§整除的概念及帶余除法

1、1第一章第一章整數(shù)的可除性整數(shù)的可除性整除性理論是初等數(shù)論的基礎。本章要介紹帶余數(shù)除法，輾整除性理論是初等數(shù)論的基礎。本章要介紹帶余數(shù)除法，輾轉相除法，最大公約數(shù)，最小公倍數(shù)，算術基本定理以及它們轉相除法，最大公約數(shù)，最小公倍數(shù)，算術基本定理以及它們的一些應用。的一些應用。11整除的概念及帶余數(shù)除法整除的概念及帶余數(shù)除法一、整除的概念一、整除的概念定義定義1設a，b是整數(shù)，是整數(shù)，b?0，如果存在整數(shù)，如果存在整數(shù)q，使得，使得a=bq

2、bq（1）成立，則稱成立，則稱a能被能被b整除，整除，a是b的倍數(shù)，的倍數(shù)，b是a的約數(shù)（因數(shù)的約數(shù)（因數(shù)或除數(shù)）或除數(shù)），并且使用記號，并且使用記號b?a；如果不存在整數(shù)；如果不存在整數(shù)q使得使得a=bqbq成立，成立，則稱則稱a不被不被b整除，整除，記為記為顯然每個非零整數(shù)顯然每個非零整數(shù)a都有約數(shù)都有約數(shù)?1，?a，稱這四個數(shù)為，稱這四個數(shù)為a的平凡約數(shù)，平凡約數(shù)，a的另外的約數(shù)稱為的另外的約數(shù)稱為非平凡約數(shù)非平凡約數(shù)。被2整除的

3、整數(shù)稱為偶數(shù)，不被整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。定理定理1下面的結論成立：下面的結論成立：(ⅰ)b?a??b????a；(ⅱ)c?b，b?a?c?a；(ⅲ)b?ai，i=1122…n?b?a1q1?a2q2?…?anqn，此處，此處qi（i=1122?n）是任意的整數(shù)；）是任意的整數(shù)；(ⅳ)b?a?bcbc?acac，此處，此處c是任意的非零整數(shù)；是任意的非零整數(shù)；(ⅴ)b?a，a?0?|b|?|a|

4、；b?a且|a||||b|?a=0。3余數(shù)為余數(shù)為。mN??例5某整數(shù)除以某整數(shù)除以3余2，除以，除以4余1，該整數(shù)除以，該整數(shù)除以1212，余，余？三、整除的特征三、整除的特征從正整數(shù)從正整數(shù)的末位的末位起向左每起向左每個數(shù)碼分個數(shù)碼分121nnNaaaaaa????a?k為一節(jié)，最后剩下若有不足為一節(jié)，最后剩下若有不足個數(shù)碼的也為一節(jié)，記為個數(shù)碼的也為一節(jié)，記為k()1()()kktkAAA??并記并記數(shù)節(jié)和數(shù)節(jié)和()1()()()

5、kkktkSNAAA??????數(shù)節(jié)代數(shù)和數(shù)節(jié)代數(shù)和1()1()2()()()(1)tkkkktkSNAAAA?????????1、設、設是的約數(shù)，則的約數(shù)，則d10k()kdNdA??推論：能被推論：能被2或5整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末一位數(shù)能整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末一位數(shù)能被2或5整除。整除。推論：能被推論：能被4或2525整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末二位數(shù)整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末二位數(shù)能被能被4或2525整除。整除。推論

6、：能被推論：能被8或125125整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末三位數(shù)整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末三位數(shù)能被能被8或125125整除。整除。2、設、設是的約數(shù)，則的約數(shù)，則d101k?()kdNdSN?推論：能被推論：能被3或9整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的各位數(shù)字之整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的各位數(shù)字之和能被和能被3或9整除。整除。例235476235476能被能被9整除？整除？3、設、設是的約數(shù)，則的約數(shù)，則d101k?()kdNdSN??或