5_2_2數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用(二).教師版

1、<p><b>　　了解整除的性質(zhì)；</b></p><p>　　運用整除的性質(zhì)解題；</p><p>　　整除性質(zhì)的綜合運用.</p><p>　　一、常見數(shù)字的整除判定方法</p><p>　　1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；</p><p>　　一個數(shù)的末

2、兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；</p><p>　　一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；</p><p>　　2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；</p><p>　　一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；</p><p>　　3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)

3、位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.</p><p>　　4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.</p><p>　　5.如果一個數(shù)能被99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)

4、，這個數(shù)一定是99的倍數(shù)。</p><p>　　【備注】（以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立.）</p><p><b>　　二、整除性質(zhì)</b></p><p>　　性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，</p><p>　　c︱b，那么c︱(a±b)．</p>

5、;<p>　　性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，</p><p>　　c∣b，那么c∣a．</p><p>　　用同樣的方法，我們還可以得出：</p><p>　　性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那</p><p><b&g

6、t;　　么b∣a，c∣a．</b></p><p>　　性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b</p><p>　　與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．</p><p>　　例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．</p>

7、<p>　　性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m為非0整數(shù)）；</p><p>　　性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；</p><p><b>　　模塊一、11系列</b></p><p>　　以

8、多位數(shù)142857為例，說明被11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被11整除. </p><p>　　【考點】整除之11系列 【難度】2星 【題型】解答</p><p><b>　　略</b></p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　因為根

9、據(jù)整除性質(zhì)1和鋪墊知，等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被11整除，再根據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷能否被11整除，只需判斷能否被11整除，因此結(jié)論得到說明.</p><p>　　試說明一個4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對應(yīng)的反序數(shù)為6321，它們的和7557是11的倍數(shù)．</p><p>　　【考點】整除之11系列 【難度】2星 【題型】解答</p

10、><p><b>　　略</b></p><p>　　【答案】設(shè)原序數(shù)為，則反序數(shù)為，則</p><p><b>　?。?</b></p><p>　　，因為等式的右邊能被整除，所以 能被11整除</p><p>　　一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的4位數(shù).已知這兩

11、個4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? </p><p>　　【考點】整除之11系列 【難度】2星 【題型】解答</p><p>　　設(shè)這個4位數(shù)是，則新的4位數(shù)是.兩個數(shù)的和為</p><p>　　,是11的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9867是11的倍數(shù)，故正確的答案為986

12、7．</p><p><b>　　【答案】9867</b></p><p>　　模塊二、7、11、13系列</p><p>　　以多位數(shù)為例，說明被7、11、13整除的規(guī)律. </p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】解答</p><p><b&g

13、t;　　略</b></p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　因為根據(jù)整除性質(zhì)和鋪墊知，等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被7、11、13整除，再根據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷能否被7、11、13整除，只需判斷能否被7、11、13整除，因此結(jié)論得到說明.</p><p>　　已知道六位數(shù)是13的倍數(shù)，求中的數(shù)字是幾？ <

14、;/p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】2星 【題型】填空</p><p>　　根據(jù)一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除的特點知道：，是13的倍數(shù)，是8的時候是13倍數(shù)，所以知道方格中填1。</p><p><b>　　【答案】1</b></p&g

15、t;<p>　　三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5，a和b，將它連續(xù)重復(fù)寫2008次成為：.如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù)是多少？ </p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】填空</p><p>　　因為，所以也是7和13的倍數(shù)，因為能被7和13整除的特點是末三位和前面數(shù)字的差是7和13的倍數(shù)，由此可知也是7和13的倍數(shù)，

16、即也是7和13的倍數(shù)，依次類推可知末三位和前面數(shù)字的差即為：也是7和13的倍數(shù)，即也是7和13的倍數(shù)，由此可知也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的數(shù)是：，所以.</p><p><b>　　【答案】546</b></p><p>　　已知四十一位數(shù)（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？</p><p>

17、　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空</p><p>　　我們知道這樣的六位數(shù)一定能被7、11、13整除。原41位數(shù)中從高位數(shù)起共有20個5，從低位數(shù)起共有20個9，那么我們可以分別從低位和高位選出555555，和999999，從算式的結(jié)構(gòu)上將就是進行加法的分拆，即：555555×10…00(35個0)+555555×10…00(29個0)+…+55□99+

18、999999×10…00(12個0)+…+999999.這個算式的和就是原來的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有555555或999999因數(shù)的部分都已經(jīng)是7的倍數(shù)，唯獨剩余55□99待定，那么只要令55□99是7的倍數(shù)即可，即只要□44是7的倍數(shù)即可，□應(yīng)為6。</p><p><b>　　【答案】6</b></p><p>　　應(yīng)當在如下的問號“？”的位置

19、上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)可被7整除？ </p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空</p><p>　　由于可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個數(shù)碼，并不改變其對7的整除性，于是還剩下“”．從中減去63035，并除以10，即得“”可被7整除.此時不難驗證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有322和392可被7整除．所以？處應(yīng)

20、填2或9.</p><p><b>　　【答案】2或9</b></p><p>　　是77的倍數(shù)，則最大為_________?</p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第9題</p><p>　　既不

21、是的倍數(shù)，也不是的倍數(shù)</p><p><b>　　所以是和的倍數(shù)</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　一個1

22、9位數(shù)能被13整除，求О內(nèi)的數(shù)字． </p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空</p><p>　　∵13|，∴13|，∴13|7777770000000+</p><p>　　∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13|，∴13|444</p><p>　　∵，∴13|2

23、，∴設(shè)=7770</p><p><b>　　，∴0</b></p><p><b>　　【答案】6</b></p><p>　　稱一個兩頭（首位與末尾）都是的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭，得到一個兩位數(shù)，它恰好是這個“兩頭蛇數(shù)”的約數(shù)。這個“兩頭蛇數(shù)”是

24、 。（寫出所有可能）</p><p>　　【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第9題，10分</p><p>　　去掉頭尾后的兩位數(shù)必為的約數(shù)。的兩位數(shù)的約數(shù)有，，，，所有可能的數(shù)為，，，。</p><p>　　【答案】所有可能的數(shù)為，，

25、，</p><p>　　模塊三、特殊的數(shù)字系列</p><p>　　學(xué)生問數(shù)學(xué)老師的年齡老師說：“由三個相同數(shù)字組成的三位數(shù)除以這三個數(shù)字的和，所得結(jié)果就是我的年齡。”老師今年 歲。</p><p>　　【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第10題

26、，12分</p><p>　　方法一：操作找規(guī)律，當這個三位數(shù)為時，，當這個三位數(shù)為時，，所以老師今年歲。</p><p>　　方法二，設(shè)而不求設(shè)這個三位數(shù)為時，根據(jù)題意列出式子整理得到：。 </p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　已知兩個三位數(shù)與的和能被37整除，試說明：六位數(shù)也能被37整除

27、．</p><p>　　【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】解答</p><p><b>　　略</b></p><p>　　【答案】，因為999能被37整除，所以能被37整除，而也能被37整除，所以其和也能被37整除，即能被37整除．</p><p>　　一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一

28、個新的4位數(shù).再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? </p><p>　　【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】解答</p><p>　　設(shè)這個4位數(shù)是，則最新的4位數(shù)是.兩個數(shù)的和為</p>

29、<p>　　,是101的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)，故正確的答案為9696.</p><p><b>　　【答案】9696</b></p><p>　　一個六位數(shù)各個數(shù)字都不相同，且這個數(shù)字能被17整除，則這個數(shù)最小是________？</p><p>　　【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題

30、型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第11題</p><p>　　各個數(shù)字不同的六位數(shù)最小是，……2</p><p>　　，，，123505+17=123522，</p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　最小是</b>&l

31、t;/p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　王老師在黑板上寫了這樣的乘法算式:,然后說道:“只要同學(xué)們告訴我你們喜歡1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪個數(shù)，我在括號里填上適當?shù)某藬?shù)，右邊的積一定全由你喜歡的數(shù)字組成?！毙∶鲹屩f：“我喜歡3。”王老師填上乘數(shù)“27”結(jié)果積就出現(xiàn)九個3；小宇舉手說：“我喜歡7?！敝灰娡趵蠋熖钌铣藬?shù)“63”，積久

32、出現(xiàn)九個7：，小麗說：“我喜歡8?！蹦敲此闶街袘?yīng)填上的乘數(shù)是 .</p><p>　　【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】填空</p><p>　　實際上有，因此12345679乘以（為1,2,3,4,5,6,7,8,9）得到的積就能出現(xiàn)9個，所以要想得到9個8應(yīng)該乘以</p><p><b>　　【答案

33、】</b></p><p><b>　　模塊四、綜合系列</b></p><p>　　有四個非零自然數(shù)，其中， .如果能被2整除， 能被3整除， 能被5整除， 能被7整除，那么最小是 ．</p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】2星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞

34、】迎春杯，高年級，復(fù)賽，6題</p><p>　　令，則，因為能被7整除，最小14，此時取不到5的倍數(shù)；若，則，所以最小是28．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　若四位數(shù)能被15整除，則代表的數(shù)字是多少？</p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】2星 【題型】解答&l

35、t;/p><p>　　【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第4題，6分</p><p>　　因為15是3和5的倍數(shù)，所以既能被3整除，也能被5整除．能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字是0或5，能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)．當時，，不是3的倍數(shù)；當時，，是3的倍數(shù)．所以，代表的數(shù)字是5</p><p><b>　　【答案】5</b></p>

36、<p>　　在六位數(shù)的三個方框里分別填入數(shù)字，使得該數(shù)能被15整除，這樣的六位數(shù)中最小的是______.</p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】3星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第13題，5分</p><p>　　15=5×3，最小數(shù)為302010</p><p&g

37、t;<b>　　【答案】</b></p><p>　　0～6這7個數(shù)字能組成許多個沒有重復(fù)數(shù)字的7位數(shù)，其中有些是55的倍數(shù)，最大的一個是（    ）。</p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】4星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第8題</p>

38、<p>　　如果組成的7位數(shù)是55的倍數(shù)，說明這個數(shù)既是5的倍數(shù)也是11的倍數(shù)。能被5整除個位為5或者0，能被11整除說明這7位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位的差是11的倍數(shù)，為0、11、22……，，拆成的兩組數(shù)的差分別為：5和16，，，又因為組成的數(shù)要最大為：6431205或者6342105，所以答案為6431205</p><p><b>　　【答案】</b></p><

39、;p>　　兩個四位數(shù)和相乘，要使它們的乘積能被72整除，求和.</p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】2星 【題型】解答</p><p>　　考慮到，而是奇數(shù)，所以必為8的倍數(shù)，因此可得；四位數(shù)2752各位數(shù)字之和為不是3的倍數(shù)也不是9的倍數(shù)，因此必須是9的倍數(shù)，其各位數(shù)字之和能被9整除，所以.</p><p><b>　　【答

40、案】，</b></p><p>　　一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共□□元(□為被燒掉的數(shù)字)，請把□處數(shù)字補上，并求筆記本的單價. </p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】3星 【題型】填空</p><p>　　把□□元作為整數(shù)□□分.既

41、然是72本筆記本的總線數(shù)，那就一定能被72整除，又因為，(8，9) .所以□□，□□. □□，根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，8 |79□，通過計算個位的□.又□，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征， (□)，顯然前面的□應(yīng)是3.所以這筆帳筆記本的單價是： (元).</p><p><b>　　【答案】5.11</b></p><p>　　小紅為班里買了33個筆記本。班長發(fā)現(xiàn)購物單上

42、沒有表明單價，總金額的字跡模糊，只看到元，班長問小紅用了多少錢，小紅只記得不超過95元，她實際用了 元。</p><p>　　【考點】整除之綜合系列 【難度】3星 【題型】填空</p><p>　　【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第19題，5分</p><p>　　9a.b3元是33個本的總金額，那一定是33的倍數(shù)。因為33=3×11，所