種群細(xì)胞增生中遷移方程的研究

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文檔簡介

1、　　摘要　　摘要　　本文運(yùn)用泛函分析、算子理論和半群理論等現(xiàn)代分析方法，研究了種群細(xì)　　胞增生中具一般邊界（含積分邊界，局部和非局部邊界等）條件的Ｌ－Ｒ模型和　?。遥铮簦澹睿猓澹?/p>

2、ｇ模型的遷移方程，獲得了該方程解的構(gòu)造性理論和相應(yīng)的遷移算子　　的譜分析等一系列新結(jié)果。主要結(jié)果敘述如下：　　一、對種群細(xì)胞增生中具一般邊界條件的Ｌ—Ｒ模型的遷移方程，研究了其相　　應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生的Ｃｎ半群是不可約的，并且　　１．對厶空問中一類具積分邊界條件的Ｌ－Ｒ模型

3、的遷移方程，在邊界算子為　　緊正的條件下，證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果；　　２．對Ｌ。（１≤Ｐ＜∞）空間中一類具一般邊界條件的Ｌ－Ｒ模型遷移方程，在邊　　界算子為有界正的條件下，證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果；　?。常畬炭臻g中一類具一般邊界條件的Ｌ－Ｒ模型

4、遷移方程，在邊界算子為有　　界正的條件下，證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。　　二、對種群細(xì)胞增生中具一般邊界條件的Ｒｏｔ．ｅｎｂｅｒｇ模型的遷移方程，研　　究了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生的Ｃ０半群是不可約的，并且　　１．對厶空間中一類具積分邊界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ

5、模型的遷移方程，在邊界　　算子為緊正的條件下，證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果；　?。玻畬Γ獭＃ǎ薄埽校肌蓿┛臻g中一類具一般邊界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的遷移方　　程，在邊界算子為有界正的條件下，證明了該遷移算子本征值的存在性等結(jié)果；　?。常畬炭臻g中一類具一般邊

6、界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的遷移方程，在邊界　　算子為有界正的條件下，證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。　　關(guān)鍵詞：種群細(xì)胞增生；遷移方程；Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型；Ｌ—Ｒ模型；不可約Ｃ。半群；　　本征值；占優(yōu)本征值<

7、b>　?。粒猓螅簦颍幔悖?lt;/b>　　ＡＢＳＴＲＡＣＴ　?。桑?ｔｈｉｓｐａｐｅｒ’ｕｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌａｎａｌｙｓｉｓ，ｏｐｅｒａｔｏｒｔｈｅｏｒｙ，ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　?。簦瑁澹铮颍幔睿?lt;/p>　?。?/p>

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9、ｒｇ＇ｓｍｏｄｅｌａｒｉｓｉｎｇｉｎｔｈｅｇｒｏｗｉｎｇｃｅｌｌｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ　?。鳎椋簦?lt;/b>　　ｇｅｎｅｒａｌｂｏｕｎｄａｒｙ　?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿螅ǎ椋睿悖欤酰洌椋睿?lt;/p>　?。椋睿簦澹纾颍幔?l

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17、Ｒ’ｓ　?。恚铮洌澹?ｗｉｔｈ　　ｉｎｔｅｇｒａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｎ　　‘ｓｐａｃｅ，ｕｎｄｅｒｔｈｅ　?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?ｏｆｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｂｅｉｎｇｃｏｍｐａｃｔ<p&g

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19、lt;/p>　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　?。澹瘢酰幔妫妫铮?ｏｆＬ－Ｒ＇ｓ　?。恚铮洌澹?lt;/b>　　ｗｉｔｈｇｅｎｅｒａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｎ　?。蹋?/p>

20、１ｓＰ《∞）ｓｐａｃｅ，ｕｎｄｅｒｔｈｅ　?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?ｏｆｔｈｅ　?。猓铮酰睿洌幔颍?ｏｐｅｒａｔｏｒ　?。猓澹椋睿?lt;/b>　?。猓铮酰睿洌澹?lt;/b>&

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23、ｐｅｒａｔｏｒｂｅｉｎｇｂｏｕｎｄｅｄ　?。幔睿?lt;/b>　　ｐｏｓｉｔｉｖｅ，　?。簦瑁?ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｏｐｅｒａｔｏｒ’Ｓｄｏｍｉｎａｎｔｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｗｉｌｌｂｅｐｒｏｖｅｄ．<

24、;/p>　?。樱澹悖铮睿洌妫铮?ｔｈｅ　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　　ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆＲｏｔｅｎｂｅｒｇ’Ｓｍｏｄｅｌａｒｉｓｉｎｇｉｎｇｒｏｗｉｎｇｃｅｌｌ　?。穑铮穑酰欤幔簦椋铮睿?lt;/p><

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26、gt;　　Ｃｏ　?。螅澹恚椋纾颍铮酰?lt;/b>　?。纾澹睿澹颍幔簦澹?ｂｙｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　　ｏｐｅｒａｔｏｒｉｓｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ，ｍ

27、ｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｅ　?。鳎椋欤?lt;/b>　　ｄｉｓｃｕｓｓ　?。保妫铮?lt;/b>　?。簦瑁?lt;/b>&l

28、t;b>　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　?。澹瘢酰幔簦椋铮?lt;/b>　?。铮?lt;/b>　?。遥铮簦澹睿猓澹颍纾В?lt;/p>　　ｍｏｄｅｌ<p

29、>　?。鳎椋簦?lt;/b>　　ｉｎｔｅｇｒａｌ　?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b>　　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　?。椋钲蹋螅穑幔悖?，ｕｎｄｅｒ

30、　　ｔｈｅ　?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?lt;/p>　?。铮?ｔｈｅ　　ｂｏｕｎｄａｒｙ　?。铮穑澹颍幔簦铮?ｂｅｉｎｇｃｏｍｐａｃｔ

31、;　?。幔睿?ｐｏｓｉｔｉｖｅ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅ　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　?。铮穑澹颍幔簦铮颉?ｅｉｇｅｎｖａｌｕ毛ｗｉｌｌｂｅｐｒｏｖｅｄ；　?。玻妫铮?ｔｈｅｔｒａｎｓｐｏｒｔ

32、ｅｑｕａｔｉｏｎ　　ｏｆ　?。遥铮簦澹睿猓澹颍纭?lt;/p>　　ｍｏｄｅｌ　?。鳎椋簦?lt;/b>

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35、/p>　?。穑颍铮觯澹洌?lt;/b>　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　?。铮穑澹颍幔簦铮颍В?ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｗｉｌｌｂｅ　?。常妫铮?lt;/b><

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37、;　?。纾幔睿澹颍幔?lt;/b>　　ｂｏｕｎｄａｒｙ　?。悖铮睿洌椋簦椋铮睿?ｉｎ厶ｓｐａｃｅ，ｕｎｄｅｒｔｈｅ　　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅ　?。猓铮酰睿洌幔颍?lt;/b>

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39、ｉｓｔｅｎｃｅ　　ｏｆｔｈｅ　?。簦颍幔睿螅穑铮颍?lt;/b>　?。铮穑澹颍幔簦铮颉?ｄｏｍｉｎａｎｔ　?。澹椋纾幔睿觯幔欤酰?lt;/p>　　ｗｉｌｌｂｅ

40、　?。穑颍铮觯澹洌?lt;/b>　?。耍澹?ｗｏｒｄｓ：ｇｒｏｗｉｎｇｃｅｌｌｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ，ｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ＇ｓｍｏｄｅｌ，Ｌ－Ｒ＇ｓ　?。恚铮洌澹欤簦瑁?ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｃｏｓｅｍｉｇｒｏｕｐ，ｅｉｇ

41、ｅｎｖａｌｕｏ，ｄｏｍｉｎａｎｔｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　?。保保?lt;/b>　　學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明　　本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工　　作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)

42、注和致謝的地　　方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含　　為獲得直昌太堂或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書雨使用過的材料。與　　我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確　　的說明并表示謝意。</p

43、>　　學(xué)位論文作者簽名（手寫）：箱杰另簽字日期：叼年Ｊ≯月７日　　學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書　　本學(xué)位論文作者完全了解直昌盔堂有關(guān)保留、使用學(xué)位論文　　的規(guī)定，有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁　　盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)

44、直昌太堂可以將學(xué)位論文的全　　部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描　　等復(fù)制手段保存、匯編本學(xué)位論文。同時授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究　　所將本學(xué)位論文收錄到《ｏｅ國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫》，并通過網(wǎng)絡(luò)向　　社會公眾提供信息服務(wù)。&

45、lt;p>　?。ūＣ艿膶W(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書）　　學(xué)位論文作者簽名：鋪玄芳　　導(dǎo)師簽名：　　王ｌ拽坼　　簽字日期：糾年Ｊ胡矽日　　簽字日期：矽

46、矽年瞼月＞１－日　　第１章引言　　第１章引言　　遷移理論是研究物質(zhì)的粒子運(yùn)動所產(chǎn)生的微觀效應(yīng)綜合所致的宏觀遷移現(xiàn)　　象規(guī)律的一種理論，它的精確數(shù)學(xué)表示是積分一微分型的遷移方程。它涉及到</p

47、>　　物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)和社會科學(xué)等眾多學(xué)科。另一方面，各類遷移　　方程的結(jié)構(gòu)形式雷同，并在一定的條件下可以相互滲透和轉(zhuǎn)化．這說明脫離特　　定的對象來研究這類方程的一般數(shù)學(xué)理論是十分重要的，僅就線性遷移方程而　　言，它所確定的遷移算子是一類無界、非自伴和豫解算子不緊的積一微分

48、算子　　【圳。因此，研究這類算子不僅在應(yīng)用上十分重要而且對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展也有著　　非常重要的意義。　　從七十年代起，國際上有許多著名的數(shù)學(xué)家對種群細(xì)胞增生的遷移方程進(jìn)－　　行了研究，種群細(xì)胞的出生和分裂過程是一個遷移方程，開始人們只研

49、究這類　　遷移方程的初值問題解的存在性和唯一性問題，進(jìn)而研究其解的漸近穩(wěn)定性等。　?。保梗罚茨辏蹋澹猓铮鳎椋簦停遥酰猓椋睿铮魇状翁岢隽朔N群細(xì)胞增生的初值問題，它的數(shù)　　學(xué)表示是一類微分型的遷移方程。簡稱為Ｌ—Ｒ模型嗍。　?。保梗福?、１９８３年Ｍ．Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ提出了

50、另一類種群細(xì)胞增生的遷移方程，它的數(shù)　　學(xué)表示是一類積一微分型的遷移方程，簡稱為Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型。并討論了該遷移　　方程的Ｆｏｋｋｅｒ－Ｐｌａｎｋ的近似，獲得了其可數(shù)解階ｌ。　　１９８６、１９８７年Ｗｅｂｂ研究了Ｌ－Ｒ模型，在連續(xù)函數(shù)空間分析了遷移算子以　　的譜孤町

51、。１９８７年Ｖａｎ　　ｄｅｒ　?。停澹搴停冢鳎澹椋妫澹煅芯苛耍遥铮簦澹睿猓澹颍缒Ｐ?，利用本征函數(shù)　　展開的方法，分析了各種邊界條件下的譜的性質(zhì)，獲得了其可析解“哪。１９９７年　?。蹋幔簦颍幔悖韬停停铮耄瑁簦幔颉耍瑁幔颍颍铮酰猓檠芯苛?/p>

52、具一般邊界條件的ｏ．Ｒ模型，在厶空間　　中證明了相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生正ｃｏ半群，并給出其ｃ０半群不可約的充分條件。　　接著，在工。（１墨Ｐｔｍ）空間中對光滑（或部分光滑）的邊界條件，給出了ｄ似口）　　至多由有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值構(gòu)成ｎ１１。１９９９年Ｌａｔｒａｃｈ和Ｊｅｒｉｂｉ研究了<

53、;p>　?。?。（１ｓＰ＜＋∞）空間中Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的非線性邊界值問題，在假設(shè)：　　，　　盯（∥，ｖ）－０，ｒ（∥，Ｖ，ｖ：妒（．￡ｌ，ｖ。））－ｋ（／，，ｖ，ｖ’），（ｐ，Ｖ，妒（ｐ，ｙ’））　　的條件下考慮解的存在性，并對方程邊界值問題的局部解和全局解的存在

54、性給　　第１章引言　　出了充分條件“４。２０００年Ｂｏｕｌａｎｏｕａｒ和Ｅｍａｍｉｒａｄ研究了ＬＩ空間中具積分邊界　　條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的遷移方程，在最小成熟速度為０的條件下，證明了半群　　的非緊性，得到了解的漸近展開式，并

55、在邊界算子不可約的條件下或?qū)耍蜻M(jìn)行　　適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下得出了半群的不可約性，也證明了半群漸近收斂于階為１的投影算　　子”。２００１年Ｂｏｕｌａｎｏｕａｒ研究了工。（１墨Ｐ＜∞）空間中具一般邊界條件的工廣．Ｒ模　　型，在最小周長大于０的條件下，得出了：若邊界算子是緊的，則ｃ０半群也是緊<

56、p>　　的結(jié)論“”。２００２年Ｂｏｕｌａｎｏｕａｒ在厶空間中研究了具非局部邊界條件下的　?。遥铮簦澹睿猓澹颍缒Ｐ偷倪w移方程，得到了其生成半群的正性及不可約性，并計算了它　　的本質(zhì)譜型，在一致拓?fù)湎芦@得了半群的漸近性ｏ”。２００ｚ年Ｂ．ｂｄｓ和Ｍ．Ｍｏｋｈｔａｒ　?。耍瑁幔睿铮酰猓樵冢蹋ǎ保?ｐ《＋ｍ）

57、空間中研究了具非局部邊界條件的ｂ＿Ｒ模型，在最　　小周長為０的假設(shè)下，獲得了半群的Ｄｙｓｏｎ．Ｐｈｉｌｌｉｐ展開式，得到了解的漸近展　　開式；在積分邊界條件下，給出了遷移算子的譜“”。２００３年Ｌａｔｒａｃｈ在厶空間　　中研究了Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的非線性邊界值闖題，把文獻(xiàn)［１２］中盯（／Ｚ，ｖ）一０的條件&l

58、t;/p>　　延拓到盯（肛，ｖ，妒（／Ｊ，ｌ，））一盯（Ⅳ，＇，№（肛，ｖ），也考慮了解的存在性問題ｍ１。２００３年　?。剩澹妫椋猓檠芯苛僳炭臻g中具積分邊界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型，給出了ｓｔｒｅａｍｉｎｇ算子　　的譜分析，特別地，在邊界算子是嚴(yán)格正的條件下，證明了半群是不可約的“”。<p&g

59、t;　?。玻埃埃的辏^續(xù)在工。（１ｓＰｃｍ）空間中研究了具一般邊界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型，　　證明了若邊界算子是正的，則生成的半群是不可約的，最后，給出了遷移算予的　　譜結(jié)構(gòu)，得到了解的漸近展開式“∞。２００５年Ｌａｔｒａｃｈ和Ｔａｏｕｄｉ等人研究了厶空　　間的Ｌ—Ｒ模型的非線性邊界值問題解的存在性，他們

60、的方法是基于拓?fù)涞臈l件　　下利用厶空間特有的弱緊性。町。２００６年ＡｂｄｅｌｋａｄｅｒＤｅｈｉｅｉ等人研究了　　Ｌ。（１‘Ｐ‘＋∞）空問具一般邊界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型，在光滑和部分光滑的邊　　界條件下，詳細(xì)地討論了ｓｔｒｅａｍｉｎｇ算子的譜；接著，在半平面｛Ａ∈ｃＪＲｅＡ＞一Ｐｑ＿｝

61、;　?。ㄘ隇椋螅簦颍澹幔恚椋睿缢阌璧淖V界）上也討論了遷移算子的離散本征值是否存在的問　　題；最后給出了遷移算子的各種本質(zhì)譜…１。　　這些種群細(xì)胞增生的遷移方程與中子遷移方程等有許多差異，最大的差異在　　于其方程的邊界條件，中子等粒子在碰撞過程中不會再生，并且其方程的邊界算

62、　　子在計算過程可以消化在方程的解中，但是種群細(xì)胞在分裂過程中卻會再生，它　　在計算過程中也不易被消去，這無疑給其數(shù)學(xué)研究帶來了很大的困難。因此，為　　了給出方程的解，本文就從證明半群的存在性與不可約性出發(fā)，研究了半群的時　　間漸近性與其譜分析的聯(lián)系，得到了該方程解的構(gòu)造性理論和穩(wěn)定性等結(jié)果

63、。　?。?lt;/b>　　第１章引言　　從前面的文獻(xiàn)中可看出對種群細(xì)胞增生中的譜分析研究工作較少，尤其是離　　散本征值和占優(yōu)本征值的研究工作。因此，本文主要是研究種群細(xì)胞增生中的遷<

64、;p>　　移方程，證明其生成的ｃｎ半群是不可約性，給出了其遷移算子的譜分析，尤其是　　離散本征值和占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。　　本文的結(jié)構(gòu)為；第一章引言；第二章研究具一般邊界條件的Ｌ－Ｒ模型的遷移　　方程，證明了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生正ｃ０半群和該正ｃ０半群的不可約性，分別在<p

65、>　　厶空間中討論了一類具積分邊界條件的Ｌ－Ｒ模型和在Ｌ。（１ｔｐ《＊）空間中討論了　　一類具一般邊界條件的Ｌ－Ｒ模型的遷移算子本征值的存在性，最后在厶空間中　　證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果；第三章研究具一般邊界條件的　　Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的遷移方程，給出了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生ｃ０半群和該

66、ｃ０半群的　　不可約性，分別在厶空聞中討論了一類具積分邊界條件鼴Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型和在　?。?。（１ｔＰ　?。?lt;/b>　?。恚┛臻g中討論了一類具一般邊界條件的Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ模型的遷移算子本<

67、/p>　　征值的存在性，最后在厶空間中證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性等結(jié)果。　?。?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程　　第２章種群細(xì)胞增生中的ＬＲ模型的遷移方程　?。保梗罚茨辏桑辏猓铮鳎椋?/p>

68、ｚ和Ｒｕｂｉｎｏｗ在文獻(xiàn)【５】中首次提出了種群細(xì)胞增生的初值問　　題：　　詹（嘲）－柳（嘶）一一詈（礎(chǔ)）－ｐ（訓(xùn)妒（咖），　　（２．１）　?。於剩ǎ矗?，０）叫ｋ<p

69、>　?。?，ｆ）．　　其中ｆ表示種群細(xì)胞從出生到分裂的周長且ｚ∈（‘，乞），０ｓ‘＜乞ｔ００；ａ表示種群　　細(xì)胞的年齡且４∈［０，ｆ］，妒（ｎ，ｚ，ｔ）是由４，ｚ，ｔ構(gòu)成的種群細(xì)胞的密度；ｐ（．，．）表示　　細(xì)胞的死亡率。之后，對此初值問題的有許多研究工作（部分見文獻(xiàn)【

70、１１，１４，１６】）。　　最近，Ｌａｔｒａｃｈ和Ｍｏｋｈｔａｒ．二Ｋｈａｒｒｏｕｂｉ在文獻(xiàn)【１ｌ】中研究了一類具一般邊界　　條件的ｂ－Ｒ模型的遷移方程，在厶空間中證明了初值問題（２．１）相應(yīng)的遷移算子　　產(chǎn)生正ｃｏ半群，且給出其ｃｏ半群不可約的充分條件－接著，在Ｌｐ（１皇ｐｃ。）空<

71、;p>　　間對光滑（或部分光滑）的邊界條件，他們給出了∥（如）至多由有限代數(shù)重數(shù)的　　離散本征值構(gòu)成。而ＡｒｅｆＪｅｄｂｉ在２００３年的文章［１８】中研究了厶空間Ｒｏｔｅｎｂｅｒｇ　　模型中一類帶積分邊界條件下遷移算子的譜和初值問題解的漸近展開。但是對　　該遷移算子本征值和占優(yōu)本征值的存在性等解的構(gòu)造性理論

72、未見研究。為此，　　本文對具一般邊界條件的Ｍｔ模型的遷移方程（２．１），在第一節(jié)先建立適當(dāng)?shù)目?lt;/p>　　間和算子，給出必要的準(zhǔn)備知識；在第二節(jié)證明了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生正ｃｏ半　　群和該正ｃ０半群的不可約性；在第三節(jié)對厶空間中一類具積分邊界條件的Ｌ－Ｒ　　模型的遷移方程，證明了

73、該遷移算子本征值的存在性：在第四節(jié)對Ｌｐ（１‘ｐｔ＊）　　空間中對一類具一般邊界條件的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程，證明了該遷移算子本征值　　的存在性；最后，在第五節(jié)對Ｌ空間中一類具一般邊界條件的Ｌ－Ｒ模型的遷移　　方程，證明了該遷移算子占優(yōu)本征值的存在性，并給出了Ｃａｕｃｈｙ問題（２．１）解的漸

74、　　近表示。　?。?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程　　２．１空間與算子　　為了Ｆ面證明的需要，在這一節(jié)將介紹空惻與相Ｊ匝的算ｆ

75、ｏ令　　砟：－Ｌ，（Ａ；ｄｕａｖ），　　其中Ａ：Ｉ（ｏ＇ｚ）×（‘，乞），ｏ主‘＜１２ｔｍ，１‘ｐｔｍ?引進(jìn)邊界空間群ｏ，ｚ：，Ｓｏｂｏｌｏｖ　　空間∥如下：　　ｘ；．－０“ｏ）×【‘，ｆ２］；講）；</p&

76、gt;　　砟：１０（｛ｊ】ｘＲ，乞］；講）；　?。?。ｐ∈乃，使宿警∈砟｝－　　定義遷移算子＾為：　　’　?。孥蹋海模ǎ矗ぁ剩ィ?。一卻‘）ｃ砟一巧，

77、　?。贝皇蘑橐缓耄ㄘ祝┒盛椋?lt;/p>　　其中ｐ（．，．）∈Ｌ，妒ｏ，妒‘分別表示為妒。一妒（ｏ，ｆ）；妒。－妒（，，ｆ）。邊界算子日為：　　Ｈ：群一肆；　　妒‘一卻‘．<b&g

78、t;　?。ǎ玻玻?lt;/b>　　假設(shè)：（日）日是有界正算子．　　對妒∈Ｘｐ，Ａ∈ｃ和妒∈Ｄ（４），考慮方程　?。ǎ玻薄矗┒室欢?，　　則對ＲｃＡ，一壁（絲一黜ｉｎｆｐ（．，．）），方程（２．３）可形式地解為：　　妒（口，

79、，）－妒（ｏ，ｆ）Ｐ《‘砷‘叫凈＋Ｊ：ｅｚ∽ｐ㈥如妒（ｓ，１）ｄｓ，　　令口。ｌ，則　　妒（ｆ，ｆ）＿妒（０，ｆ）ｅｏ‘“ｐ“’肛＋上Ｐ√‘“Ｐ‘ｆ?！胍粒ǎ?，１）ｄｓ，　　便于本文的分析，為簡化（２．４）、（２．５）式，引進(jìn)如下算子：<p&g

80、t;　　５　?。ǎ玻常?lt;/b>　　（２．４）　?。ǎ玻担?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程

81、　　１只：群。群，　?。?lt;/b>　?。?，．（只，）（ｖ）：。Ｉ（ｏ，０。＜（“小』肛．　　陋：群４墨，　?。保?，）（４，ｆ）．一，（０，ｚ）

82、。｛（椰‘∽№．　?。穑海?ｐ＿．Ｘ：，　?。?，一（以，）（ｊ，ｆ）：＿上ｅｌ似ｐ扣。肛，（叫）凼．　?。桑悖蓿海兀小?lt;/b>　?。?，　　１，一（ｑ，）（戤ｆ

83、）：ｌＪ：ｅｆ‘“小。肛，（ｓ，ｆ）凼．　　利用ＨＳｌｄｃｒ不等式，易知上面的算子都是有界的，且有如下不等式：　　Ｉｌａｌｌｓｅ一‘（“４＋ｄ；　?。保敝唬桑桑螅ǎ遥澹粒z）訓(xùn)。；　　１１蜴１１‘（ｐ（ＲｅＡ＋絲））。１７９；

84、ＩＩＧ０ｓ（ＲｅＡ＋絲）～．　　在各自的正錐空間蓋＋上，只、幺、只和Ｇ都為正算予。令　　”ｋ＋孫。制若ＩＩＨＩｌＩ竺＜　　則當(dāng)ＲｅＡ＞九時，由０只０ｓｅ吶（““自得　?。桑熳钊眨埃悖保?lt;/b>　　從而

85、算子（，一只日）－１存在，所以（２．４）、（２．５）式分別為：　?。ǎ玻叮?lt;/b>　　即　　妒‘一（，一只Ｈ）。１只仍　　妒一Ｑ。Ｈ（Ｉ一只日）．１只伊＋ｑ弘

86、?。ㄌ鹨唬矗廴眨ǎ剩蛞恢蝗眨矗拢且晦夫嫒眨ㄖ蝗眨蔽悖牵?lt;/p>　　（２．７）　　附注２．１由前面可知半平面｛Ａ∈ｃＩＲｅＡ，九）￡ｐ（４ｌ。　　定理２．１若算子Ｈ滿足假設(shè)（Ｈ１），則在各自的正錐空問上，算子

87、　　６　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ＿Ｒ模型的遷移方程　?。ǎ玻薄矗┮?、日（，一只Ｈ）。１只、只、幺、只和Ｇ關(guān)于Ａ∈｛Ａ∈ｃＩＲｅＡ，九＋￡）　　（Ｖｓ＞０）都是一致有界正的。　　證明由（２．６）式知《只何４ｔ１，則Ｖｓ＞ｏ，ＶＸＥ｛ＡＥＣｌＲｅＡ，如

88、＋Ｆ｝，｜ｃ，ｏ，　　使得１１只日８≤ｃｔｌ，即：（Ｊ－?只日）．１墨ｉ二１：，所以算子（Ｊ—ｆ撙）一一致有界，又由　　于對任意的Ａ∈恤∈ｃＩＲｅＡ，九＋￡），蜴、只、Ｇ和日是有界的，所以（盯一如）＿１　　在ｘ＋上一致有界正的。同理可證算子日（Ｊ一只日）。１毋、只、Ｑ＾、，易和Ｇ在各<

89、;p>　　自的正錐空間也是一致有界正的。　　２．２半群的不可約性　　在本節(jié)中研究ｚ?？臻g中算子＾生成ｃ０半群及ｃｏ半群的不可約性。　　因為當(dāng)ｌ舊４＜１時，由Ｈｉｌｌｅ－Ｙｏｓｉｄａ－Ｐｈｉｌｌｉｐｓ定理知：算子如生成ｃ０半群　?。眨酰ǎ簦簟荩铮?，并滿足：<

90、;/p>　　慨（１）１１ｓｅ一，ｔ＝－Ｏ　　而當(dāng)０日忙１時，定義如下的邊界算予和無界算子，ＸＣｕ＞ｏ，　?。桑?。：ｘ：一Ｘ：，　?。於省?（肘：妒）（ｆ，ｆ）．一Ⅳ。礦（４，ｆ）．　?。ǎ玻福?lt;/b></p

91、>　　浮。：Ｘｐ—ｘ　?。?，　?。币烈唬妗岸剩ń校海Вń校?lt;/p>　　Ｌ：Ｄ（瓦）ｃｘ，一乃，　　妒一瓦妒（４，班一一署（口，，）－【Ⅳ（叫）地“】妒（刈），&l

92、t;/p>　?。模┮唬痢薯模娴V－ＨＭ。伊‘｝．　　附注２．２從上面的定義可證明對ｏ．（砧ｔ１，算子蔚。是％到自身的雙射，　?。?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ＿Ｒ模型的遷移方程　　且㈣虬

93、阿卜也?　　接下來的引理給出了算子瓦和４之間的關(guān)系。　　引理２．１對固定的ｏ《“‘１，有面：ｌＤ（４）－Ｄ（瓦），且如一Ｍ～?；ッ妫海?。　　證明對妒∈Ｄ（４），妒一面：匆，有伊∈Ｘｐ，并且滿足　?。穑ā埃倍剩耙欢?。，<

94、p>　?。娑省唬埃倍剩芬欢剩罚?lt;/p>　　則礦一ＨＭ，，ｑＪ‘，且妒∈Ｄ呱）；反之，ｌ司樣證明若ｑ，ｅＯ（Ｔ．），有　　帆妒∈Ｄ（４），即面：ｌＤ（４）一Ｄ（瓦）。　　接下來，對任意的妒∈Ｄ（以），有　?。?。瓦肘Ｎ。－１妒－“４瓦。一?。埃础疽谎裕铩┮弧靖兀?，ｆ

95、）＋１ｎ“】“。劬１　　一一誓一弘（叫）妒一鉚．　　定理２．２令ｏ．（球ｔ１，則在以中算子互生成的ｃｏ半群｛圪Ｏ），ｔ≈０）等價于算　　予４生成的ｃ０半群｛％（ｆ），ｆ芑ｏ），也就是：　　．ｕ，（ｒ）一面。圪（ｆ）面：１．<

96、b>　　（２．９）　　并且還滿足鼽（ｆ）０‘球。帳（ｆ）¨（ｆ之ｏ）。　?。?lt;/b>　　證明假設(shè)算子正在ｘ，中生成的ｃｏ半群化ｏ），ｆ≈ｏ），令妒∈Ｄ（瓦），由引理　　瓦妒。姆ｒ。１眈（ｆ砌一妒卜姆一蔚＝１

97、【面“虼（ｒ）面：＿一妒】?　　由引理２．１知：　　鉗Ｉ，ｌ卅ｉｍｔ－ｘＰｍ屹（ｒ）面知一妒】。姆一ｈ（ｆ）妒一妒】．　　則算子彳，生成的ｃ０半群｛％（ｆ），ｆ乏０），并滿足％（ｆ）－面。Ｋ（ｆ）齏＝ｌ。反之　　也可

98、證。　?。?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程　　定理２．３若ＲｅＡ，九，則算子４生成ｃ０半群｛％（ｆ），ｆ苫０）?　　證明當(dāng)０日ｌｌｔｌ時，由前面的說明知算子粕生成ｃ０半群｛％（ｆ），ｔ≈０）。<

99、/p>　　當(dāng)０日０芑１時，取Ｈ：－馴日一，則ＩｍＬＩｆ《１，由Ｈｉｌｌｅ－Ｙｏｓｉｄａ－Ｐｈｉｌｌｉｐｓ定　　理知算子毛在一中生成的ｃｏ半群｛Ｋ（ｆ），ｔ苫０）；根據(jù)定理２．２知：算子如生成ｃ０　　半群｛“（ｆ），ｔ≥ｏ）。　　定義２．１ｎ１１令算子Ｑ為０（Ａ）上的正算子，若對一切的，

100、ａＯ，ｆ幸。在Ａ上有　　Ｏｆ，Ｏ，ｎｔ，則Ｑ就稱為嚴(yán)格正算子。　　定義２：２“”令杪（ｆ），ｔ之ｏ）是Ｌ（Ａ）上的正的ｃｏ半群且彳為無窮小生成元，　　則ｙＯ）在‘（Ａ）上被稱為不可約半群：即若ＶＡ’ｓ∽’（ｓ似）為算子彳的譜界），　　算子（Ａ一彳）。１，幾乎處處為嚴(yán)格正算

101、子。．　　定理２Ａ若算子日滿足假設(shè)（ｑ），則一生成的ｃｏ半群｛％（ｆ），ｆ２ｏ）在巧　　中不可約。　　證明由定理２．１知Ｑ。Ｈ（Ｉ—ｅｗ）。１Ｂ是正算子，根據(jù)（２．７）式，對任意的　?。妗荩?，ｆ≠０，有</b

102、>　　（盯一磊）４ｆ王幺日（卜ｅｗ）４只，，ｏ，　　。　　由定義２．芝知｛％（ｆ），ｔ≥０）不可約。　　引理２．２ｍ１假設(shè)算子４是ｚ，上ｃｏ半群的無限小生成元，若ｃｏ半群是不可　　約的，

103、則下列命題成立：　　（１）４中每個正的本征函數(shù)是嚴(yán)格正的；　?。ǎ玻叮ǎ吹墓曹椝阕樱┲忻總€正的本征函數(shù)是嚴(yán)格正的。　?。玻骋活惥叻e分邊界條件的Ｌ－Ｒ模型　　這節(jié)我們主要研究厶空間中具積分邊界條件的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程，討論

104、其相應(yīng)的遷移算子的譜。其中積分邊界算子Ｈ定義為：　?。?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程　　Ｈ：工‘－．Ｘ。?　　１妒一ｒ七（ｕ’）妒（ｕ。）講ｊ<p&g

105、t;　　其中核七（ｆ，ｆ‘）是ｍｕｅ－Ｔａｍａｒｌｄｎ類型的，且滿足ｒ七（ｆ，ｆ’）ｄｒ一１．　?。ǎ玻保埃?lt;/b>　　現(xiàn)假設(shè)日滿足：　　（也）Ｈ是緊算子；　?。ㄒ?/p>

106、）Ｈ是正算子（在Ｂａｎａｃｈｌａｔｔｉｃｅ）．　　先引用Ｌａｔｒａｃｈ在文獻(xiàn)【１１】的有關(guān)結(jié)果。　　引理２．３ｎ１３若日滿足假設(shè)（吼），－當(dāng)ＲｅＡ乏一絲時，有只日為緊算子。　　證明因只ｓｅ。‘（““＂－）Ｉｄ，有最日主月ｊ‘‘（“４＋＆）ｓ日．由假設(shè)（日：）知：日為

107、緊算子，利用Ｄｏｏｄｓ－Ｆｒｅｍｌｉｎ定理知：只日也為緊算子。　　引理２．４Ⅲ１若Ｈ滿足假設(shè)（也），則奸往意Ａ∈｛Ａ∈ｃＩＲｅＡ≥一身，當(dāng)ｌｈｎＡＩ充　　分大時，算子（，一只Ｈ）４存在。　　定理２．５ｍ１若日（，一只Ｈ）４是嚴(yán)格正算子（見文獻(xiàn)［１１】），則算子如生成的

108、ｃｏ半群機(jī)’ｏ（ｆ），ｔ七ｏ）是不可約的?　　定理２．６若日滿足假設(shè)（吃），當(dāng)ＲｃＡ＞一絲時，則有，（只日）＜ｌ。　　證明　　由引理２．３知只日為緊算子，又由Ｋｒｅｉｎ－Ｒｕｔｍａｎ定理知：譜半徑　　‘（只日）是對應(yīng)于ｘ“（Ｘ“為∥中

109、的正錐）中妒的本征值，則有：　?。小＃?，ｐ－％（最日）妒，即　?。妫玻耄ǎ保欤В簦穑ǎ?，ｆ）ｄｌ＇ｅ－ｆ＂‘１＋９０?！纾ㄖ辉隆┒剩?。　　由（２．１０）式知：（名（只日）一ｅ＜ｐ＂“力№弘妒ＩＩ一。。。　　即；。（只Ｈ）。ｅ《‘１＋’“’肛‘ｅ‘Ｉ“１腳。所以

110、當(dāng)ＲｅＡ＞一壁，得‘（只曰）ｔ１。　　引理２．５設(shè)Ｉ舊８ｔ１，盧一ＲｅＡ＞一絲且妒∈ｚ＋，則存在∞，聲，使得對任意　　第２章種群細(xì)胞增生中的卜Ｒ模型的遷移方程　　的Ａ＞∞，有‘（（盧，一以）４）ｃ１?　　證明先證：當(dāng)（聲，一如）一妒－妒∈Ｄ（４）ｎｘ＋時，有Ｉ陟ｌ主彘Ｉｋ

111、０這一結(jié)果?　　當(dāng)（，，一４沖－妒時，有：　　（蘆州彬Ｍ叫）＋苦（ｎ，ｆ）ｔ妒（口，１），　　（蘆＋曼（叫））妒（口，ｆ）＋詈（４，ｆ）‘妒（４’ｆ），　　（戶＋絲增．『：妒（訓(xùn)捌ｆ＋“詈（叫）俐ｓ“妒（口，Ｚ）出ｄｔ，　?。ūR＋

112、壁）Ｉ艫８＋Ｊ？（妒（ｆ，ｆ）一妒（ｏ’ｚ））講墨Ｕ＊ＩＩ．　　當(dāng)１日０ｔ１時，利用（２．１０）式和妒－（ｐｔ一南）。１妒得：　　’（盧＋絲）悱ｎ妒ｌｌ；０（盧卜山）～礦忙而１悱　　所以，當(dāng)口一＋ｍ時，有　　陋一４）４忙擊一ｏ．&

113、lt;b>　　因此本定理成立。　　定理２．７條件同引理２—５．并設(shè)（，一只日）４為正算子，則％（以）一ａ，即存　　在實數(shù)風(fēng)為算子以的本征值。　　證明由定理２．６知名（只日）ｔ１，且（，一只日）一－∑（只日ｒ，所以（，一只日）。　　為有晃算予，又由

114、于（Ｊ一只日）～，只，蜴，鞏和ｑ都為Ｘ＋上的正算子，所以　?。ǎ?，一４）－１為ｘ＋上的正算子．由引理２．３知：若｜｜日０‘１，ｊ∞，蘆時，ＶＡ，∞，　　有ｏ（（Ａ，一＾）４）ｃ１。所以當(dāng)Ａ，ｎ，時，（盯一４）－１也是ｚ上的有界正算子。　　令ＲｅＡ－ｐ，由譜映像原理知：存在ｙ（盧）為（＂一４）．１的本征值，且相應(yīng)&

115、lt;/p>　　的有本征函數(shù)‰＠＊Ｏ），使得　?。颍ūR）妒。一一（盧，一，４Ｘ）～妒。．　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ—Ｒ模型的遷移方程　　叫盧一南卜砒，令風(fēng)吵南，則島是如的本，征值ｏ　?。玻匆活惥咭话氵吔鐥l件的Ｌ－Ｒ．模型

116、　　在前面的基礎(chǔ)上，這一節(jié)我們將研究‘（１量ｐ＜ｍ）空間中具一般邊界條件的　?。蹋夷Ｐ偷倪w移方程（即（２．２）式），并研究其遷移算子的譜結(jié)構(gòu)。　　定理２．８ｎ１１假設(shè)日滿足（馬），且Ｈ是緊算子，Ａ是集合ｓ中有較大實部的　　元素，則

117、　　（１）ａ（Ａ，）ｎ｛Ｘ∈Ｃ［ＲｅＸ，Ｒｃｉ）由至多有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值構(gòu)成；　?。ǎ玻┤簦鳌荩?，則盯（４）ｎ｛Ａ∈ｃＩＲｃＡ，．Ｒｅｘ＋以至多有限；　?。ǎ常┤簦鳎荆?，則當(dāng)ＩＩｎｌＡＩ充分大，對所有的Ａ∈｛Ａ∈ｃＩＲｃ．；【，Ｒｅｉ＋＿，　?。桑桑ù逡唬矗＃保付家恢掠薪?</p

118、>　　定理２．９若算子日滿足假設(shè)（ｑ），則在０（１‘ｐｔ＊）空間中對ＲｃＡ，九＋Ｆ　　時，有仃，（４）≠ｇ，即存在實數(shù)風(fēng)為算子以的本征值。　　證明令ＲｅＡ－ｆｌ，由定理２．１知算子（盯一４）。１是一致有界正的，又由譜　　映像原理知：存在＇，（∥）為（盯一４）４的本征值，有相應(yīng)的本征函數(shù)

119、妒（妒－ｏ），　　使得　?。颍ūR）妒。一（ｐ，一彳。）一妒。，　　因此卜高卜繃，令風(fēng)咿南，則風(fēng)是以的本征值，并且有　　九一高ｓ∥一南。島“　　附注２．３根據(jù)附注２．１易知：當(dāng)ＲｃＡ，凡，有Ａ∈

120、Ｐ（如ｌ；由于盧和ｙ的任　　意性，當(dāng)ＲｃＡ墨九，取定盧和ｒ的值，使之滿足風(fēng)一蛐ｐ｛ＲｅＡ恤∈盯（４，皓，也　　第２童．登登塑墮塑生生塑￡！墮型墮墾整查墨　　就是算子山的譜界?　　引理２．６若算子日滿足假設(shè)（皿），則當(dāng)ＲｃＡ，九時有&l

121、t;/p>　　品ｐ一４）４卜　?。?lt;/b>　　證明由于　　’　?。欤ǎ敛罚矗＃保敢唬祢嫒眨?，

122、一只日）。１只＋Ｇｉ‘Ｉ級丑（Ｊ一只日）－１ＢＩ＋ｌｌｃ－ｌｌ?　　矗‰陋（Ｊｒ一明）４以卜　?。ǎ玻恚?lt;/b>　　首先考慮對所有的妒∈墨，有心‰慨妒９－ｏ。　　令（九）知：九－Ｉｌ＋吮，九∈｛Ｊ；Ｌ∈ｃｌＲｅＡ＇凡｝，且以）．酬是一列實數(shù)，

123、使得當(dāng)　　一－－，ｏｏ時，ｋｌ一＋∞，則對任意的妒∈ｘ，，有　　．　?。?#168;批一。“ｐ小棚“相）凼ｌ’　　在（０＇ｚ）ｘ（‘，ｆ２）上，由Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｅｂｅｇｕｅ定理知：<

124、b>　　蚓ｌｉｍ　?。鈻牛保踝o(hù)ｔ叫卜腫％ｂ岫１．０．州　　另外，由于算子鞏是有界的，由控制收斂定理知：對每個整數(shù)玎有　　熙恢妒０—０．　　由于蜴日（，一只Ｈ）’１的一致有界正的性質(zhì)和（２．１２）式，知（

125、２?１１）式成立。　　同上面的方法，可證對所有的伊∈乃，有，　　規(guī)Ｕｃ：Ｕ＝０．４。ｅ　　所以，當(dāng)ＲｅＡ，．九時，有１０‰《（ＡＪ一以）。１０一ｏ。　?。ǎ玻保玻?lt;/b>　?。ǎ玻?/p>

126、１３）　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程　?。玻嫡純?yōu)本征值的存在性　　本節(jié)我們主要研究如空間上的占優(yōu)本征值。為此，先引入一些結(jié)果。　　定義２．３嫻令４是Ｂａｎａｃｈ空間ｘ上的閉稠定線性算子，且風(fēng)是彳的本征<p

127、>　　值，則風(fēng)為占優(yōu)本征值，若滿足　　一　?。ǎ保╋L(fēng)是實數(shù)；　?。ǎ玻╋L(fēng)的代數(shù)重數(shù)為１；　　（３）若Ａ是彳的異于風(fēng)的本征值，則Ｒｅ２＜風(fēng)；　?。ǎ矗?/p>

128、風(fēng)是Ａ的唯一具有非負(fù)本征函數(shù)的本征值。　　定義２．４對Ｆ∈工２（△），定義線性函數(shù)Ｇ∈如（△）如下：　?。牵ǎ疲撸桑疲牵锵拢?，ｆ）Ｇ（口，１）＠ａｔ．　　為了本節(jié)證明的需要，我們給出文獻(xiàn)［２２，Ａ－Ｉｌｌ，３．６］中留數(shù)的定義。　　假設(shè)風(fēng)是盯（４。）的孤立點，則

129、全純函數(shù)Ａ—只＠，４）能由洛朗展開，而洛　　朗級數(shù)為：對一些ｄ，０，滿足∞ｔ陋一風(fēng)Ｉｔｄ，有　　尺Ｑ，如）一（材一４）‘１一∑吃（Ａ一，６０）ｎ，　　其中以為有界線性算子，且為　　吃－三缸（ｚ一風(fēng)）小枷矗（ｚ，勻）如，　　此時Ｃｌ

130、｛ｚ∈ｃ卜ａ．Ｉ一目．　　ｎ∈ｚ）　?。ǎ玻保矗?lt;/b>　　’　　而系數(shù)垃。是相應(yīng)于譜集｛風(fēng)）的譜投影，稱為Ｒ（－，４）在風(fēng)的留數(shù)，且記為&

131、lt;p>　?。?，從（２．１４）式可知：　　～州｝－（４一風(fēng)ｒ’Ｐ且～＋１）’■州）?‰。。｝，玎，ｍ＞Ｏ　?。ǎ玻保担?lt;/b>　　若存在整數(shù)七）．０，使得ｂ＊０，而對所有的自然數(shù)作）．七時６－．一０，則風(fēng)為　?。遥ǎ?，白）的七階極點

132、。　?。保?lt;/b>　　第２章種群細(xì)胞增生中的Ｌ－Ｒ模型的遷移方程　　由（２?１４）式可知屯，０，■Ｉ＋１）。０，從而召　　６－ｔ。曼現(xiàn)（Ａ一風(fēng)廣（盯一彳”）～，　?。ǎ玻保叮?lt

133、;/b>　　因為Ｐ?６－，。丟疆Ｒｚ，４）出，由定理２?１　　Ｒ（ｚ，４）是正的，從而算子Ｐ　　也是正的?，F(xiàn)來證明算子Ｐ．（Ｐ的共軛算子）也是正的。根據(jù)定義２．４知：對　　中∈如（Ａ），ＥＬ２（Ａ），有；　?。?，妒）。舵

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