畢業(yè)論文正交矩陣及其應(yīng)用

1、<p><b>　　正交矩陣及其應(yīng)用</b></p><p>　　The orthogonal matrix and its applicalion</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　正交矩陣是數(shù)學(xué)研究中的一類重要的工具, 它的應(yīng)用非常廣泛. 本文從以下主要例舉了正交矩陣的三大應(yīng)

2、用: 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在物理中的應(yīng)用. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 矩陣; 正交矩陣; 標(biāo)準(zhǔn)正交基; 集合; 特征根; 行列式</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Orthogonal matrix is the mathematical study

3、 of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal

4、 matrix the application of physics.</p><p>　　Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues; determinant</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>

5、;<b>　　摘 要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　0 引言1</b></p><p>　　1 正交矩陣的定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)1</p><p>　　1.1 正交矩陣的定義及其判定1</p><p>　　1.2 正交

6、矩陣的性質(zhì)1</p><p>　　2 正交矩陣的應(yīng)用2</p><p>　　2.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用2 </p><p>　　2.2 正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用8</p><p>　　2.3 正交矩陣在物理中的作用

7、11</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b></p><p><b>　　0 引言</b></p><p>　　正交矩陣是一類重要的實(shí)方陣, 由于它的一些特殊性質(zhì), 使得它在不同的領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用, 也推動(dòng)了其它學(xué)科的發(fā)展. 本文從正交矩陣的定義以及其性質(zhì)入手, 來(lái)探討它的四大應(yīng)用即: 正交矩陣在線性代數(shù)中

8、的應(yīng)用、正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在物理中的應(yīng)用. </p><p>　　1 正交矩陣的定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)</p><p>　　1.1 正交矩陣的的定義及其判定</p><p>　　定義1.1[1] 階實(shí)矩陣, 若滿足, 則稱為正交矩陣.</p><p>　　判定1 為正交矩陣.</p><p>　　判定

9、2 為正交矩陣.</p><p>　　判定3 為正交矩陣.</p><p>　　1.2 正交矩陣的性質(zhì)</p><p>　　設(shè)為正交矩陣, 它有如下性質(zhì):</p><p>　　性質(zhì)1[5] , 存在, 并且也為正交矩陣;</p><p>　　性質(zhì)2[5] ,也是正交矩陣;</p><p><

10、;b>　　當(dāng)時(shí), , 即;</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí). , 即.</b></p><p>　　性質(zhì)3[5] 若也是正交矩陣, 則都為正交矩陣.</p><p>　　證明 性質(zhì)1 顯然, 所以也是正交矩陣.</p><p>　　性質(zhì)2 , 顯然為正交矩陣.</p><p

11、><b>　　由,</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), , 即;</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), , 即;</b></p><p><b>　　所以為正交矩陣.</b></p><p><b>　　性質(zhì)3 由可知<

12、/b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　故為正交矩陣. 由性質(zhì)1, 性質(zhì)2推知均為正交矩陣.</p><p>　　正交矩陣的性質(zhì)主要有以上幾點(diǎn), 還有例如它的特征值的模為1, 且屬于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩陣可以對(duì)角化, 即存在復(fù)可逆矩陣, 使<

13、/p><p>　　其中為的全部特征值, 即. 這些性質(zhì)這里就不再證明了.</p><p><b>　　2 正交矩陣的應(yīng)用</b></p><p>　　2.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　在正交矩陣中,有一類初等旋轉(zhuǎn)矩陣,我們也稱它為Givens矩陣. 這里, 我們將利用正交矩陣可以表示成若干初等旋轉(zhuǎn)矩陣的

14、乘積, 給出化歐空間的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法. </p><p>　　設(shè)向量 , 令,, 則稱階矩陣</p><p><b>　　i列 j列</b></p><p><b>　　為初等旋轉(zhuǎn)矩陣.</b></p><p>　　初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 是由向量的第兩個(gè)元素定義的, 與單位矩陣只在第

15、行和第列相應(yīng)的四個(gè)元素上有差別.</p><p>　　設(shè)是由向量定義的初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 則有如下的性質(zhì):</p><p>　　<1> 是正交矩陣;</p><p><b>　　<2> 設(shè), 則有</b></p><p><b>　　;</b></p><p&

16、gt;　　<3> 用左乘任一矩陣,只改變的第行和行元素（用右乘任一矩陣,只改變的第列和列元素）. </p><p>　　證明 <1> , 故, 是正交矩陣.</p><p>　　<2> 由得定義知, 用左乘向量, 只改變的第兩個(gè)元素, 且</p><p>　　所以左乘, 使的第個(gè)分量非負(fù), 第個(gè)分量為0, 其余分量不變.</

17、p><p>　　<3> 根據(jù) <2> 及矩陣乘法即可以得出結(jié)論.</p><p>　　引理 2.1.1[7] 任何階實(shí)非奇異矩陣, 可通過(guò)左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣, 且其對(duì)角線元素除最后一個(gè)外都是正的.</p><p>　　定理 2.1.1[7] 設(shè)是階正交矩陣</p><p>　　<1> 若, 則可表

18、示成若干個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積, 即</p><p><b>　　;</b></p><p>　　<2> 若, 則可以表示成若干個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩陣, 即, 其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣.</p><p>　　證明 由于是階正交矩陣, 根據(jù)引理1知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使這里是階上三角陣, 而且得對(duì)角線上的元素除最后一個(gè)外都是正的, 所以

19、有</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　由是正交矩陣和(2.1)式得</p><p>　　即 (2.2)</p><p><b>　　設(shè) 其中,,則</b></p><p><b>　　由上式得</

20、b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　(2.3)</b></p><p>　　于是由(2.1)(2.3)式得</p><p><b>　　<1> 當(dāng)時(shí), ;</b></p><p><b>

21、;　　<2> 當(dāng)時(shí), .</b></p><p>　　記, 是初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 故定理1結(jié)論成立.</p><p>　　引理 2.1.2[7] 設(shè), 秩, 則可以通過(guò)左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 把變?yōu)榈男问? 其中是階上三角陣, 是矩陣.</p><p>　　證明 由引理2知, 其中是階正交矩陣, 是階上三角陣, 又根據(jù)定理1知:</p>

22、<p><b>　　其中</b></p><p><b>　　是初等旋轉(zhuǎn)矩陣.</b></p><p><b>　　<1> 當(dāng)時(shí), 令</b></p><p>　　<2> 當(dāng)時(shí), 于是有</p><p>　　顯然, 是階上三角陣, 當(dāng)時(shí)與除

23、最后一行對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)值相等、符號(hào)相反外, 其余元素對(duì)應(yīng)相等. 當(dāng)時(shí),, 所以由<1>、<2>知本定理的結(jié)論成立.</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p>　　是歐式空間的子空間的一組基, 記</p><p><b>　　是秩為的矩陣.</b></p><p>

24、　　若滿足定理2的條件, 則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p><b>　　且所以</b></p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　由(2.4)、(2.5)兩式知, 對(duì)做同樣的旋轉(zhuǎn)變換, 在把化為的同時(shí)

25、, 就將化成了, 而的前個(gè)列向量屬于子空間.</p><p>　　綜上所述可得化歐式空間的子空間的一組基:</p><p>　　為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基德方法為:</p><p>　　<1> 由已知基為列向量構(gòu)成矩陣;</p><p>　　<2> 對(duì)矩陣施行初等旋轉(zhuǎn)變換, 化為, 同時(shí)就被化為正交矩陣, 這里是階上三角陣;&l

26、t;/p><p>　　<3> 取的前個(gè)列向量便可得的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.</p><p>　　顯然, 上述方法是求子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法.</p><p>　　下面, 我們通過(guò)實(shí)例說(shuō)明此方法的應(yīng)用.</p><p>　　例 2.1.1 求以向量為基的向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.</p><p><b

27、>　　解 矩陣</b></p><p>　　對(duì)分塊矩陣依次左乘, 其中</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　取</b></p><p>　　則就是由得到的的一組標(biāo)

28、準(zhǔn)正交基.</p><p>　　2.2 正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用</p><p>　　全體階正交矩陣作成的集合, 記為, 從代數(shù)和拓?fù)涞慕嵌葋?lái)看, 我們可以證明它構(gòu)成一拓?fù)淙? 并且進(jìn)一步證明它是不連通的緊致lie群.</p><p><b>　　(1) 構(gòu)成拓?fù)淙?lt;/b></p><p>　　在證明構(gòu)成拓?fù)淙褐?/p>

29、前, 先介紹一下相關(guān)的概念. </p><p>　　定義 2.2.1[3] 設(shè)是任一集合, 是的子集構(gòu)成的子集族, 且滿足:</p><p><b>　　結(jié)合與空集屬于;</b></p><p>　　中任意個(gè)集的并集屬于;</p><p>　　中任意有窮個(gè)集的交集屬于;</p><p>　　稱是上

30、的一個(gè)拓?fù)? 集合上定義了拓?fù)? 稱是一個(gè)拓?fù)淇臻g.</p><p>　　定義 2.2.2[3] 如果是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 兵賦予群的機(jī)構(gòu), 使得群的</p><p><b>　　乘法運(yùn)算 ;</b></p><p>　　求逆運(yùn)算 ;</p><p>　　是連續(xù)映射, 就稱為拓?fù)淙?</p>&l

31、t;p>　　根據(jù)上面的定義, 我們分三步來(lái)實(shí)現(xiàn)證明全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成拓?fù)淙?</p><p>　　<1> 全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淇臻g.</p><p>　　<2> 全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一群.</p><p>　　<3> 全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淙?</p><p&g

32、t;　　證明 <1> 設(shè)表示所有具有實(shí)元素的階矩陣作成的集合, 以表示的一個(gè)代表元素. 我們可以把等同于維歐氏空間, 也就是將對(duì)應(yīng)于的點(diǎn).是點(diǎn)集的子集族, 則和都屬于,中任意個(gè)集的并集屬于,中有窮個(gè)集的交集也屬于, 可以驗(yàn)證構(gòu)成一拓?fù)淇臻g, 從而成為一拓?fù)淇臻g. 是所有實(shí)元素的階正交矩陣, 所以是的子集合, 于是由的拓?fù)淇梢哉T導(dǎo)出這個(gè)子集合的拓?fù)? 從而構(gòu)成的一個(gè)子拓?fù)淇臻g.</p><p>　　&l

33、t;2> 10 由于矩陣的乘法滿足集合律, 所以</p><p><b>　　20 </b></p><p><b>　　30 </b></p><p>　　所以正交矩陣作成的集合對(duì)于乘法運(yùn)算可構(gòu)成一群.</p><p>　　<3> 對(duì)于<1>中的拓?fù)淇臻g

34、的拓?fù)? 定義矩陣乘法</p><p>　　設(shè), 則乘積的個(gè)元素是現(xiàn)在具有乘積空間(個(gè)因子)的拓?fù)? 對(duì)于任何滿足的, 我們有投影映射, 將和的乘積映為它的第個(gè)元素. 現(xiàn)在是和的元素的多項(xiàng)式, 因此連續(xù), 投影映射是連續(xù)的,從而證明映射是連續(xù)的. 因?yàn)榫哂械淖涌臻g拓?fù)? 是的一個(gè)子拓?fù)淇臻g,且由正交矩陣的性質(zhì)<3>及上面的討論知, 映射也是連續(xù)的.</p><p>　　中的矩陣

35、可逆,定義求逆映射,. 由于合成映射, 將映為的第個(gè)元素, 由正交矩陣的性質(zhì)<2>, , 所以, 即, 的行列式及的代數(shù)余子式都是內(nèi)元素的多項(xiàng)式, 且, 所以為連續(xù)的, 而投影映射為連續(xù)的, 所以求逆映射為連續(xù)的.</p><p>　　至此, 又是一個(gè)拓?fù)淇臻g,并且構(gòu)成群, 對(duì)群的乘法與求逆運(yùn)算都是拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射, 因而所有階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淙? 稱它為正交群.</p>

36、<p>　　(2) 是緊致lie群</p><p>　　在證明之前我們知道以下有關(guān)的定義和定理.</p><p>　　定義 2.2.3[4] 設(shè)為拓?fù)淙? 的拓?fù)錇榫S實(shí)(或復(fù))解析流形, 且映射 為解析流形到上的解析映射, 則稱為維lie群.</p><p>　　定理 2.2.1[4] 歐氏空間內(nèi)的有界閉集是緊致子集.</p><p

37、>　　證明 (所有具有實(shí)元素的階矩陣作成的集合), 對(duì)應(yīng)維歐氏空間的點(diǎn),可作為維歐氏空間. 的行列式為元素的解析函數(shù), 為中的開(kāi)子集. 這時(shí), 按誘導(dǎo)拓?fù)淇梢灾罏榻馕隽餍? 且關(guān)于矩陣的乘法和求逆運(yùn)算均解析, 故為維lie群. 為的閉子集, 按誘導(dǎo)拓?fù)錇樽恿餍? 為lie群.</p><p>　　為了證明緊致, 根據(jù)定理內(nèi)容, 只要證明等同于時(shí), 相當(dāng)于內(nèi)的有界閉集. 設(shè), 由于有</p>

38、<p>　　對(duì)于任意的,定義映射</p><p>　　則為系列各集合的交集</p><p>　　由于都是連續(xù)映射, 所以上述每個(gè)集合都是閉集. 因此是的有界閉集, 這就證明了的緊致性.</p><p>　　在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是緊致的lie群, 我們稱為緊lie群, 所以是緊lie群.</p><p><b>　　(3) 是不連通

39、的</b></p><p>　　定義 2.2.4[3] 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 中存在著兩個(gè)非空的閉子集和, 使和成立, 則稱是不連通的.</p><p>　　證明 我們?cè)僭O(shè)是所有行列式為1的正交矩陣構(gòu)成的集合, 為所有行列式為-1的正交矩陣構(gòu)成的集合. 因?yàn)槭沁B續(xù)映射, 而我們知道單點(diǎn)集是的閉集,, 在連續(xù)映射下, 任何一個(gè)閉集的原象也是閉集, 所以也為閉集,為的閉集, 同理,

40、我們也可以證明是閉集, 因?yàn)?,而和是閉集, 有不連通的定義我們可以直接證明是不連通的.</p><p>　　2.3 正交矩陣在物理中的應(yīng)用</p><p>　　任意剛體運(yùn)動(dòng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)正交矩陣, 三維空間一條曲線經(jīng)過(guò)剛體運(yùn)動(dòng), 其曲率和撓率是不變的, 稱它們?yōu)檫\(yùn)動(dòng)不變量. 下面, 我們來(lái)考察曲線作剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的量.</p><p>　　設(shè)曲線與曲線只差一個(gè)運(yùn)動(dòng), 從曲

41、線到曲線的變換為</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　是三階正交矩陣, 是常數(shù).</p><p>　　對(duì)(2.6)兩邊求n階導(dǎo)數(shù)得</p><p><b>　　從而有</b><

42、;/p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　因?yàn)锳是正交矩陣, 所以也有</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p>　　另一方面, 由一階, 二階, 三階導(dǎo)數(shù), 可作成矩陣</p><p>　　兩邊取行列式, 由得</p>

43、<p>　　現(xiàn)在取可類似地討論.</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　(2.9)</b></p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　(2.7)代入(2.9)的右邊得</p><p&g

44、t;<b>　?。?.11）</b></p><p>　　因(2.9)與(2.10)右邊相等, 有(2.10)右邊與(2.11)式右邊相等得</p><p>　　由正交矩陣的性質(zhì)2知, 且由</p><p>　　將上面三式左右分別平方相加</p><p><b>　　=++</b></p>

45、;<p><b>　　=</b></p><p><b>　　寫成矢函數(shù), 即得</b></p><p><b>　　于是我們可推得</b></p><p>　　這里的分別是曲線的曲率與撓率.</p><p>　　致謝 本文是在 的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在

46、此對(duì)汪老師表示衷心的感謝!</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 張凱院, 徐仲．矩陣論同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)[M]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2002. 10．160-164</p><p>　　[2] 趙大成等．物質(zhì)機(jī)構(gòu)[M]．人民教育出版社 1982.9 219-226</p><p&g

47、t;　　[3] 熊金城. 點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M]. 高等教育出版社, 1998.5 110-111, 193-195 </p><p>　　[4] 嚴(yán)志達(dá)等. Lie群及其lie代數(shù)[M]. 高等教育出版社, 1985.10 16-17 </p><p>　　[5] 戴立輝. 正交矩陣的若干性質(zhì)[M]. 華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào), 2002.9 第25卷第31期 267-268</p>

48、<p>　　[6] 劉釗南．正交矩陣的作用[M]. 湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào), 1987．11-16</p><p>　　[7] 劉國(guó)志. 歐氏空間子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基德全新方法—Givens變換法[J]. 撫順石油學(xué)院學(xué)報(bào), 1996.3 16卷1期 78-81 </p><p>　　[8] 張煥玲. 一種求歐氏空間子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的新方法[J].山東科學(xué),1996.3 9卷1期 14

49、-16 </p><p>　　[9] 陳少白. 空間曲線的剛體運(yùn)動(dòng)基不變量[J]. 武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2003.12 26卷4期 424-426</p><p>　　[10] Fuzhen zhang, Matrix Theory, Springer, 1999.</p><p>　　[11] Horn R A, Johnson C R. 1989. Matrix

50、 Analysis(矩陣分析), 楊奇. 天津:天津大學(xué)出版社</p><p>　　[12] D J Field What is the goal of sensory coding？4(1994).</p><p>　　[13] M Heiler. C Schnorr Learning sparse representations by non-negative matrix facto