時滯微分方程的周期正解及其在種群模型中的應用.pdf

1、常微分方程是近代數(shù)學的一個重要學科分支，隨著現(xiàn)代化社會的發(fā)展，無論是在工程、宇航、生態(tài)等自然科學領域還是在經(jīng)濟、金融等社會科學領域，都有著廣泛的應用．然而在現(xiàn)實世界中，眾多系統(tǒng)未來的狀態(tài)不僅依賴于目前的狀態(tài)而且還依賴于過去某個時刻或某段時間內(nèi)的狀態(tài)．從而，利用常微分方程來描述這類事物的發(fā)展變化過程，只是對其真實情況的近似處理．為了更準確地刻劃這些實際問題，用時滯微分方程作為數(shù)學模型更符合其本質屬性．因而有關時滯微分方程的研究無論在理論上

2、還是在應用上都具有非常重要的意義。此外，常微分方程的周期解的存在性及穩(wěn)定性問題是一個很有意義的研究課題．它體現(xiàn)了一種結構平衡性和穩(wěn)定性，在核物理學、電路信號系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、流行病學和控制論等領域都有著很重要的意義．同樣地，時滯微分方程的周期解的存在性及穩(wěn)定性問題也具有非常大的研究價值．特別地，在種群動力學中，種群受到環(huán)境變化的影響，尤其是周期性變化的環(huán)境(如氣候、食物等)的影響，因而種群動力學中的數(shù)學模型可以假設其中一些變量具有周期性．

3、自然地，這些模型的周期解存在性及其穩(wěn)定性成為眾多學者的研究對象． 本文將對時滯微分方程周期正解的存在性和穩(wěn)定性及其在種群模型中的應用進行深入系統(tǒng)的研究。 第一章，首先介紹了時滯微分方程的研究意義和現(xiàn)狀，特別總結了有關時滯微分方程與中立型時滯微分方程的周期解存在性的研究方法與已有結果的局限性。另外，本章還介紹了本文的主要工作、內(nèi)容安排以及一些預備知識。 第二章，利用一個關于減算子的不動點定理，給出了Lasota-W

4、azewska模型的唯一ω-周期正解、x的存在性條件．特別地，本章不僅給出了收斂于該周期正解x的迭代函數(shù)列{x<,n>)，還利用任意正解與該周期正解x的差的振動性，證明了x的全局吸引性．即，給出了該周期正解x的近似表示．進而使得本章的結果具有較大的實際應用價值。與已有文獻相比較，本章的結果更加易于驗證。 第三章，利用一個關于減算子的不動點定理，給出了血液細胞生成模型的唯一ω-周期正解x的存在性條件．此外，本章不僅給出了收斂于該周

5、期正解x的迭代函數(shù)列{x<,n>)，還利用任意正解與x的差的振動性以及該周期正解的性質，證明了x的全局吸引性．即，給出了該周期正解x的近似表示．進而使得本章的結果具有較大的實際應用價值．與已有文獻相比較，本章的結果更加易于驗證。 第四章，首先應用錐理論和非緊性測度(Kuratowski)理論，證明了一個關于嚴格集壓縮映象的不動點定理，進而改進了相關文獻中的已有結果．然后利用此不動點定理研究更一般的中立型時滯微分方程獲得該方程存在

6、ω- 周期正解的一個易于證實的充分條件．進一步將此結果應用于下列中立型時滯微分方程改進了相應文獻的已有結果，并給予公開問題(Open problem 9.2[19])一個明確的答復．可以看出，利用本章所證明的不動點定理來研究中立型時滯微分方程的周期解存在性問題，是一個較好的方法。 第五章，應用一個關于嚴格集壓縮映象的不動點定理，研究了中立型時滯 Lotka-Volterra 系統(tǒng)獲得了該系統(tǒng)存在ω-周期正解的一個充分條件．與已有