畢業(yè)論文-帶余除法及其應用研究

1、<p>　　學校代碼: 11059 </p><p>　　學 號:1107011032</p><p>　　Hefei University</p><p><b>　　畢業(yè)論文（設計）</b></p><p>　　BACHELOR DISSERTATION</p><p>　

2、　論文題目: 帶余除法及其應用研究 </p><p>　　學位類別: 理學學士 </p><p>　　學科專業(yè): 信息與計算科學 </p><p>　　作者姓名: 孟飛飛 </p>&

3、lt;p>　　導師姓名: 余海峰 </p><p>　　完成時間: 2015年05月03日 </p><p>　　帶余除法及其應用研究</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文的主旨思想是帶余除法的簡單介紹以

4、及帶余除法在日常生活中的應用，整片論文都圍繞帶余除法來展開論述，先是介紹帶余除法的來源及課題意義，然后通過整數(shù)的帶余除法和多項式的帶余除法讓大家對帶余除法的應用有一個更深的認識。最后通過實例來展現(xiàn)其在應用研究中所起到的作用。</p><p>　　本文的正文是介紹整數(shù)和多項式的帶余除法，從這二個層面可以認識到帶余除法是一種普遍應用于生活中的思想?？梢赃@樣說多項式的帶余除法是整數(shù)帶余除法的推廣，所以有必要對整數(shù)帶余除

5、法進行介紹，多項式的帶余除法中將涉及輾轉相除法的介紹，整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式、公共根、重根以及一元多項式矩陣的相關性質(zhì)。下面就開始進入本文的正題吧!</p><p>　　關鍵詞：一元多項式 帶余除法 輾轉相除法 最大公因式 一元多項式矩陣</p><p>　　With more than division and its application research<

6、;/p><p><b>　　abstract</b></p><p>　　Purpose of this article is more than with division of simple introduction, and with the application of the division in the daily life, the whole piece

7、 of paper around with yu to discourse upon the division, first introduced more than with the source of the division and the topic significance, and then through more than more than with division and polynomial with integ

8、er division let everybody to take over the application of the division has a deeper understanding. Finally by an example to show i</p><p>　　The body of this paper is to introduce more than integer and polyno

9、mial division, from the two aspects can be realized with residual division is a common used in the life of thought. More than can say this polynomial with division is the development of more than integer with division, s

10、o it is necessary to carry out more than integer with division, polynomial with residual division will involve division algorithm is introduced, the basic concept of divisible and basic properties, the biggest com</p&

11、gt;<p>　　Keywords: more than one yuan polynomial division Division algorithm The greatest common factor is one yuan polynomial matrix</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　第一章

12、 前言5</b></p><p>　　1.1 研究背景5</p><p>　　1.2 課題意義7</p><p>　　第二章 整數(shù)的帶余除法8</p><p>　　2.1 整數(shù)帶余除法的解釋及證明8</p><p>　　2.2 整數(shù)帶余除法的一些性質(zhì)9</p><p>

13、　　2.3最大公約數(shù)與輾轉相除法9</p><p>　　2.4 整除的進一步性質(zhì)與最小公倍數(shù)10</p><p>　　第三章多項式的帶余除法12</p><p>　　3.1多項式帶余除法的定理及其證明12</p><p>　　3.2 帶余除法的二種計算格式13</p><p>　　3.2.1 普通除法（長除

14、法）13</p><p>　　3.2.2 豎式除法13</p><p>　　3.2.3 綜合除法14</p><p>　　第四章 帶余除法在解題中的應用15</p><p>　　4.1 有關兩個多項式除法與整除關系問題15</p><p>　　4.2 輾轉相除法是帶余除法的特殊應用16</p>

15、<p>　　4.2.1 輾轉相除法計算兩個多項式的最大公因式及它們與最大公因式的組合關系16</p><p>　　4.2.2 求兩個多項式的公共根18</p><p>　　4.2.3 解有關多項式的重根，重因式問題18</p><p>　　4.3 求函數(shù)值f(a)18</p><p>　　4.4 解有關有理數(shù)域上的因式分

16、解及有理根19</p><p>　　4.5 帶余除法在矩陣多項式中的應用20</p><p>　　4,5.1 關于矩陣多形式可逆的判定20</p><p>　　4.5.2 有關矩陣最小多項式的問題21</p><p><b>　　參考文獻23</b></p><p><b>　

17、　致 謝24</b></p><p><b>　　第一章 前言</b></p><p><b>　　1.1 研究背景 </b></p><p>　　帶余除法（也稱為歐幾里德除法）是數(shù)學中的一種基本算術計算方式。給定一個被除數(shù)a和一個除數(shù)b，帶余除法給出一個整數(shù)q和一個介于一定范圍的余數(shù)r，使得該等式成立：

18、a = bq + r。一般限定余數(shù)的范圍在0與b之間，也有限定在-b/2與b/2之間。這樣的限定都是為了使得滿足等式的q有且僅有一個。這時候的q稱為帶余除法的商。帶余除法一般表示為：a / b=q … r 。表達為：“a除以b等于q，余r”。最常見的帶余除法是整數(shù)與整數(shù)的帶余除法（被除數(shù)a和除數(shù)b都是整數(shù)），但實數(shù)與整數(shù)乃至實數(shù)與實數(shù)的帶余除法也有應用。對一般的抽象代數(shù)系統(tǒng)，能夠進行帶余除法的都是具有歐幾里德性質(zhì)的系統(tǒng)。如果余數(shù)為零，則

19、稱b整除a。一般約定除數(shù)b不能為0.</p><p>　　帶余除法的計算有長久的歷史，有各種計算工具和計算方法。最常用的是長除法（豎式除法）。帶余除法在數(shù)論中有不少用途，比如說輾轉相除法的基本步驟就是帶余除法。 </p><p>　　在數(shù)學中，輾轉相除法，又稱歐幾里得算法，是求最大公約數(shù)的算法。輾轉相除法首次出現(xiàn)于歐幾里得的《幾何原本》（第VII卷，命題i和ii）中，而在中國則可以追溯至東

20、漢出現(xiàn)的《九章算術》。</p><p>　　兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是能夠同時整除它們的最大的正整數(shù)。輾轉相除法基于如下原理：兩個整數(shù)的最大公約數(shù)等于其中較小的數(shù)和兩數(shù)的差的最大公約數(shù)。例如，252和105的最大公約數(shù)是21（252=21×12；105=21×5）；因為252?105=21× (12?5) =147，所以147和105的最大公約數(shù)也是21。在這個過程中，較大的數(shù)縮小了，所

21、以繼續(xù)進行同樣的計算可以不斷縮小這兩個數(shù)直至其中一個變成零。這時，所剩下的還沒有變成零的數(shù)就是兩數(shù)的最大公約數(shù)。由輾轉相除法也可以推出，兩數(shù)的最大公約數(shù)可以用兩數(shù)的整數(shù)倍相加來表示，如21=5×105+ (?2)×252。這個重要的結論叫做裴蜀定理。</p><p>　　輾轉相除法最早出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》中（大約公元前300年），所以它是現(xiàn)行的算法中歷史最悠久的。這個算法原先只用來處理

22、自然數(shù)和幾何長度（相當于正實數(shù)），但在19世紀，輾轉相除法被推廣至其他類型的數(shù)學對象，如高斯整數(shù)和一元多項式。由此，引申出歐幾里得整環(huán)等等的一些現(xiàn)代抽象代數(shù)概念。后來，輾轉相除法又擴展至其他數(shù)學領域，如紐結理論和多元多項式。</p><p>　　輾轉相除法有很多應用，它甚至可以用來生成全世界不同文化中的傳統(tǒng)音樂節(jié)奏。在現(xiàn)代密碼學方面，它是RSA算法（一種在電子商務中廣泛使用的公鑰加密算法）的重要部分。它還被用來解

23、丟番圖方程，比如尋找滿足中國剩余定理的數(shù)，或者求有限域中元素的逆。輾轉相除法還可以用來構造連分數(shù)，在施圖姆定理和一些整數(shù)分解算法中也有應用。輾轉相除法是現(xiàn)代數(shù)論中的基本工具。 </p><p>　　輾轉相除法處理大數(shù)時非常高效，如果用除法而不是減法實現(xiàn)，它需要的步驟不會超過較小數(shù)的位數(shù)（十進制下）的五倍。拉梅于1844年證明了這點，同時這也標志著計算復雜性理論的開端。 </p><p>　

24、　輾轉相除法是目前仍然在使用的歷史最悠久的算法之一。它首次出現(xiàn)于《幾何原本》（卷7命題1–2、卷10命題2–3）（大約公元前300年）。在卷7中用于整數(shù)，在卷10中用于線段的長度（以現(xiàn)代的觀點看，線段的長度可視為正實數(shù)，也就是說輾轉相除法實際可用于實數(shù)上，但是當時未有實數(shù)的概念）。卷10中出現(xiàn)的算法是幾何的，兩段線段a和b的最大公約數(shù)是a和b的公度中的最大值。</p><p>　　這個算法可能并非歐幾里得發(fā)明，因

25、為他也有將先前其他數(shù)學家的一些成果編進他的《幾何原本》。數(shù)學家、歷史學家范德瓦爾登（英語：Bartel Leendert van der Waerden）認為卷7的內(nèi)容可能來自畢達哥拉斯學院出身的數(shù)學家寫的關于數(shù)論的教科書。輾轉相除法在當時很可能已為尤得塞斯（大約公元前375年）所知 ，甚至可能更早之前就已經(jīng)存在，因為歐幾里得和亞里士多德的著作中都出現(xiàn)了?νθυφα?ρεσι?一詞（意為

26、“輾轉相減”）。</p><p>　　幾個世紀之后，輾轉相除法又分別被中國人和印度人獨立發(fā)現(xiàn)，主要用來解天文學中用到的丟番圖方程以及制定準確的歷法。5世紀末，印度數(shù)學家、天文學家阿里亞哈塔曾稱輾轉相除法為“粉碎機”，這可能是因為它在解丟番圖方程時很有效。在中國，《九章算術》中提到了一種類似輾轉相減法的“更相減損術”。《孫子算經(jīng)》中則出現(xiàn)了中國剩余定理的一個特例，但是直到1247年秦九韶才于其《數(shù)學九章》中解答了該

27、定理的一般情況，當中用到了他發(fā)明的大衍求一術。此法的其中一部分實際上便是輾轉相除的原理，秦九韶在書中對此有明確表述。在歐洲，輾轉相除法首次出現(xiàn)于克勞德·巴希特（英語：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的著作《愉悅討喜的問題》（Problèmes plaisants et délectables）

28、的第二版在歐洲，輾轉相除法被用于丟番圖方程和構建連分數(shù)。后來，英國數(shù)學家桑德森（英語：Nicholas Saunderson）在其著作中收編了擴展歐幾里得算法，作為一個有效計算連分數(shù)的方法。他將此法的來源歸名于羅杰·科茨（英語：Roger Cotes）。 </p><p>　　19世紀，輾轉相除法促成了新數(shù)系的建立，如高斯整數(shù)和艾森斯坦整數(shù)。1815年，高斯用輾轉相除法證明高斯整數(shù)的

29、分解是惟一的，盡管他的研究到了1832年才首度發(fā)表。高斯在他的《算數(shù)研究》（出版于1801年）中實際上也有援引這個算法，但僅是以連分數(shù)方法的形式敘述。約翰·狄利克雷是第一個將輾轉相除法作為數(shù)論的基礎的數(shù)學家。[來源請求]狄利克雷提出，數(shù)論中的很多結論，如分解的惟一性，在任何使輾轉相除法適用的數(shù)系中均有效。狄利克雷的數(shù)論講義后來經(jīng)理查德·戴德金編輯和推廣，戴德金也有以輾轉相除法來研究代數(shù)整數(shù)。比如，他是第一個用高斯整數(shù)

30、的分解惟一性證明費馬平方和定理的數(shù)學家。戴德金還率先定義了歐幾里得整環(huán)的概念。19世紀末，戴德金所定義的理想概念使得數(shù)論的重心不必建基于輾轉相除法，從而促進了理論的發(fā)展。 </p><p>　　輾轉相除法的其他應用發(fā)展于19世紀。1829年，施圖姆將輾轉相除法用于施圖姆序列（用于確定多項式的不同實根的個數(shù)的方法）。</p><p>　　輾轉相除法是歷史上第一個整數(shù)關系算法（英語：integ

31、er relation algorithm），即尋找兩個可通約實數(shù)的整數(shù)關系的算法。近年來，出現(xiàn)了一些新穎的整數(shù)關系算法，如埃拉曼·弗格森（英語：Helaman Ferguson）和福爾卡德于1979年發(fā)表的弗格森-福爾卡德算法（Ferguson–Forcade algorithm） 、以及與它相關的LLL算法（英語：Lenstra–Lenstra–Lovász

32、60;lattice basis reduction algorithm）、HJLS算法以及PSLQ算法。</p><p>　　1969年，科爾（Cole）和戴維（Davie）基于輾轉相除法創(chuàng)造了一種二人游戲，叫做“歐幾里得游戲”。這個游戲有最優(yōu)策略。游戲開始于兩列分別為a和b個棋子組成的序列，玩家輪流從較長一列中取走較短一列棋子數(shù)量的m倍的棋子。如果兩列棋子p和q分別由x和y個棋子

33、組成，其中x大于y，那么玩家可以將序列p的棋子數(shù)量減少為自然數(shù)x ? my。最后率先將一列棋子清空的玩家勝出。 </p><p><b>　　1.2 課題意義</b></p><p>　　帶余除法，數(shù)學術語，廣泛應用于數(shù)學之中。輾轉相除法的基本步驟就是帶余除法，輾轉相除法又稱歐幾里得算法。帶余除法是小學到大學一直沿用的轉化方法，也是研究整數(shù)與多項式

34、的一個基本方法，在有關整數(shù)和多項式的其他問題中還有更廣泛的應用，雖然它的內(nèi)容簡單，但它里面蘊含的意義卻很深刻，只有對它的意思徹底了解，才能引申出在不同場合下的用法，在高中的數(shù)學學習中，許多知識點都會用到帶余除法，掌握了帶余除法，就多了種解決問題的方法，也是多了條通往成功的途徑。</p><p>　　第二章 整數(shù)的帶余除法</p><p>　　整除是初等數(shù)論這一科目的基礎概念，而帶余數(shù)除法

35、是所有除法的一般形式，所以深度了解這種理論的該念、性質(zhì)和應用是十分必要的。接下來我會通過整數(shù)的帶余除法來淺談帶余除法在數(shù)論這一科目的重要性，使我們能掌握帶余除法的精華，有助于以后的解題。</p><p>　　2.1 整數(shù)帶余除法的解釋及證明</p><p>　　對任意整數(shù)a，b且b≠0，存在唯一的數(shù)對q，r，使a=bq+r，其中0≤r|b|。這個事實稱為帶余除法定理，是整除理論的基礎。若c

36、|a，c|b，則稱c是a，b的公因數(shù)。若d是a，b的公因數(shù)，d≥0，且d可被a，b的任意公因數(shù)整除，則稱d是a，b的最大公因數(shù)。若a，b的最大公因數(shù)等于1，則稱a，b互素。累次利用帶余除法可以求出a，b的最大公因數(shù)，這種方法常稱為輾轉相除法。又稱歐幾里得算法。 </p><p>　　【存在性】設集合S={…，a-3b，a-2b，a-b，0，a+b，a+2b，a+3b，…}={a+bk: k是整數(shù)}記T為

37、S和自然數(shù)集的交集，T非空，由自然數(shù)集的良序性，知T中有一最小元素t。設t=a-bq，q為整數(shù)。則a-bq≥0?，F(xiàn)假設a-bq≥|b|，但這樣便有a-b(q±1)≥0成立（b為正數(shù)時取加號，負數(shù)時取減號），且a-b(q±1)≤a-bq。這違反了t是最小元素這一事實，於是a-bq<|b|。令r=a-qb，即證存在性。</p><p>　　【唯一性】設q1、r1是滿足a=bq+r，0≤r&l

38、t;|b|的另一對整數(shù)，因為bq1+r1=bq+r，于是b(q-q1)=r1-r故|b||q-q1|=|r1-r|由于r及r1都是小于b的非負整數(shù)，所以上式右邊是小于|b|的。如果q≠q1，則上式左邊≥|b|，這是不可能的。所以q=q1， r=r1，即證唯一性。 </p><p>　　2.2 整數(shù)帶余除法的一些性質(zhì)</p><p>　　(ⅰ) ba b a；</p>

39、;<p>　　(ⅱ) c b，ba ca；</p><p>　　(ⅲ) bai，i = 1, 2, …, n ba1q1 a2q2 … anqn，此處qi（i = 1, 2, , n）是任意的整數(shù)；</p><p>　　(ⅳ) ba bcac，此處c是任意的非零整數(shù)；</p><p>　　(ⅴ) ba，a 0 |b||a|；ba且|a

40、|<|b| a = 0。</p><p>　　2.3最大公約數(shù)與輾轉相除法</p><p><b>　　一、有關概念</b></p><p>　　1、公因數(shù)及個數(shù)，總和；</p><p><b>　　2、最大公約數(shù)；</b></p><p><b>　　3、互

41、質(zhì)數(shù)；</b></p><p><b>　　4、兩兩互質(zhì)；</b></p><p><b>　　二、輾轉相除法</b></p><p>　　定理1：設a，b，c是不全為0的整數(shù)，且a=bq+c，q為整數(shù)</p><p>　　則（1）a，b與b，c有相同的公因數(shù)； </p>

42、<p>　?。?）(a，b)=(b，c)</p><p>　　定理2：設為正整數(shù)，則</p><p>　　推論：的公因數(shù)與的因數(shù)相同。</p><p>　　三、最大公因數(shù)的性質(zhì)</p><p><b>　　1、為正整數(shù)</b></p><p><b>　　2、為的公因數(shù)<

43、/b></p><p><b>　　3、</b></p><p><b>　　4、設， ，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　2.4 整除的進一步性質(zhì)與最小公倍數(shù)</p><p>　　一、整除的進一步性質(zhì)</

44、p><p>　　定理1：設為任意的正整數(shù)，則</p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　推論：設為任意兩個不全為0的整數(shù)，則存在兩個整數(shù)使得</p><p><b>　　成立，反之不成立。</b></p><p><b>　　例如 有<

45、;/b></p><p>　　定理2： 存在整數(shù)使得</p><p>　　推論1：設為整數(shù)，且，則</p><p>　　（1）與有相同的公因數(shù)；</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　推論2：若，且則</b></p>&l

46、t;p>　　推論3：若是兩組任意的整數(shù)，且，</p><p><b>　　則（）=1</b></p><p><b>　　二、最小公倍數(shù)</b></p><p><b>　　1、定義： </b></p><p><b>　　2、說明： ；</b>&

47、lt;/p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　關系：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的關系；</p><p>　　最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的關系；</p><p>　　例如 1 當時，則</p><p>　　2 若都是正整數(shù)，且，則</p><p><b>　　3

48、 ，</b></p><p><b>　　4 若，則</b></p><p>　　3、多個整數(shù)的最小公倍數(shù)的求法如何？</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　

49、多項式的帶余除法</b></p><p>　　帶余除法是高等代數(shù)最基本的概念之一，通過查找相關資料了解到整數(shù)和一元多項式的帶余除法有著相同的思想。即在進行整數(shù)和多項式的除法運算是少不了要使用輾轉相除法，而輾轉相除法的基本步驟就是帶余除法。本章將討論多項式帶余除法定理的證明和應用,因為多項式的帶余除法是整數(shù)帶余除法的推廣，所以多項式的帶余除法中將涉及輾轉相除法的介紹，整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式

50、、公共根、重根以及一元多項式矩陣的相關性質(zhì)。</p><p>　　3.1多項式帶余除法的定理及其證明</p><p>　?。ㄒ娢腫1]）定理：則存在唯一的，使</p><p>　　其中或。我們稱和分別為用去除所得的商和余式。</p><p>　　證明：存在性 設</p><p>　　如果，則取即可。下面假定。對的次

51、數(shù)做數(shù)學歸納法：如果=0或，則令即滿足要求。設，命題正確，則當時，有</p><p><b>　?。ㄟ@里），令</b></p><p>　　若，則取。否則，因，按歸納假設，存在，使得</p><p><b>　　這里或?，F(xiàn)令</b></p><p><b>　　則顯然有</b>

52、</p><p>　　唯一性 設也滿足命題要求，那么</p><p>　　比較兩邊的次數(shù)，即可知</p><p>　　3.2 帶余除法的二種計算格式</p><p>　?。ㄒ娢腫2]）用多項式除多項式所得的商和余式可以通過如下兩種格式進行</p><p>　　3.2.1 普通除法（長除法）</p>&l

53、t;p>　　3.2.2 豎式除法</p><p>　　或 </p><p>　　3.2.3 綜合除法</p><p>　　第四章 帶余除法在解題中的應用</p><p>　　4.1 有關兩個多項式除法與整除關系問題</p><p>　　例1、用除，求商與余式</p>&l

54、t;p><b>　　解：</b></p><p><b>　　所以＝ ＝</b></p><p>　?。ㄒ娢腫3]）例2、如果,求a,b.</p><p>　　解：令 = =，</p><p><b>　　＝ </b></p>&

55、lt;p><b>　　因為，則＝0</b></p><p><b>　　即 解得</b></p><p>　　4.2 輾轉相除法是帶余除法的特殊應用 </p><p>　?。ㄒ娢腫1]）給定，做帶余除法：</p><p>　　不難得?，F(xiàn)在做輾轉相除法如下：</p>&l

56、t;p>　　因，故必有而，即，于是=</p><p>　　=（使為首一多項式）。這就把求出來了</p><p>　　4.2.1 輾轉相除法計算兩個多項式的最大公因式及它們與最大公因式的組合關系</p><p><b>　　例3、已知　，</b></p><p>　　求　與　的最大公因式</p><

57、;p><b>　　解：因為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　例4、：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解：因為</b></p>

58、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　再由 </b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　于是</b></p><p>　　4.2.2 求兩個多項式的公共根</p>

59、<p>　　定理:用輾轉相除法計算兩個多項式的最大公因式，在求其公因式的根</p><p>　　例5、求下列多項式的公共根</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解：由輾轉相除法，可求得</p><p>　　所以它們的公共根為[3]</p><p>　　4.2.3

60、解有關多項式的重根，重因式問題</p><p>　　定理：輾轉相除法求得與的最大公因式，觀察最大公因式，即可得出答案</p><p>　　例6、判斷多項式有無重因式[3]</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　用輾轉相除法求得：</b></p><

61、p><b>　　所以由的三重因式</b></p><p>　　4.3 求函數(shù)值f(a)</p><p>　　定理：用帶帶余除法求得，為常數(shù)，則f(a)= .</p><p><b>　　若，則</b></p><p><b>　　例7、若，求</b></p>

62、<p><b>　　解：用帶余除法</b></p><p><b>　　所以=327</b></p><p>　　例8、已知是方程的一個根，解此方程。</p><p>　　解：由于實系數(shù)方程的復根市成對出現(xiàn)，是方程的根，從而也是他的一個根，故多項式可被整除，用去除得商，它的根為，故原方程的四個根為</p&

63、gt;<p>　　4.4 解有關有理數(shù)域上的因式分解及有理根</p><p>　　設是一個整系數(shù)多形式，而是它的一個有理根，其中互素，則必有。特別地，如果的首項系數(shù)，則的有理根都是整數(shù)根，而且是的因子。</p><p>　　例9、求多項式的有理根</p><p>　　解：由于是首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式，如果有有理根，必為整數(shù)根，且為常數(shù)項-14的因數(shù)

64、為：</p><p><b>　　由帶余除法可得：</b></p><p>　　所以在有理數(shù)域上只有2是它的根。</p><p>　　例10：多項式在有理數(shù)域上是否可約？</p><p>　　解：常數(shù)項1的因式為：</p><p><b>　　由帶余除法可得：</b><

65、/p><p>　　所以其在有理數(shù)域上不可約</p><p>　　4.5 帶余除法在矩陣多項式中的應用</p><p>　　4,5.1 關于矩陣多形式可逆的判定</p><p>　　在關于矩陣多項式可逆判別中，這里提出了用多項式的帶余除法來解決：“已知，證明可逆且求其逆”這一類問題得方法.</p><p>　　定理：用除，若

66、，其中是次數(shù)低于的一個非零多項式，則用除，如此下去，求出與的最大公因式；若，則有多項式使，由于，從而有，故可逆，且</p><p>　　例11、設n階矩陣A滿足，證明：可逆，并求其逆。</p><p><b>　　證明：設</b></p><p><b>　　則由帶余除法：</b></p><p>

67、<b>　　得：</b></p><p>　　由定義，可逆且 </p><p>　　例12、設，已知，證明可逆且求的逆。</p><p>　　證明：由帶余除法有： （1）</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　由（1）

68、式，代入（2）式，整理得：</p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　　可逆，且</b></p><p>　　4.5.2 有關矩陣最小多項式的問題</p><p>　?。ㄒ娢腫3]）例13、設是方陣A的最小多項式。若是A的零化多項式（即），則整除</p>&l

69、t;p><b>　　證：用去除，可設</b></p><p>　　其中，以A代上式，得</p><p><b>　　于是，即整除</b></p><p>　　例14、設是對角塊矩陣，是子方陣，證明A的最小多項式等于這些的最小多項式的最小公倍式。</p><p><b>　　證：令，顯

70、然</b></p><p><b>　　從例13知</b></p><p><b>　　反過來，因</b></p><p>　　即對每個，，再從例13知，從而，這就表明</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]

71、 王萼芳 石生明.高等代數(shù)[M].北京市：高等教育出版社，2003.7：8-9，13-15</p><p>　　[2] 徐仲 陸全 張凱院 呂全義 陳芳 袁志杰.高等代數(shù)導教導學導考[M].西安:西北工業(yè)大學出版社,2004.3:3-82</p><p>　　[3] 劉丁西.高等代數(shù)習題精解[M].合肥:中國科技技術大學出版社,2004.9:7-24</p>&l

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73、p>　　[7] 北京大學數(shù)學系幾何代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京：人民教育出版社.1978.2-4</p><p>　　[8] 鄭新東.高等代數(shù)學習指南[M].廣州：華南理工大學出版社.1-6</p><p>　　[9] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.3-2.</p><p>　　[10] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)

74、教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988.7-4</p><p>　　[11] 程云鵬，張凱院，徐仲.矩陣論（第二版）[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2003.4-2</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本論文是在余海峰導師的悉心指導之下完成的。四年來，導師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹?/p>

75、學態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠。導師不僅授我以文，而且教我做人，雖歷時四載，卻賦予我終生受益無窮之道。本論文從選題到完成，幾易其稿，每一步都是在導師的指導下完成的，傾注了導師大量的心血，在此我向我的導師余海峰表示深切的謝意與祝福！     </p><p>　　本論文的完成也離不開其他各位老師、同學和朋友的

76、關心與幫助。在此也要感謝謝敏芳等各位老師在論文開題、初稿、定稿期間所提出的寶貴意見?；叵胝麄€論文的寫作過程，雖有不易，卻讓我除卻浮躁，經(jīng)歷了思考和啟示，也更加深切地體會了數(shù)學的精髓和意義，因此倍感珍惜。書到用時方恨少，在這篇論文的寫作過程中，我深感自己的水平還非常的欠缺。生命不息，學習不止，人生就是一個不斷學習和完善的過程。</p><p><b>　　孟飛飛</b></p>