations; briefly fixed point principle in the integral value theorem, the implicit function </p><p><b>　　目錄</b></p&g

12、t;<p>　　第一章 引入……………………………………</p><p>　　1 前言……………………</p><p>　　2 預(yù)備知識(shí)…………………………</p><p>　　第二章 不動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用</p><p>　　1“不動(dòng)點(diǎn)原理”在數(shù)列極限中的應(yīng)用……………………</p><p>　　2“不動(dòng)點(diǎn)

13、原理”在求方程近似解中的應(yīng)用………………………………</p><p>　　3“不動(dòng)點(diǎn)原理”在積分方程的應(yīng)用………………………………</p><p>　　4不動(dòng)點(diǎn)定理在常微分方程中的應(yīng)用………………………………</p><p>　　5不動(dòng)點(diǎn)在解線性方程組方面的應(yīng)用………………………………</p><p>　　6“不動(dòng)點(diǎn)原理”在積分第一中值定理的

14、應(yīng)用………………………………</p><p>　　7“不動(dòng)點(diǎn)原理”在隱函數(shù)存在定理的應(yīng)用………………………………</p><p>　　第三章 結(jié)論…………………………</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………</p><p>　　致謝……………………</p><p><b>　　第一章 引入<

15、/b></p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　我在這篇文章主要是歸納不動(dòng)點(diǎn)原理的應(yīng)用，別人做的只是用不動(dòng)點(diǎn)原理在某一方面的應(yīng)用，而我是在他們的基礎(chǔ)上歸納綜述。在現(xiàn)實(shí)中，我們要研究關(guān)于解的存在性問題都可以用不動(dòng)點(diǎn)原理來求，因?yàn)樵诤芏鄷r(shí)候我們要求解時(shí)根本無法求出，除了簡單的方程外，但是我們可以用不動(dòng)點(diǎn)原理找到解存在。我主要做的是用不動(dòng)點(diǎn)原

16、理即壓縮影射原理：①求一些數(shù)列極限的應(yīng)用。②方程近似解中的應(yīng)用。③然后講述了不動(dòng)點(diǎn)原理在微分方程、積分方程解的存在性、和唯一性方面的重要應(yīng)用即逐次逼近法。④再講述不動(dòng)點(diǎn)原理在線性方程組方面的應(yīng)用。⑤簡述不動(dòng)點(diǎn)原理在積分中值定理方面的應(yīng)用。⑥隱函數(shù)存在定理方面的應(yīng)用。</p><p><b>　　2 預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　定義1 給定（X，），如何對(duì)于影

17、射T：XX，存在常數(shù)L，，使得，則稱T是一個(gè)壓縮影射.</p><p>　　定義2 給定度量空間及的影射T,如果存在使，則稱影射T的不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　定義3 (基本列)給定,,若對(duì)任取的,有自然數(shù)使對(duì),都成立,則稱序列是基本列.</p><p>　　定義4 (完備度量空間)距離空間,若X中任一基本列都收斂,則稱它是完備的.</p><

18、p>　　定理(Banach不動(dòng)點(diǎn)原理-壓縮影射原來)非空的完備度量空間,T是到其自身的一個(gè)壓縮影射,則T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　設(shè)是定義在[a,b]上的函數(shù)(不恒為常數(shù)),且滿足條件:</p><p>　?、僭赱a,b]內(nèi)處處有導(dǎo)數(shù),且;</p><p>　?、趯?duì),有,那么方程有唯一解.</p><p>　　證明:

19、 由在[a,b]內(nèi)處處有導(dǎo)數(shù),則對(duì)</p><p>　　且0<L<1,那么是的一個(gè)壓縮影射,根據(jù)定理1,這時(shí)方程有唯一解,即的不動(dòng)點(diǎn),為求出解,可以在內(nèi)任取一點(diǎn),做為迭代的初始值,然后令那么</p><p>　　第二章 不動(dòng)點(diǎn)原理的應(yīng)用</p><p>　　1 “不動(dòng)點(diǎn)原理”在數(shù)列極限中的應(yīng)用</p><p>　　求數(shù)列極限

20、的方法有很多種，比較典型的有單調(diào)有界原理和迫斂法，若能熟練掌握不動(dòng)點(diǎn)原理，也能方便求出一些數(shù)列極限。為了應(yīng)用方便，上述定理1可改為以下定理</p><p>　　定理對(duì)數(shù)列,若存在常數(shù)r ,0<r<1,使的一切,有</p><p><b>　　,則收斂.</b></p><p>　　證明:自然數(shù)n,p.</p><

21、p>　　所以為基本列(Cauchy列),從而收斂</p><p>　　若遞推公式由一元可微函數(shù)給出,則可通過的導(dǎo)數(shù)來考察,若存在實(shí)數(shù)r,使的,則應(yīng)用微分中值定理,可知滿足壓縮影射的條件.</p><p>　　不過,這時(shí)必須驗(yàn)證,是否保持在成立的范圍之內(nèi).</p><p>　　例1 設(shè) 為常數(shù)，求。</p><p>　　解：我們先來構(gòu)造

22、一個(gè)函數(shù)，顯然在上連續(xù)可導(dǎo)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)</p><p><b>　　又因?yàn)榈玫?lt;/b></p><p><b>　　故由定理知道收斂</b></p><p><b>　　設(shè)又連續(xù)，即有從而</b></p><p><b>　　得到即</b></p&g

23、t;<p>　　上例我們是通過構(gòu)造函數(shù)，得到一個(gè)壓縮映射，利用“不動(dòng)點(diǎn)原理”很快就能求出數(shù)列極限。這里需注意的是一些例題貌似壓縮影射,其實(shí)不然,見下例.</p><p>　　設(shè)影射為自己,且 (3)</p><p>　　任取,令(4)求證數(shù)列有極限,滿足方程.</p><p>　　注 由(3)、(4)式可得 (5)</p>&l

24、t;p>　　此式很像壓縮影射的條件,但實(shí)際不然,因?yàn)?5)式相當(dāng)于r=1,而非0<r<1.</p><p>　　證明: (3)式表明是連續(xù),只要證明了單調(diào),,自然有極限,在(4)式中取極限更知的極限滿足,因?yàn)橛碁樽陨?所以當(dāng)時(shí),由式(4)知,既然,故一切n,恒有,剩下只需證明單調(diào)性.</p><p>　　事實(shí)上,若,則,而任一n,若時(shí),更有</p><

25、;p>　　將帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)移到不等式的另一端,然后同除2,即得</p><p>　　故單增.同理,若時(shí),可證單減.</p><p>　　例 證明 若在區(qū)間上可微,</p><p><b>　　,任取令</b></p><p>　　,,……,,……,則,為方程的根(即為的不動(dòng)點(diǎn)).</p><p&g

26、t;<b>　　證明:已知,令設(shè)則</b></p><p>　　即,這就證明了一切.</p><p>　　應(yīng)用微分中值定理,在</p><p>　　這表明是壓縮影射,所以收斂.且,為的根.</p><p>　　若遞推公式由給出,并已證明了存在,連續(xù).則在中取極限,更得到了A應(yīng)滿足的方程,此方程表明A是的不動(dòng)點(diǎn),至于方程的

27、根是否存在,需用其它方法進(jìn)行討論.</p><p>　　以上介紹了用“不動(dòng)點(diǎn)原理”求極限的方法.</p><p>　　2“不動(dòng)點(diǎn)原理”在求方程近似解中的應(yīng)用</p><p>　　實(shí)際應(yīng)用中，常需要求方程的實(shí)根，但除了一些簡單的方程外，一般是很不容易求得的。作為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，有一種求方程近似解的方法——牛頓切線法，其實(shí)應(yīng)用壓縮映射原理來求方程近似解更方便、更簡單。<

28、;/p><p>　　定理（微分中值定理）若函數(shù)滿足如下條件</p><p><b>　　①在閉區(qū)間上連續(xù)；</b></p><p>　?、谠陂_區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得。</p><p>　　為了方便利用，我們可以把上述的定理1再改為以下定理</p><p>　　定理若遞推公式有一元可微函數(shù)給

29、出，則可通過的導(dǎo)數(shù)來考察。</p><p>　　若存在實(shí)數(shù)，使得，則應(yīng)用微分中值定理，可知滿足壓縮映射條件</p><p>　　不過這時(shí)必須驗(yàn)證是否持在成立的范圍之內(nèi)。</p><p>　　例1 求方程的近似解</p><p>　　分析 若令則，但對(duì)任意，。故在的范圍內(nèi)，不是壓縮映射，因此不能直接應(yīng)用定理，然而我們可以改變一下迭代格式，使定理

30、能夠應(yīng)用。</p><p>　　為此我們引進(jìn)一個(gè)叁數(shù)，可使</p><p><b>　　例如取，則當(dāng)時(shí)時(shí)</b></p><p>　　于是我們可采用迭代格式</p><p>　　3 “不動(dòng)點(diǎn)原理”在積分方程的應(yīng)用</p><p>　　下面應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理給出積分方程解的存在性和唯一性的證明.<

31、;/p><p>　　引理設(shè)，是定義在內(nèi)的可測(cè)函數(shù),滿足</p><p><b>　　記,</b></p><p>　　那么,當(dāng)時(shí),必有唯一的適合線性積分方程</p><p><b>　　證明:在上定義影射</b></p><p><b>　　由于</b>&l

32、t;/p><p><b>　　,</b></p><p>　　可知,因此是到的影射.</p><p>　　只要證明是壓縮影射即可證明方程解的存在、唯一性.</p><p><b>　　對(duì)任意的,</b></p><p>　　記,由假設(shè)有,而,即是壓縮影射,由定義1,存在唯一的滿足

33、,</p><p><b>　　即</b></p><p>　　也就是說,當(dāng)必有唯一的適合線性方程</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例 給定積分方程</b></p><p><b>　?、?lt;/b>

34、;</p><p>　　其中是上的已知連續(xù)函數(shù)，是上的已知連續(xù)函數(shù)。證明當(dāng)足夠小時(shí)（是常數(shù)）①式在上存在唯一連續(xù)解。</p><p><b>　　證明：在內(nèi)規(guī)定距離</b></p><p>　　考慮映射，當(dāng)充分小時(shí)，是的壓縮映射，因?yàn)?lt;/p><p>　　此處，故當(dāng)時(shí)，是壓縮算子，此時(shí)拒定理1知方程對(duì)任一 解存在唯一，任

35、取初始逼近。</p><p><b>　　令則</b></p><p>　　是第次的近似是精確解</p><p>　　4 不動(dòng)點(diǎn)定理在常微分方程中的應(yīng)用</p><p>　　應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理證明常微分方程解的存在性和唯一性.</p><p>　　例設(shè)是矩形上的二元連續(xù)函數(shù).在這個(gè)矩形中,其中為一常

36、數(shù),又關(guān)于 滿足Lipschitz條件,即存在常數(shù),對(duì)任意的,,有,那么方程有唯一的滿足初始條件的連續(xù)函數(shù)解,其中.</p><p>　　證明:設(shè)滿足,按通常的距離是完備是距離空間,因此是完備的空間.</p><p>　　令,則是的影射,事實(shí)上，對(duì)于,因,而在上二元連續(xù),所以右端的積分有意義,它是積分上限的連續(xù)函數(shù),由對(duì)于一切的</p><p><b>　

37、　.</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　事實(shí)上,由關(guān)于滿足Lipschitz條件,故對(duì)任意兩點(diǎn),有令則且,所以是上的壓縮影射.</p><p>　　由定義1,存在唯一的使得.</p><p>　　由于方程滿足初始條件的解與的不動(dòng)點(diǎn)一致,因此就得到了原方程的解的存在、唯一性

38、.</p><p>　　5 不動(dòng)點(diǎn)在解線性方程組方面的應(yīng)用</p><p>　　例在維實(shí)向量中,采用范數(shù)其中則不難驗(yàn)證在范數(shù)下成為一個(gè)空間.在中討論下列線性代數(shù)方程組在系數(shù)滿足什么條件時(shí),存在唯一的解.</p><p>　　解:將寫成下列向量形式,其中,是矩陳,.令,則</p><p>　　又可以寫成.顯然是的一個(gè)影射.</p>

39、;<p><b>　　任取令</b></p><p><b>　　而于是利用范數(shù)有</b></p><p>　　由此可見,當(dāng)然一切成立時(shí),是上的壓縮影射.從而有唯一不動(dòng)點(diǎn),即是方程組的唯一解.</p><p>　　“不動(dòng)點(diǎn)原理”在積分第一中值定理的應(yīng)用</p><p>　　定理4若連續(xù)

40、函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上存在唯一一點(diǎn)使得</p><p>　　證明 不妨設(shè)在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減證法一樣</p><p><b>　　在空間中作映射</b></p><p><b>　　是到自身的映射。</b></p><p>　　事實(shí)上，由于， 在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以</p><

41、;p><b>　　并且于是</b></p><p>　　從而是到自身的映射，又對(duì)于，不妨設(shè)有：</p><p>　　因?yàn)樵谏蠂?yán)格單調(diào)遞增，所以，故必存在一個(gè)數(shù)，使得成立，所以有：</p><p>　　從而是到自身的壓縮映射，由不動(dòng)點(diǎn)原理，存在唯一一點(diǎn)，使得，</p><p><b>　　即</b&g

42、t;</p><p><b>　　從而</b></p><p>　　7“不動(dòng)點(diǎn)原理”在隱函數(shù)存在定理的應(yīng)用</p><p>　　定理5設(shè)二元函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　?、旁趨^(qū)域上，及上連續(xù)；</p><p><b>　?、?；</b></p><

43、p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　則有以下結(jié)果，存在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域以及唯一的連續(xù)函數(shù)，它在內(nèi)滿足：</p><p><b>　　證明：考察映射，</b></p><p>　　其中，這里表示定義在閉區(qū)間上取值在R上的連續(xù)函數(shù)空間，其距離規(guī)定為：</p><p>　　先證映射T為壓縮映

44、射，因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以，存在，使得當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　由微分中值定理對(duì)</b></p><p><b>　　存在使得</b></p><p><b>　　所以T為壓縮映射。</b></p>

45、<p><b>　　今取</b></p><p>　　則在中是閉的，從而是完備的。</p><p>　　下面證明映射取，注意到，</p><p>　　由于的連續(xù)性，所以存在，當(dāng)時(shí)</p><p><b>　?。ㄟ@里）</b></p><p><b>　

46、　所以當(dāng)時(shí)</b></p><p><b>　　此外還有：</b></p><p><b>　　從而證明了映射。</b></p><p>　　第三章 結(jié)論</p><p>　　不難看出，利用壓縮映射原理來處理一些問題，的確非常簡單、方便</p><p>&

47、lt;b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 劉炳初.泛函分析[M].北京：科學(xué)出版社，1998. </p><p>　　[2] 張敏等.不動(dòng)點(diǎn)原理及其應(yīng)用.學(xué)術(shù)期刊第21卷第2期.2005</p><p>　　[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]，北京：高等教育出版社，1993. [4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)

48、學(xué)分析第三版.高等教育出版社.</p><p>　　[5] 張恭慶.泛函分析講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，1986.</p><p>　　[6] 李思華.積分方程[M].天津：天津大學(xué)出版社.1993</p><p>　　[7] 嚴(yán)紹宗.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1992. </p><p>　　[8] 龍

49、麗等.不動(dòng)點(diǎn)定理在方程解方面的應(yīng)用 . 學(xué)術(shù)期刊第一期84頁</p><p>　　[9] 王金誠.淺析不動(dòng)點(diǎn)原理應(yīng)用.學(xué)術(shù)期刊2007第4期139頁</p><p>　　[10] 李大華.應(yīng)用泛函簡單教程[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1999.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先

50、要感謝楊鑫松老師，因?yàn)檎撐氖窃跅罾蠋煹南ば闹笇?dǎo)下完成的，楊老師指引了論文寫作方向和框架。論文寫作的過程中，楊老師在百忙中抽出時(shí)間，不厭其煩、孜孜不倦地給我解除凝問和排除障礙。他平易近人，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。在此，謹(jǐn)向楊老師致以崇高的敬意和衷心的感謝，敬禮鞠躬！同時(shí)論文的完成離不開大學(xué)期間所有傳播給我知識(shí)的老師，特別是任課老師，他們給我們灌輸了豐富的理論體系和人文精神。我還不能忘記的有我的同學(xué)、舍友、朋友，他們給了我很多的建議和幫助。同時(shí)我提前向畢