黃土隧道開挖數值模擬畢業(yè)設計

1、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　隨著我國西部大開發(fā)戰(zhàn)略的實施，高等級的公路得到了迅猛發(fā)展。與此同時，在高速公路建設中包含大量的黃土隧道。由于黃土公路隧道洞室開挖斷面大、地質條件復雜、施工難度高、附屬設施多，因此在隧道工程的建設過程中出現(xiàn)了諸多問題。本文基于黃土力學參數，運用巖土工程數值分析軟件Midas GTS，進行黃土地層地下隧道開挖對周圍土體變形影響的

2、計算機模擬分析。根據黃土場地的實際條件，建立了隧道的計算模型，利用Midas GTS程序，模擬了黃土隧道開挖過程中前期支護條件、后期加固措施等因素對隧道內部地表、拱頂、側墻以及地上建筑物沉降的影響程度和塑性區(qū)、位移的分布規(guī)律。仿真黃土隧道開挖數值模擬，以及開挖過程對周圍土層的影響，可為黃土地區(qū)的地下工程建設提供一定的參考。</p><p>　　關鍵詞：黃土隧道 ， 數值模擬 ， Midas GTS</p&g

3、t;<p><b>　　Abstract</b></p><p>　　With the implementation of the strategy of western development in our country， high-grade highway got rapid development. At the same time，contains a large

4、number of loess tunnel in expressway construction. Due to the loess highway tunnel cavern excavation section of large，complex geological conditions，construction difficulty is high，the ancillary facilities，more so in tunn

5、el engineering construction problems appeared in the process. Based on loess mechanics parameters，by use of numerical analysi</p><p>　　Key words: loess tunnel， the numerical simulation， Midas GTS 目 錄</p&

6、gt;<p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1 黃土的特性1</p><p>　　1.1.1 黃土的成分組成1</p><p>　　1.1.2 黃土的分類1</p><p>　　1.1.3 黃土的特性2</p><p>　　1.2 黃土隧道建設

7、歷史3</p><p>　　1.2.1 鐵路黃土隧道的建設歷史3</p><p>　　1.2.2 公路黃土隧道建設歷史4</p><p>　　1.3 黃土隧道建設技術問題4</p><p>　　1.3.1 大斷面黃土隧道的工程特性和變形性機理問題5</p><p>　　1.3.2 適用于黃土隧道的支護結構問題

8、5</p><p>　　1.3.3 黃土隧道地表沉降控制和地表裂縫技術問題5</p><p>　　1.3.4 黃土隧道拱腳穩(wěn)定性問題5</p><p>　　1.3.5 濕陷性黃土隧道地基處理技術問題5</p><p>　　1.4 隧道開挖方法的選擇6</p><p>　　1.4.1 全斷面開挖法6</

9、p><p>　　1.4.2 臺階法施工6</p><p>　　1.4.3 環(huán)形開挖留核心土法7</p><p>　　1.4.4 中隔壁法（CD法）8</p><p>　　1.4.5 交叉中隔壁法（CRD法）8</p><p>　　1.4.6 雙側壁導坑法（眼鏡法）9</p><p>　　1

10、.5 研究任務9</p><p>　　2 有限元分析10</p><p>　　2.1 有限元概念10</p><p>　　2.2 有限元的發(fā)展歷史與現(xiàn)狀10</p><p>　　2.2.1 有限元的發(fā)展歷史10</p><p>　　2.2.2 有限元的現(xiàn)狀10</p><p>　　2

11、.3 有限元的數學基礎研究11</p><p>　　2.4 有限元的基礎理論11</p><p>　　2.4.1 離散化12</p><p>　　2.4.2 單元分析12</p><p>　　2.4.3 整體分析14</p><p>　　2.5 基本原理和數理概念15</p><p>

12、;　　2.6 位移模式及形函數16</p><p>　　2.6.1 等截面梁單元16</p><p>　　2.6.2 三結點三角形單元18</p><p>　　2.6.3 雙線性矩形單元19</p><p>　　2.6.4 平面等參數單元20</p><p>　　2.7 數值方法的收斂性22</p&g

13、t;<p>　　2.8 有限元分析的方法步驟23</p><p>　　2.9 有限元分析24</p><p>　　2.10 有限元分析的作用及特點25</p><p>　　2.10.1 有限元分析的作用25</p><p>　　2.10.2 有限元分析的特點26</p><p>　　3 有限元分

14、析軟件MIDAS GTS27</p><p>　　3.1 MIDAS簡介27</p><p>　　3.2 MIDAS GTS(巖土和隧道結構專用分析系統(tǒng))簡介28</p><p>　　3.3 MIDAS/GTS的數值分析模型28</p><p>　　3.3.1 巖土分析；29</p><p>　　3.3.2

15、坐標系和節(jié)點；29</p><p>　　3.3.3 單元類型.30</p><p>　　4 黃土隧道開挖過程的數值模擬31</p><p>　　4.1 建立模型31</p><p>　　4.1.1 隧道模型基本資料：31</p><p>　　4.1.2 模型效果圖：31</p><p&g

16、t;　　4.2 主要運行結果32</p><p>　　4.2.1 模型開挖不同時期的應力云圖32</p><p>　　4.2.2 不同施工階段的應變等值線云圖35</p><p>　　4.2.3 不同施工階段的位移等值線云圖38</p><p>　　4.2.4 不同施工階段位移變形云圖41</p><p>　

17、　4.2.5 不同開挖階段拱頂位移44</p><p>　　4.2.6 地面的發(fā)生豎向位移44</p><p>　　4.2.7 隧道內側變形45</p><p>　　4.3 不同施工階段對比46</p><p>　　4.3.1 前兩米隧道開挖46</p><p>　　4.3.2 后兩米隧道開挖47</

18、p><p><b>　　結 論49</b></p><p><b>　　致 謝50</b></p><p><b>　　參考文獻51</b></p><p><b>　　緒 論</b></p><p><b>　　

19、黃土的特性</b></p><p><b>　　黃土的成分組成</b></p><p>　　黃土的顆粒成分以粉粒為主，在黃土中粉粒（粒徑0.005~0.05mm）含量一般在60%以上。黃土中普遍含有砂粒，但以極細砂（0.05-0.1mm)居多細砂含量很少，一般粒徑均小0.25mm。粘土含量一般在20%左右。在黃河中游黃土顆粒組成中，由北向南和由西向東砂礫逐

20、漸減少，而黏土含量逐漸增多。</p><p>　　黃土中的礦物質成分包括碎屑礦物和黏土礦物。碎屑礦物主要是石英、長石和云母，這三類礦物的總含量占全部碎屑礦物的80%，還有少量輝石、角閃石、綠簾石和磁鐵礦等。此外，黃土中還含有碳酸鹽礦物，如方解石。黏土礦物主要是伊利石、蒙脫石、高嶺石、針鐵礦和含水赤鐵礦等。</p><p><b>　　黃土的分類</b></p&g

21、t;<p>　　中國黃土的分布面積比世界上任何一個國家都大，而且黃土地形，在中國發(fā)育得最為完善，規(guī)模也最為宏大。中國西北的黃土高原是世界上規(guī)模最大的黃土高原；華北的黃土平原是世界上規(guī)模最大的黃土平原。中國黃土總面積達63.1萬平方公里，占全國土地面積的6％。</p><p>　　從地理位置上來看，中國的黃土主要分布在北緯40°以南的地區(qū)，位于大陸的內部、西北戈壁荒漠以及半荒漠地區(qū)的外緣。從

22、區(qū)域來看，中國的黃土主要分布于廣大西北地區(qū)的黃土高原以及華北平原和東北的南部。黃土高原的面積約占全國黃土分布總面積的70％以上，黃土層的厚度一般都達100米以上，其中陜北和隴東的局部地區(qū)達150米，在隴西地區(qū)超過200米。具體來說，黃土主要分布于甘肅的中部和東部，陜西的中部和北部，內蒙古伊克昭盟的南部和西部，山西的大部分，河南的北部、西部及西北部，山東西部以及遼寧山地一帶。華北平原的黃土則多被埋藏在較深的沖積層的下部。</p>

23、;<p>　　總之，在長城以南，秦嶺以北，西迄青海東部，東至海邊的整個黃河流域都有黃土分布。在長城以北，黃土就逐漸消失。此外值得注意的是，天山北麓、昆侖山麓、祁連山麓也有黃土分布。一般認為中國黃土的分布南止秦嶺，但事實上在寶雞以南，秦嶺中的鳳縣、雙石鋪一帶，再南至柴關嶺也都有黃土分布。即使在漢中盆地或向東到大別山北坡、江蘇北部，甚至南京附近以及長江流域的某些地區(qū)也有零星的黃土分布。</p><p>

24、<b>　　黃土的特性</b></p><p>　　黃土是最新的地質時期（距今約200萬年左右的第四系）形成的土裝堆積物，所以其性質比較特殊。黃土具有顯著的垂直節(jié)理，土質疏松，在干燥時較堅硬，一旦遇水浸泡，通常容易剝落、侵蝕和濕陷。在黃土地區(qū)修建各種建（構）筑物時，如果對黃土的特性不了解，往往會給工程帶來嚴重的損傷和破壞，黃土的特性很早就引起了科學工作者和工程技術人員的關注。在長期的實踐和研

25、究中，把黃土的主要特征歸結為五個方面。</p><p><b>　　多孔性</b></p><p>　　由于黃土主要是由極小的粉狀顆粒所組成，而在干燥、半干燥的氣候條件下，它們相互之間結合得不緊密，一般只要用肉眼就可以看到顆粒間具有各種大小不同和形狀不同的孔隙和孔洞，所以通常有人將黃土稱為大孔土。一般認為黃土的多孔性與成巖作用、植物根系腐爛和水對黃土的作用等有關，更重

26、要的是與特殊的氣候條件有關。典型的黃土孔隙度較高，而黃土狀巖石的孔隙度較低。</p><p><b>　　垂直節(jié)理發(fā)育</b></p><p>　　當深厚的黃土層沿垂直節(jié)理劈開后，所形成的陡峻而壯觀的黃土崖壁是黃土地區(qū)特有的景觀。垂直節(jié)理發(fā)育，就是典型黃土和黃土狀巖石所具有的普遍而特殊的性質。</p><p>　　關于黃土垂直節(jié)理的成因，曾引起

27、了許多學者的興趣。目前較多的人認為，垂直節(jié)理的形成主要是由于黃土在堆積加厚的過程中受到重力的影響，土粒間的上下間距變得愈來愈緊密，而土粒間的左右間距卻保持原狀不變。這樣水和空氣即沿著抵抗力最小的上下方向移動，也就是說沿著黃土的垂直管狀孔隙不斷地作升降運動并反復進行，這就造成了黃土垂直節(jié)理發(fā)育的傾向。</p><p><b>　　層理不明顯</b></p><p>　　

28、凡是沉積巖一般都應具有層理，因為無論任何成因的沉積巖的形成都必須經過沉積物逐步堆積的過程。黃土既然也屬于沉積巖的范疇，為什么層理卻不明顯、不清楚呢？</p><p>　　很多學者把黃土無層理、層理不明顯，作為黃土風成的標志，而有層理的黃土則認為是水成的依據。如今，有人提出不管黃土是風成的，還是水成的都應具有層理，其層理之所以不明顯，主要是由于在觀察過程中，人們的注意力主要集中于黃土的孔隙性和垂直節(jié)理的顯著特征上，

29、忽視了對層理的研究；其次，黃土的組成物質主要物質是塵土質物質，它在漸次堆積過程中，形成非常薄的層理，用肉眼觀察是不明顯的；另外，黃土崖壁經過不斷的雨水淋洗后，常常使表層黃土成泥漿糊狀物涂于整個崖壁表面，因此從外觀來看，就再也看不清層理了，就像磚砌的墻壁經過泥漿的粉刷再也看不到磚縫一樣。這種說法是有一定道理的。</p><p><b>　　透水性較強</b></p><p&

30、gt;　　一般典型的黃土透水性較強，而黃土狀巖石的透水性較弱；未沉陷的黃土透水性較強，沉陷過的黃土透水性較弱。黃土之所以具有透水性，這是和它具有多孔性以及垂直節(jié)理發(fā)育等結構特點分不開的。黃土的多孔性及垂直節(jié)理愈發(fā)育，黃土層在垂直方向上的透水性愈高，而在水平方向上的透水性則愈微弱。此外，當黃土層中具有土壤層或黃土結核層時，就會導致黃土層的透水性不良，甚至產生不透水層。</p><p><b>　　沉陷性&

31、lt;/b></p><p>　　黃土經常具有獨特的沉陷性質，這是任何其他巖石較少有的。黃土沉陷的原因多種多樣，只有把黃土本身的性質與外在環(huán)境的條件結合起來考慮時，才能真正了解黃土沉陷的原因。</p><p>　　粉末性是黃土顆粒組成的最大特征之一。粉末性表明黃土粉末顆粒間的相互結合是不夠緊密的，所以每當土層浸濕時或在重力作用的影響下，黃土層本身就失去了它的固結的性能，因而也就常常引

32、起強烈的沉陷和變形。</p><p>　　此外，黃土的多孔性，大氣降水和溫度的變化以及人為的影響，對黃土中可溶性鹽類的溶解和黃土沉陷的數量與速度都有著極大的影響。</p><p>　　黃土的上述五種特性并不是互不相干的，而是相互影響，互為作用的，所以對黃土的特性必須全面綜合地加以研究。</p><p><b>　　黃土隧道建設歷史</b><

33、;/p><p>　　鐵路黃土隧道的建設歷史</p><p>　　100多年來，在我國黃土分布地區(qū)修建了大量的鐵路干線、支線和專用線，比如橫貫東西的隴海線、蘭新線、京包線京承線、京原線、石太線、邯長線，大秦線、侯月線、；縱橫南北的北同浦線、南同浦線、包蘭線、西延線、太焦線、寶中線等。鐵路穿越黃土塬、梁的邊緣，由于下伏基巖的起伏，黃土層厚度不一，鐵路隧道有全部洞身斷面通過黃土，有僅在隧道上部斷面或

34、在進口、出口部分段落穿過黃土。鐵路黃土隧道主要集中在河南、山西、陜西甘肅等省的鐵路線上。</p><p>　　1950年前黃土隧道施工方法采用單工序作業(yè)，先拱后墻法，全部依靠人工開挖、搬運。隧道拱圈襯砌用白灰砂漿筑砌青磚，邊墻用石料砌筑。</p><p>　　20世紀50~70年代，黃土隧道的施工采用上導坑法，上下導坑法。開挖以手工工具為主，用銑、鎬開挖。支撐主要是木支撐，導坑采用框架式，

35、擴大采用扇形支撐，洞內運輸主要用人力推輕軌土斗車、架子車、手推車等。黃土隧道沒有標準的設計圖，而是套用一般土質隧道的襯砌斷面，其結構形式不完全適應黃土隧道的特性，襯砌厚度偏大而且不完全合理。</p><p>　　20世紀80年代成功采用新奧法修建了大秦鐵路黃土地段的軍都山隧道和神朔線黃土地段的蛇口岇隧道。例如，軍都山隧道采用了近似圓形的蛋形斷面的復合式襯砌結構，采用非爆破大斷面長臺階開挖，斷面分為上、中、下三個臺

36、階，自上而下開挖，上、中層臺階開挖采用平行作業(yè)，下臺階則與上、中臺階開挖采用交替作業(yè)。此后修建的黃土隧道基本上是采用以噴錨網為初期支護，模筑混凝土為二次襯砌的施工方法。</p><p>　　20世紀90年代是鐵路建設高潮期之一，新的干線鐵路及路網建設加快，這一時期在黃土地區(qū)修建的鐵路有侯月線、寶中線、神朔線、神延線、朔黃線等。我國在早期修建的黃土隧道均為普速鐵路單線或者雙線隧道，隧道的開挖面積為50~120m2。

37、受經濟、技術水平的限制，黃土隧道一般較短，大部分穿越新黃土，埋深較淺。建設過程中為了解決黃土隧道特有的問題，廣大隧道工程建設者針對性地開展了大量的試驗研究工作。</p><p>　　公路黃土隧道建設歷史</p><p>　　根據資料記載，在陜西北部黃土高原修建的第一座隧道是黑山寺隧道，位于咸陽至宋家川公路的子長縣黑山寺溝，單車道、青磚襯砌，凈空為0.35m+0.35m+0.35m，界限高4

38、m，全長250m。該隧道1958年開始試驗性修建，1956年正式建成。</p><p>　　由于大跨徑、大斷面和扁坦狀特點，早期黃土公路隧道的施工方法主要是單側壁和雙側壁導坑法，進入20世紀90年代后普遍采用環(huán)形開挖留核心土法，對于三車道和加寬帶一般采用三臺階七步環(huán)形開挖發(fā)。</p><p>　　隨著我國改革開放的不斷深入和經濟的快速發(fā)展，高速公路的建設得到了迅猛的發(fā)展，修建了大量的黃土公

39、路隧道。目前，修建的黃土隧道最大跨度為17.66m（西安繞城高速公路南段的馬騰空隧道）；最大開挖斷面為171m2（陜西榆林—商洛線神木至府谷高速公路的墩梁隧道，開挖高度為12.19m，最大開挖跨度達17.32m）；西北地區(qū)第一長黃河隧道是羊泉隧道（長6146m）；我國第一條黃土連拱隧道是離石隧道（青島至銀川國道山西省汾陽—離石高速公路，長180m），隧道開挖寬度達24.4m，開挖高度達10.05m（含仰拱），總開挖面積為224.4m2。

40、</p><p>　　黃土隧道建設技術問題</p><p>　　黃土隧道，特別是大斷面、特大斷面的黃土隧道，由于其自身的特點（施工變形量大、地表沉降量大、新黃土濕陷性等）在建設中主要存在以下幾個技術問題。</p><p>　　大斷面黃土隧道的工程特性和變形性機理問題</p><p>　　大斷面和特大斷面黃土隧道的工程特性和變形機理不同于小斷面

41、和中斷面的黃土隧道。對于黃土的基本特征和小斷面黃土隧道的工程特性、變形機理等，過去已有比較深入的研究，取得了很多共識。但實踐證明，在大斷面或特大斷面的條件下，有些成果和共識已不能成立，或需要修正。因此，有必要研究提出大斷面和特大斷面黃土隧道的工程特性和變形機理，并以此作為建立大斷面黃土隧道建設技術的基礎。</p><p>　　適用于黃土隧道的支護結構問題</p><p>　　目前，黃土隧道

42、的支護結構構成基本上與一般圍巖隧道的支護結構構成相同，但從大斷面和特大斷面黃土隧道施工的實際看，系統(tǒng)錨桿的效果存在疑慮，格柵鋼架和型鋼鋼架何者為宜？如何理解二次襯砌的安全儲備？二次襯砌是否承載？以及控制支護腳部下沉的技術等一系列問題都與支護結構有關。</p><p>　　可見，加深對各種支護措施的作用的機理研究，選擇經濟合理的黃土隧道的支護結構是一個值得研究的重要問題。</p><p>　

43、　黃土隧道地表沉降控制和地表裂縫技術問題</p><p>　　黃土隧道一般深埋較淺，個別隧道下穿既有建(構）筑物，施工過程中，易產生地表裂縫，如何讓控制地表的沉降和裂縫，是黃土隧道需要解決的重要技術問題。</p><p>　　當前研究成果表明，淺埋黃土隧道的地表沉降和開裂一般具有以下規(guī)律：在隧道開挖后，即發(fā)生沉降，地表出現(xiàn)縱向和橫向裂縫，裂縫一般超前掌子面。因此，應控制隧道的施工變形，減少

44、黃土隧道施工地表裂縫，確保黃土隧道結構的穩(wěn)定和運營的安全。</p><p>　　黃土隧道拱腳穩(wěn)定性問題</p><p>　　考慮到施工工序的影響，黃土隧道拱腳部位受力比較復雜，一般拱腳圍巖的承載力不足，容易發(fā)生屈服形成塑性區(qū)，拱腳沉降和收斂變形大，易因拱腳變形過大導致隧道整體下沉及失穩(wěn)。</p><p>　　由監(jiān)控量測結果表明，拱腳變形較大地段，其地表沉降和拱頂下沉

45、也較大，兩者完全對應，并且兩者發(fā)生突變時間同步，變化的幅度也同步?？梢娙绾尾扇∮行Э刂乒澳_變形的措施，以有利于控制拱頂沉降和地表下沉，是需要深化研究解決的問題。</p><p>　　濕陷性黃土隧道地基處理技術問題</p><p>　　我國已在黃土地區(qū)修建大量的鐵路隧道，由于列車運行速度低，對工后地基沉降控制要求不高，除將位于濕陷性黃土地層的洞門或者洞身基礎進行換填處理外，一般情況下沒有對基

46、礎做特殊處理。</p><p><b>　　隧道開挖方法的選擇</b></p><p>　　在當前的施工實踐中，從施工造價及施工速度考慮，施工方法選擇順序為：全斷面法→臺階法→環(huán)形開挖留核心土法→中隔壁法（CD法)→交叉中壁法（CRD法）→雙側壁導坑法；從施工安全角度考慮，其選擇順序應反過來。如何正確選擇，應根據實際情況綜合考慮，但必須符合安全、快速、質量和環(huán)保的要求

47、，達到規(guī)避風險、加快進度和節(jié)約投資的目的。</p><p><b>　　全斷面開挖法</b></p><p><b>　　概念</b></p><p>　　全斷面開挖法就是按照設計輪廓一次爆破成形，然后修建襯砌的施工方法。</p><p><b>　　適用條件：</b><

48、/p><p>　　I~IV級圍巖，在用于Ⅳ級圍巖時，圍巖應具備從全斷面開挖到初期支護前這段時間內，保持其自身穩(wěn)定的條件。</p><p>　　有鉆孔臺車或自制作業(yè)臺架及高效率裝運機械設備。</p><p>　　隧道長度或施工區(qū)段長度不宜太短，根據經驗一般不應小于lkm，否則采用大型機械化施工，其經濟性較差。</p><p><b>　　

49、全斷面法施工特點</b></p><p>　　開挖斷面與作業(yè)空間大、干擾??；</p><p>　　有條件充分使用機械，減少人力；</p><p>　　工序少，便于施工組織與管理，改善勞動條件；</p><p>　　開挖一次成形，對圍巖擾動少，有利于圍巖穩(wěn)定。</p><p><b>　　臺階法施工

50、</b></p><p><b>　　概念</b></p><p>　　臺階法是先開挖上半斷面，待開挖至一定長度后同時開挖下半斷面，上、下半斷面同時并進的施工方法；按臺階長短有長臺階、短臺階和超短臺階三種。近年來由于大斷面隧道的設計，又有三臺階臨時仰拱法，甚至多臺階法。至于施工中究竟應采用何種臺階法，要根據以下兩個條件來決定：</p><

51、;p>　　初期支護形成閉合斷面的時間要求，圍巖越差，閉合時間要求越短；</p><p>　　上斷面施工所用的開挖、支護、出碴等機械設備施工場地大小的要求。</p><p>　　在軟弱圍巖中應以前一條為主，兼顧后者，確保施工安全。在圍巖條件較好時，主要是考慮如何更好的發(fā)揮機械效率，保證施工的經濟性，故只要考慮后一條件。臺階開挖法的優(yōu)缺點：臺階開挖法可以有足夠的工作空間和相當的施工速度。

52、但上、下部作業(yè)有干擾；臺階開挖雖增加對圍巖的擾動次數，但臺階有利于開挖面的穩(wěn)定。尤其是上部開挖支護后，下部作業(yè)就較為安全，但應注意下部作業(yè)時對上部穩(wěn)定性的影響。</p><p>　　臺階開挖時應注意以下幾點：</p><p>　　解決好上、下半斷面作業(yè)的相互干擾問題。微臺階基本上是合為—個工作面進行同步掘進；長臺階基本上拉開，干擾較小；而短臺階干擾就較大，要注意作業(yè)組織。對于長度較短的隧道

53、，可將上半斷面貫通后，再進行下半斷面施工。</p><p>　　下部開挖時，應注意上部的穩(wěn)定。若圍巖穩(wěn)定性較好，則可以分段順序開挖；若圍巖穩(wěn)定性較差，則應縮短下部掘進循環(huán)進尺；若穩(wěn)定性更差，則可以左右錯開，或先拉中槽后挖邊幫。</p><p>　　下部邊墻開挖后必須立即噴射混凝土，并按規(guī)定做初期支護。</p><p>　　量測工作必須及時，以觀察拱頂，拱腳和邊墻中部

54、位移值，當發(fā)現(xiàn)速率增大立即進行仰拱封閉。</p><p><b>　　環(huán)形開挖留核心土法</b></p><p>　　環(huán)形開挖進尺宜為0.5-1.0m，核心土面積應不小于整個斷面面積的50%，開挖后應及時施工噴錨支護、安裝鋼架支撐，相鄰鋼架必須用鋼筋連接，并應按施工要求設計施工鎖角錨桿。</p><p>　　圍巖地質條件差，自穩(wěn)時間短時，開挖前

55、應按設計要求進行超前支護。</p><p>　　核心土與下臺階開挖應再上臺階支護完成后、噴射混凝土達到設計強度的70%。</p><p><b>　　\</b></p><p>　　圖1-1 環(huán)形開挖留核心土法</p><p><b>　　中隔壁法（CD法）</b></p><p

56、>　　CD 法是在軟弱圍巖大跨度隧道中，先開挖隧道的一側，并施作中隔壁，然后再開挖另一側的施工方法，主要應用于雙線隧道Ⅳ級圍巖深埋硬質巖地段以及老黃土隧道（Ⅳ級圍巖）地段。</p><p>　　a b </p><p><b

57、>　　圖1-2 CD法</b></p><p>　　交叉中隔壁法（CRD法）</p><p>　　在軟弱圍巖大跨隧道中，先開挖隧道一側的一或二部分，施作部分中隔壁和橫隔板，再開挖隧道另一側的一或二部分，完成橫隔板施工；然后再開挖最先施工一側的最后部分，并延長中隔壁，最后開挖剩余部分的施工方法。采用短臺階法難確保掌子面的穩(wěn)定時，宜采用分部尺寸小的CRD法，該工法對控制變形比

58、較有利。</p><p>　　CD 法是“Center Diaphragm”的簡稱，而CRD法則是Cross Diaphragm” 的簡稱。兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都用于比較軟弱地層中而且是大斷面隧道的場合。而前者是在用鋼支撐和噴混凝土的隔壁分割開進行開挖的方法；后者則是用隔壁和仰拱把斷面上下、左右分割閉合進行開挖的方法，是在地質條件要求分部斷面及時封閉的條件下采用的方法

59、。因此，CRD法與CD法唯一的區(qū)別是在施工過程中每一步，都要求用臨時仰拱封閉斷面。</p><p>　　在CRD法或CD法中，一個關鍵問題是拆除中壁。一般說，中壁拆除時期應在全斷面閉合后，各斷面的位移充分穩(wěn)定后，才能拆除。</p><p><b>　　圖1-3 CRD法</b></p><p>　　雙側壁導坑法（眼鏡法）</p>

60、<p>　　側壁導坑開挖后方可進行下一步開挖。地質條件差時，每個臺階底部均應按設計要求設臨時鋼架或臨時仰拱。</p><p>　　各部開挖時，周邊輪廓應盡量圓順。</p><p>　　應在先開挖側噴射混凝土強度達到設計要求后在進行另一側開挖。</p><p>　　左右兩側導坑開挖工作面的縱向間距不宜小于15米。</p><p>　　

61、當開挖形成全斷面時應及時完成全斷面初期支護閉合。</p><p>　　中隔壁及臨時支撐應在澆筑二次襯砌時逐段拆除。</p><p>　　圖1-4 雙側壁導坑法</p><p><b>　　研究任務</b></p><p>　　熟悉黃土隧道開挖施工的各種工法，數值模擬最常用工法施工隧道開挖過程中隧道的變形。</p&g

62、t;<p>　　通過數值模擬，對黃土隧道在施工中產生的變形進行計算分析，提取不同開挖階段的變形云圖，分析開挖方法對控制沉降的影響。</p><p><b>　　有限元分析</b></p><p><b>　　有限元概念</b></p><p>　　有限元法( Finite Element Method， FE

63、M) ， 是計算力學中的一種重要的方法， 它是20世紀50年代末60年代初興起的應用數學、現(xiàn)代力學及計算機科學相互滲透、綜合利用的邊緣科學。有限元法最初應用在工程科學技術中， 用于模擬并且解決工程力學、熱學、電磁學等物理問題。對于過去用解析方法無法求解的問題和邊界條件及結構形狀都不規(guī)則的復雜問題， 有限元法則是一種有效的分析方法。有限元法的基本思想是先將研究對象的連續(xù)求解區(qū)域離散為一組有限個且按一定方式相互聯(lián)結在一起的單元組合體。由于單

64、元能按不同的聯(lián)結方式進行組合， 且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模擬成不同幾何形狀的求解小區(qū)域; 然后對單元( 小區(qū)域) 進行力學分析， 最后再整體分析。這種化整為零， 集零為整的方法就是有限元的基本思路。</p><p>　　有限元的發(fā)展歷史與現(xiàn)狀</p><p><b>　　有限元的發(fā)展歷史</b></p><p>　　20世紀40年代

65、初，歐拉等人就提出了有限單元法的基本思想；</p><p>　　1941年，Hrenikoff使用“框架變形功方法”(frame work method)求解了一個彈性問題 ；</p><p>　　1943年，Courant發(fā)表了一篇使用三角形區(qū)域的多項式函數來求解扭轉問題的論文 ；</p><p>　　1955年德國的Argyris出版了第一本關于結構分析中的能量

66、原理和矩陣方法的書，為后續(xù)的有限元研究奠定了重要的基礎 ；</p><p>　　1960年Clough在處理平面彈性問題時，第一次提出并使用“有限元方法’’(finite element method)的名稱；</p><p>　　60年代，開始使用這一離散方法來處理結構分析、流體問題、熱傳導等復雜問題；</p><p>　　1970年以后，有限元方法開始應用于處理

67、非線性和大變形問題。 </p><p><b>　　有限元的現(xiàn)狀</b></p><p>　　自從提出有限元概念以來， 有限元理論及其應用得到了迅速發(fā)展。過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題， 都得到了新的解決方案。傳統(tǒng)的FEM假設: 分析域是無限的; 材料是同質的， 甚至在大部分的分析中認為材料是各向同性的; 對邊界條件簡化處理。但實際問題往往是分析域有限、材

68、料各向異性或邊界條件難以確定等。為解決這類問題， 美國學者提出用GFEM( Gener-alizedFiniteElement Method) 解決分析域內含有大量孔洞特征的問題; 比利時學者提出用HSM( the Hybrid metis Singular element of Membraneplate) 解決實際開裂問題。在FEM應用領域不斷擴展、求解精度不斷提高的同時， FEM也從分析比較向優(yōu)化設計方向發(fā)展。印度Mahanty博

69、士用ANSYS對拖拉機前橋進行優(yōu)化設計， 結果不但降低了約40%的前橋自重， 還避免了在制造過程中的大量焊接工藝， 降低了生產成本。</p><p>　　FEM在國內的應用也十分廣泛。自從我國成功開發(fā)了國內第一個通用有限元程序系統(tǒng)IGFEX后， 有限元法滲透到工程分析的各個領域中， 從大型的三峽工程到微米級器件都采用FEM進行分析， 在我國經濟發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。目前在進行大型復雜工程結構中的物理場分析時，

70、 為了估計并控制誤差， 常用基于后驗誤差估計的自適應有限元法?；诤筇幚矸ㄓ嬎阏`差， 與傳統(tǒng)算法不同， 將網格自適應過程分成均勻化和變密度化2個迭代過程。在均勻化迭代過程中， 采用均勻網格尺寸對整體區(qū)域進行網格劃分， 以便得到一個合適的起始均勻網格; 在變密度化迭代過程中，只進行網格的細化操作， 并充分利用上一次迭代的結果， 在單元所在的曲邊三角形區(qū)域內部進行局部網格細化， 保證了全局網格尺寸分布的合理性， 使得不同尺寸的網格能光滑銜接

71、， 從而提高網格質量。整個方案簡單易行， 穩(wěn)定可靠， 數次迭代即可快速收斂， 生成的網格布局合理， 質量高。</p><p>　　有限元的數學基礎研究</p><p>　　1943年Courant的開創(chuàng)性的論文研究了求解平衡問題的變分方法；</p><p>　　1954年胡海昌提出了廣義變分原理；</p><p>　　1963年Besseli

72、ng，Melosh和Jones等人研究了有限元方法的數學原理；</p><p>　　錢偉長最先研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間關系；</p><p>　　馮康研究了有限元分析的精度與收斂性問題。</p><p><b>　　有限元的基礎理論</b></p><p>　　有限元法的基本思路和基本原則以結構力學中的位移

73、法為基礎，把復雜的結構或連續(xù)體看成有限個單元的組合，各單元彼此在節(jié)點處連接而組成整體。把連續(xù)體分成有限個單元和節(jié)點，稱為離散化。先對單元進行特性分析，然后根據各節(jié)點處的平衡和協(xié)調條件建立方程，綜合后作整體分析。這樣一分一合，先離散再綜合的過程，就是把復雜結構或連續(xù)體的計算問題轉化為簡單單元的分析與綜合的問題。因此，一般的有限元解法包括三個主要步驟：離散化、單元分析、整體分析。</p><p><b>　

74、　離散化</b></p><p>　　一個復雜的彈性體可以看作由無限個質點組成的連續(xù)體。為了進行解算，可以將此彈性體簡化為有限個單元組成的集合體，這些單元只在有限個節(jié)點上鉸接，因此，這集合體只具有有限個自由度，這就為解算提供了可能。有無限個質點的連續(xù)體轉化為有限個單元的集合體，就稱為離散化。</p><p><b>　　單元分析</b></p>

75、<p>　　單元分析首先要進行單元劃分。在工程結構中，一般采用四種類型的基本單元，即標量單元、線單元（桿、梁單元）、面單元和體單元。四種基本單元的若干例子及各單元節(jié)點自由度（節(jié)點位移）表示在圖（1-1）中。而單元劃分一般注意下面幾點：</p><p>　　從有限元本身來看，單元劃分的越細，節(jié)點布置得越多，計算的結果越精確。但計算時間和計算費用的增加。所以在劃分單元時對應兼顧這兩個方面。</p&

76、gt;<p>　　在邊界比較曲折，應力比較集中，應力變化較大的地方，單元應劃分的細點，而在應力變化平緩處單元劃分的大些。單元由小到大應逐漸過渡。</p><p>　　對于三角形單元，三條邊長應盡量接近，不應出現(xiàn)鈍角，以免計算出現(xiàn)較大的偏差。對于矩形單元，長度和寬度也不應相差過大。</p><p>　　任意一個三角形單元的角點必須同時也是相鄰單元邊上的角點，而不能是相鄰單元邊上

77、的內點。劃分其他單元時也應遵循此原則。</p><p>　　如果計算對象具有不同的厚度或不同的彈性系數，則厚度或彈性系數突變之處應是單元的邊線。</p><p>　　圖2-1 一些基本的有限元及相應的節(jié)點位移（→）和轉動（→→）</p><p>　　應力分布在載荷有突變之處或是受有集中載荷處布置點處，其附近的單元也應劃分的小一點。</p><p&

78、gt;　　單元劃分完畢后，要將全部單元及全部節(jié)點按一定順序編號，單元號及節(jié)點號均不能有錯漏或重復。</p><p>　　每個單元所受的載荷均按靜力等效的原則移置到節(jié)點上，并在位移受約束的節(jié)點上根據實際情況設置約束條件。</p><p>　　單元分析的主要任務是：求出單元節(jié)點位移和節(jié)點力之間的轉換關系。而對于一個復雜的彈性體，要用某種函數來描述整體內任一點的位移是不大可能的。但當把彈性體離散

79、化為許多細小的單元，則在一個單元的局部范圍內可以把某一點的位移近似表達為其坐標函數，這表達式稱為單元位移模式。任何單元德單元分析都應首先確定其位移模式，然后逐漸推導出單元剛度矩陣，并同時求出單元內各點應變的方程。通過應變的方程推導出單元內各節(jié)點應力，最后，再根據虛功原理求單元節(jié)點力---即作用于節(jié)點的外力，同時得出節(jié)點位移求節(jié)點力的轉換矩陣，即單元剛度矩陣，這樣，單元分析就完成了。下面通過單元分析的公式示意圖說明單元間各環(huán)節(jié)的關系。&l

80、t;/p><p>　　圖中注明了各矩陣得階數。上式中</p><p><b>　　―單元節(jié)點位移：</b></p><p>　　―應變與位移關系矩陣矩陣；</p><p><b>　　―單元內各點應變；</b></p><p>　　―應力應變關系矩陣；</p>&l

81、t;p><b>　　―單元內各點應力；</b></p><p><b>　　t―單元厚度；</b></p><p><b>　　―單元節(jié)點力</b></p><p><b>　　―單元剛度矩陣</b></p><p><b>　　由此圖得出

82、</b></p><p>　　由節(jié)點位移求應力的公式：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由節(jié)點位移求節(jié)點力的公式：</p><p><b>　　（2）</b></p><p><b>　　或寫成</b><

83、/p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　其中 （4）</p><p><b>　　整體分析</b></p><p>　　整體分析就是建立各單元之間和整體結構之間的聯(lián)系，建立起整體剛度矩陣：先對各個單元求出

84、單元剛度矩陣，然后將其中的每個子塊送到整體剛度矩陣中相應位置，在同一位置上若有幾個單元的相應子塊送到，則進行迭加以得到整體剛度矩陣的子塊從而形成整體剛度矩陣[K]。然后，加入載荷向量{P}和邊界條件，再根據整體結構矩陣可以求出整體結構的節(jié)點力向量和節(jié)點位移向量之間的關系。</p><p>　　整體剛度矩陣的建立是根據任一點中的第j個節(jié)點上的節(jié)點力等于該單元三個節(jié)點i，j，m的節(jié)點位移在節(jié)點j上的節(jié)點力之迭加。而在

85、整體結構中一個節(jié)點往往為幾個單元所共有，則在這個節(jié)點上的節(jié)點力就應該是：共有這節(jié)點的幾個單元的所有節(jié)點位移在該節(jié)點上引起的節(jié)點力之迭加。</p><p><b>　　基本原理和數理概念</b></p><p>　　在工程技術領域中，絕大多數問題盡管已得到其基本方程和邊界條件，但仍得不到解析解。于是引入簡化假設，求得問題在簡化狀態(tài)下的近似解，由于問題的復雜性，這種近似解

86、往往導致誤差過大甚至是錯誤的結論。另辟蹊徑的有限元法則是保留問題的復雜性，利用數值計算方法求得問題的近似數值解[14]。 </p><p>　　有限元法一開始就對一個連續(xù)體用有限個（然而是大量的）坐標或自由度來近似地（然而是系統(tǒng)的）加以描繪。一個離散化的結構可由許多結構單元組成，這些單元僅在有限個結點上彼此鉸結。每一單元所受的已知體力和面力都按靜力等效原則移置到結點上，成為結點荷載。計算通常采用位移法，取結點的未

87、知位移分量{δ}e 為基本未知量。為了在求得結點位移后可求得應力，必須建立單元中應力與結點位移的關系，由應力轉換矩陣[S]表達。 </p><p>　　首先利用彈性力學的幾何方程寫出單元應變與結點位移的關系矩陣，稱應變矩陣 [B]，即 </p><p><b>　　(5) </b></p><p>　　再由材料的本構關系（即物理方程），得到單元

88、彈性矩陣[D]，從而推出用結點位移表示單元應力表達式 </p><p>　　{σ}e=[D]{ε}e =[ D][ B]{δ}e =[ S]{δ}e (6) </p><p>　　其中，[S] = [D][B]。 </p><p>　　然后考慮結點平衡求得單元結點力與結點位移的關系，由矩陣[k]e 表示

89、，稱單元剛度矩陣。根據虛功原理或最小勢能原理（平衡條件），也可導出用結點位移表示結點力的表達式 </p><p><b>　　(7) </b></p><p>　　其中，單元剛度矩陣 </p><p><b>　　(8) </b></p><p>　　利用虛功原理（或變分原理）可同時導出單元等效結點

90、力{F}e。 </p><p>　　有限元法是應用局部的近似解來建立整個定義域的解的一種方法。先把注意力集中在單個單元上，進行上述所謂的單元分析。基本前提是每一單元要盡可能小，以致其邊界值在整個邊界上的變化也是小的。這樣，邊界條件就能取某一在結點間插值的光滑函數來近似，在單元內也容易建立簡單的近似解。因此，比起經典的近似法，有限元法具有明顯的優(yōu)越性。比如經典的 Ritz 法，要求選取一個函數來近似描述整個求解區(qū)域

91、中的位移，并同時滿足邊界條件，這是相當困難的。而有限元法采用分塊近似，只需對一個單元選擇一個近似位移函數，且不必考慮位移邊界條件，只須考慮單元之間位移的連續(xù)性即可。對于具有復雜幾何形狀或材料、荷載有突變的實際結構，不僅處理簡單，而且合理適宜。 在經逐個單元（逐個結點）疊加其貢獻予以集合（整體分析）后，生成結構剛度矩陣[K]（也稱總剛）、荷載列陣{F}和結構結點位移列陣{δ}，并利用平衡條件建立表達結構的力-位移的關系式，即所謂結構剛度方

92、程： </p><p>　　[K ]{δ}= { F } (9) </p><p>　　考慮幾何邊界條件作適當修改后，求解上式所示的高階線性代數方程組，得到結構所有的未知結點位移（同矩陣位移法）。最后利用式（6）和已求出的結點位移計算各個單元的應力，并經后處理軟件整理、顯示計

93、算結果。 </p><p>　　單元內任一點位移與結點位移的關系，則由所選定的位移模式確定。</p><p><b>　　位移模式及形函數</b></p><p>　　為了能把單元的應變和應力用結點位移來表示，首先必須假定一個位移模式，也就是假定單元的位移分量為坐標的某種函數。當然，這些近似的假定函數在結點處的數值，應等于結點的位移分量。 &l

94、t;/p><p><b>　　等截面梁單元</b></p><p>　　用結點位移表示梁單元的位移模式，軸向位移u的位移模式取x的線性函數，而撓度 v 則用三次多項式表示，即 </p><p>　　u=a0+a1x v=b0+b1x+b2x2+b3x3 (10) </p&

95、gt;<p>　　或 u=[h(x)]{a} v=[H(x)] (11) </p><p>　　式中，參數{a}和是位移模式的待定常數，可以由結點位移來表示。 軸向結點位移、結點撓度和轉角（如圖 2-2所示） </p><p>　　{u}=[ui uj]T

96、{v}=[vi θi vj θj]T (12)</p><p><b>　　2-2梁單元</b></p><p>　　將結點坐標代入（5）式，結點位移可表示為 </p><p>　　{u}=[A1]{a} {v}=[A2]

97、 （13） </p><p>　　于是得到用結點（桿端）位移表示的位移模式 </p><p>　　u=[h(x)][A1]-1{u}={Nu]{u} v=[H(x)][A2]-1{v}=[Nv]{v} （14）</p><p>　　改寫成矩陣形式，有 </p><p><b>　?。?5）&l

98、t;/b></p><p>　　式中 ，結點位移列陣</p><p><b>　?。?6）</b></p><p><b>　　形函數矩陣</b></p><p><b>　　（17）</b></p><p>　　其中

99、 （18）</p><p>　　由于一維桿單元的位移模式，取線性代數函數；梁單元的位移模式，取三次代數多項式，正好符合桿元中常應變以及真實反映梁元的彎曲變形情況，因此求得的有限元解答是精確解，用上述位移模式通過虛位移原理導出梁單元的單剛矩陣和由矩陣位移法（轉角位移方程）推出的自由單剛矩陣完全相同。但一般情況下，有限元法所設位移模式并非實際位移，故協(xié)調單元的位移解答一般都小于真實解答。 </p>&

100、lt;p><b>　　三結點三角形單元</b></p><p>　　為了簡單起見，假定平面單元（如圖 2-2）中的位移分量只是坐標的線性函數：</p><p>　　， (19)</p><p>　　代入結點（i、j、m）的六個位移參數和六個結點坐標參數（xi、yi…），聯(lián)立解<

101、/p><p>　　出上式中的六個α值，如：</p><p>　　， ， (20)</p><p>　　式中，Δ等于三角形單元的面積，結點 i、j、m 的次序規(guī)定按逆時針轉向。代回式（19），得位移模式用單元結點位移分量列陣{δ}e</p><p>　　表示為

102、 (21)</p><p>　　式中: ， ，[ N] 稱插值函數矩陣或形函數矩陣。</p><p><b>　　(22)</b></p><p>　　式中，改寫形函數為：</p><p>　　( 按 i，j，m 次序輪換，下同 ) (23)</p&

103、gt;<p>　　其中 ， ， （i，j，m) (24)</p><p>　　形函數是坐標的函數，取決于單元的形狀，結點的類型和數目等因素，一般采用多項式作為近似函數，不僅因為運算簡便，而且隨著項數的增多，由低次到高次，可以逼近任何一段光滑的函數曲線。但選擇多項式位移模式的階次時，要考慮解的收斂性，還要考慮位移模式應與局部坐標系的方位無關，即幾何各向同性。當然，也有采用其它函數（

104、如樣條函數等）作為形函數，于是發(fā)展了各種有限單元法的分支。 </p><p>　　2-3三結點三角形單元</p><p><b>　　雙線性矩形單元</b></p><p>　　矩形單元也是常用的單元，采用比常應變的三角形單元次數更高的位移模式，可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應力狀態(tài)。 </p><p>　　取矩形單

105、元的四個角點 1234 作為結點，其邊長分別為 2a、2b（如圖 2-4所示），每個結點位移有兩個分量，整個單元有八個自由度。單元中引入局部坐標系ξOη(其中ξ=x/a，η=y/b)，原點取在矩形的形心(x0，y0)，ξ和η軸分別與整體坐標軸x和y平行，其坐標變換關系為： </p><p>　　x=x0+aξ y=y0+η (2

106、5)</p><p>　　結點i（i=1，2，3，4）的整體坐標是（xi，yi），而局部坐標是（ξi，ηi），其值分別為±1，</p><p>　　如ξ1= -1，η1= -1。</p><p>　　2-4 四結點矩形單元</p><p>　　取位移模式 (26) </p&

107、gt;<p>　　將結點的局部坐標值代入上式，列出四個結點處八個位移分量表達式，可獲兩組四元聯(lián)立方程，解出未知參數α1～α8，回代后得到用結點位移表示的位移模式</p><p><b>　　(27)</b></p><p>　　式中 (28)</p><p>

108、;　　其中，ξ0 =ξiξ，η0 =ηiη，i= 1，2，3，4。</p><p>　　矩形單元的位移模式（25）比常應變三角形單元中采用的線性位移模式增加ξη項（即相當于xy項），故稱之為雙線性模式。位移模式選定以后，即可按確定的公式來推導單元剛度矩陣。</p><p><b>　　平面等參數單元</b></p><p>　　上述的三角形單元

109、和矩形單元采用的線性或雙線性模式，是對實際位移場的最低級逼近，精度受局限，而且矩形單元難以適應不規(guī)則邊界。因此有必要構造出具有較高精度的、能適應不規(guī)則邊界的曲邊或直邊的四邊形單元。</p><p><b>　　四結點等參元</b></p><p>　　首先建立規(guī)整形狀的母單元，如取邊長為2的正方形單元（如圖2-5a所示），其形心處設局部坐標ξOη，得到如同（27）式的

110、形函數，作坐標變換：</p><p>　　(a) 母單元 (b) 等參元</p><p>　　2-5 四結點平面等參元</p><p>　　使得圖2-5a中的ξη平面上的4個角點分別映射成圖2-5b中xy平面上的4個點，其坐標為xi，yi（i=1，2，3，4）。由于形函數Ni是雙線性的，ξη平面上的正方形被映射到xy

111、平面上以xi、yi為角點的四邊形。所以坐標變換式（29）起了把xy平面上的所有四邊形單元（稱子單元）都映射到ξη平面上的正方形單元（稱母單元）的作用。同時，還可以把ξOη坐標看成為子單元的局部坐標（圖2-5b），該局部坐標系是用一組不超過1的無量綱數來定出單元中的點，單元各邊的方程分別是ξ=±1和η=±1。</p><p>　　假如四邊形單元（子單元）的位移模式也采用式（27）的形函數，即&l

112、t;/p><p><b>　　(29)</b></p><p>　　可以證明，收斂準則中的完備性和協(xié)調性要求能夠得到滿足。由于上述單元的位移模式和坐標變換式采用相同的形函數（即母單元形函數Ni），故稱之為等參數單元（或等參元）。</p><p><b>　　八結點等參元</b></p><p>　　八結

113、點等參元作坐標變換，其單元邊上的結點映射到母單元邊界上時，總是使之成為對應</p><p>　　邊上的中點（如圖2-6所示）</p><p>　　(a) 母單元 (b) 等參元</p><p>　　2-6 八結點等參元</p><p>　　形函數可按如下方法構造，以結點5為例，將母單元中不含

114、結點5的三條邊的方程相乘，并使乘積在結點5有等于1的函數值，得</p><p><b>　　(30)</b></p><p>　　可類似寫出 </p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　則角結點的形函數可寫成如下形式&l

115、t;/p><p>　　（i=1，2，3，4) (32)</p><p>　　式中，即（23）式，而 ηi+4 ，ξi+4表示結點5、6、7、8的局部坐標。這是一個通式，可以表示4～8結點的等參元的形函數。例如，對于沒有結點8的七結點等參元，只需令N8=0即可。八結點等參元的位移模式和坐標變換式同(29)式和(28)式，只是i=1～8。</p>