矩陣分解的研究[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　矩陣分解的研究</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要: 數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)不僅

3、擁有真理，而且擁有至高無(wú)上的美，而矩陣就是其中的重要組成部分.在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論管理科學(xué)中，大量涉及到矩陣?yán)碚摰闹R(shí).矩陣分解對(duì)矩陣?yán)碚摷敖?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵的作用.尋求矩陣在各種意義下的分解形式，是對(duì)與矩陣有關(guān)的數(shù)值計(jì)算和理論都有著極為重要的意義.這些分解在數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問(wèn)題的解決中都有著十分重要的角色以及在其他領(lǐng)域方面也起著必不可少的作用.本文首先給出了矩陣的定義，接下來(lái)敘述了矩陣的分解，然后介紹了矩陣分解的幾種

4、類型，如滿秩分解、奇異值分解、三角分解、和式分解、分解等常用的幾種分解，最后通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用來(lái)說(shuō)明矩陣分解的重要作用.</p><p>　　關(guān)鍵字:滿秩分解；奇異值分解;三角分解;和式分解;分解單純形法的</p><p>　　MATRIX FACTORIZATIONS</p><p>　　Abstract：Mathematics as a kind of creat

5、ive activity possesses not only truth, but supreme beauty, but with matrix is one of the important part in modern mathematics. Economic theory, engineering technology, management science, large involves matrix theory kno

6、wledge. Matrix decomposition of matrix theory and the development of modern computing mathematics plays a key role in various meanings. Seek matrix decomposition form, is under the right and matrix related numerical calc

7、ulation and theoretic</p><p>　　Key words: Full rank factorization, Singular value decomposition, Triangle decomposition, Assignment-compatible decomposition, </p><p><b>　　目 錄</b><

8、;/p><p><b>　　目 錄3</b></p><p><b>　　1 前 言1</b></p><p>　　1.1研究背景1</p><p>　　1.2研究意義1</p><p>　　1.3研究目標(biāo)1</p><p>　　1.

9、4研究方法1</p><p>　　1.5研究步驟1</p><p>　　2 矩陣分解的相關(guān)概念介紹1</p><p>　　2.1 矩陣的定義1</p><p>　　2.2 矩陣分解的含義1</p><p>　　3 矩陣分解的幾種形式2</p><p>　　3.1

10、滿秩分解2</p><p>　　3.2奇異值分解5</p><p>　　3.3三角分解10</p><p>　　3.4和式分解13</p><p>　　3.5QR分解14</p><p>　　4 矩陣分解的應(yīng)用15</p><p>　　4.1數(shù)值計(jì)算上的應(yīng)用15<

11、/p><p>　　4.2簡(jiǎn)化問(wèn)題上的應(yīng)用20</p><p>　　5 總 結(jié)21</p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1 前 言</b></p><p&

12、gt;<b>　　研究背景</b></p><p>　　由于在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論管理科學(xué)中，大量涉及到矩陣?yán)碚摰闹R(shí).因此，矩陣?yán)碚撟匀痪褪菍W(xué)習(xí)和研究上述學(xué)科必不可少的基礎(chǔ)之一.另一方面，矩陣?yán)碚摪l(fā)展到今天，已經(jīng)形成了一整套的理論和方法，內(nèi)容非常豐富.矩陣分解對(duì)矩陣?yán)碚摷敖?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵的作用.尋求矩陣在各種意義下的分解形式，是對(duì)矩陣有關(guān)的數(shù)值計(jì)算和理論都有著極為重要的意

13、義.因?yàn)檫@些分解式的特殊形式，一是能夠明顯的反映出原矩陣的某些特征；二是分解的方法與過(guò)程提供了某些有效的數(shù)值計(jì)算方法和理論分析根據(jù).這些分解在數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問(wèn)題的解決中都有著十分重要的角色以及在其他領(lǐng)域方面也起著必不可少的作用.</p><p><b>　　研究意義</b></p><p>　　通過(guò)網(wǎng)絡(luò)以及圖書館的大量文獻(xiàn)資料的查找和翻閱，向人們介紹矩陣及矩陣分解的

14、理論知識(shí)，主要是矩陣的各種分解形式的定義以及它們的應(yīng)用.</p><p><b>　　研究目標(biāo)</b></p><p>　　熟悉矩陣分解的基本理論，了解矩陣的幾種常用分解形式.通過(guò)學(xué)習(xí)可以具有分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的基本能力，并且能用相關(guān)的分解形式來(lái)解決數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問(wèn)題等方面的問(wèn)題.</p><p><b>　　研究方法</b&

15、gt;</p><p>　　探討矩陣分解的理論知識(shí)與應(yīng)用問(wèn)題，要理論聯(lián)系實(shí)際！怎么把矩陣分解的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中！矩陣分解的知識(shí)在實(shí)際中有很廣泛的作用．主要是通過(guò)大量的搜查資料，尋找相關(guān)信息，總結(jié)矩陣分解的理論知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用.我將會(huì)通過(guò)上網(wǎng)和去圖書館借相關(guān)的書來(lái)得到資料信息．</p><p><b>　　研究步驟</b></p><p>　　第一

16、部分：引言．分析研究背景、研究意義、研究目標(biāo)、研究方法和研究思路．</p><p>　　第二部分：矩陣分解的相關(guān)概念介紹,即矩陣的基本概念，矩陣分解的定義.</p><p>　　第三部分：對(duì)矩陣分解的幾種常用形式進(jìn)行分析，即對(duì)滿秩分解、奇異值分解、三角分解、和式分解、QR分解的定義以及定理做出說(shuō)明.</p><p>　　第四部分：矩陣分解的應(yīng)用，在數(shù)值計(jì)算上的應(yīng)用，

17、在最優(yōu)化問(wèn)題方面的應(yīng)用.</p><p><b>　　第五部分：小結(jié).</b></p><p>　　2 矩陣分解的相關(guān)概念介紹</p><p>　　在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到矩陣的分解，通過(guò)矩陣的分解，常?？梢赃_(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.在數(shù)值計(jì)算上，最優(yōu)化問(wèn)題上都有用到.可是，很多人對(duì)矩陣分解的了解還是不夠的，他們分不清什么才是矩陣的分解以及矩

18、陣幾種分解形式的區(qū)別，在什么情況下，用怎樣的分解形式才能達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.</p><p>　　那么我們首先介紹一下矩陣的定義．</p><p>　　2.1 矩陣的定義</p><p>　　定義 1：由個(gè)數(shù)排成的行、列的長(zhǎng)方形表</p><p><b>　　(1)</b></p><p>

19、　　稱為數(shù)域上的一個(gè)矩陣.其中的稱為這個(gè)矩陣的元.兩個(gè)矩陣相等就是它們對(duì)應(yīng)位置的元全相等[1].</p><p>　　矩陣通常用一個(gè)大寫拉丁字母表示.如（1）的矩陣可以被記為.如果矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等，則稱它為階方陣.數(shù)域上所有矩陣的集合記為,所有階方陣的集合記為，元全為0的矩陣稱為零矩陣，記為0.矩陣的位于第行、第列的元簡(jiǎn)稱為的元，記為.如果矩陣的元是，則可以寫成.為了說(shuō)明這個(gè)矩陣是行列的，也可寫成或.當(dāng)時(shí)又記

20、為【2】.</p><p>　　2.2 矩陣分解的含義</p><p>　　簡(jiǎn)單的說(shuō)，矩陣分解是指將一個(gè)矩陣分解為比較簡(jiǎn)單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積[2].也就是說(shuō)，矩陣分解就是將矩陣分解為各種形式，通過(guò)各種形式的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)矩陣分解的意義.主要通過(guò)下面的幾種分解形式來(lái)具體的介紹.</p><p>　　3 矩陣分解的幾種形式</p>

21、<p><b>　　滿秩分解</b></p><p>　　如果矩陣的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)，則有行（列）滿秩矩陣</p><p>　　定義 2：設(shè)（r>0）,即的秩是,則存在矩陣,使得</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　則稱式（2）是矩陣的滿秩分解[3]

22、.</p><p>　　證：因?yàn)?，所以存在階可逆陣和階置換陣，使.令,其中是列滿秩陣,這樣</p><p><b>　　,</b></p><p>　　顯然是行滿秩的陣.令,即得所證.</p><p>　　設(shè) ,</p><p>　　則 .</p>

23、;<p>　　這也是的滿秩分解的表示形式.</p><p>　　定理 1【4】 秩為的實(shí)矩陣可分解成個(gè)秩為1的矩陣之和.</p><p>　　證明 由性質(zhì)可知存在可逆矩陣、，使得</p><p>　　因此，得 </p><p><b>　　而秩秩，</b></p><

24、;p><b>　　得證.</b></p><p>　　下面是求矩陣的滿秩分解的例子.</p><p><b>　　例 1 設(shè)</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　求矩陣的滿秩分解.解 先用行初等變換把

25、矩陣化為簡(jiǎn)化階梯形</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中，是行滿秩陣.</b></p><p>　　顯然線性無(wú)關(guān),且.由于行初等變換保持矩陣列向量組的線性組合關(guān)系,因此線性無(wú)關(guān),且.取</p><p><b>　　,</b></p>

26、;<p><b>　　顯然是列滿秩陣,且</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即為的滿秩分解.</b></p><p>　　更進(jìn)一步有如下定理.</p><p>　　定理 2(正交滿秩分解定理) 設(shè)是階實(shí)矩陣, 的秩為r，則

27、存在列正交矩陣和行滿秩的陣，使.其中，列正交的含意為.</p><p>　　證 由前面對(duì)滿秩分解的定義可知,存在列滿秩的陣和行滿秩的陣,使.于是是秩為的階方陣,且易證是正定陣.這樣存在階正定陣,使得.且.記,則是列正交陣,即,且是行滿秩的陣.顯然有,這便是的正交滿秩分解.</p><p>　　例 2 求矩陣的滿秩分解的表達(dá)式</p><p><b>

28、;　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) </b></p><p>　　解 (1)對(duì)矩陣只作初等行變換得到行簡(jiǎn)化階梯形矩陣</p><p><b>　　于是取</b></p><p>　　那么,即為其滿秩分解表達(dá)式.</p><p>　　(2)

29、 對(duì)矩陣只作初等行變換得到行簡(jiǎn)化階梯形矩陣</p><p><b>　　于是取</b></p><p>　　那么,即為其滿秩分解的表達(dá)式.</p><p>　　從上面兩個(gè)例子,我們可以看出對(duì)此類問(wèn)題有一種很普遍的方法.設(shè)為一個(gè)形矩陣,其秩為,對(duì)僅作初等行變換即可得到它的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣,假設(shè)主元所在的列為第列,第列,…,第列向量組成矩陣,是一個(gè)

30、形矩陣;然后將中元素全為零的行去掉,剩下的行向量組成矩陣,是一個(gè)形的矩陣.最后得到,即為所求矩陣的滿秩分解的表達(dá)式.另外,要注意矩陣滿秩分解表達(dá)式并不唯一.</p><p><b>　　奇異值分解</b></p><p>　　為了引入矩陣的奇異值,先介紹兩個(gè)引理[5]</p><p>　　引理 1 對(duì)于任何一個(gè)矩陣都有</p>

31、<p>　　rank=rank=rank</p><p>　　證明：方程組與同解，所以有rank=rank</p><p>　　又因?yàn)榕c同解，所以有rank= rank</p><p><b>　　又有,立即可證之.</b></p><p><b>　　引理 2 設(shè),則</b></

32、p><p>　　1) 、的特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù).</p><p>　　2) 與有相同的非零特征值.</p><p>　　證 1) 由于、均為埃爾米特矩陣,即可得證</p><p>　　2) 設(shè)的特征值依大小順序編號(hào)為</p><p>　　的特征值依大小順序編號(hào)為</p><p>　　由可得,這表明既是

33、的特征值,又是的特征值.同理可證,既是的特征值,又是的特征值.</p><p><b>　　證明的前提是</b></p><p>　　若，則由可得或者，因?yàn)椋瑒t有，而又是非零特征值，那么就產(chǎn)生矛盾，不成立。</p><p>　　設(shè)是對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,由上面的討論知是的屬于特征值的特征向量,不難證明它們是線性無(wú)關(guān)的.這說(shuō)明的重特征值也是

34、的重特征值.反之亦然,因此結(jié)論2)成立.</p><p>　　由上面的兩個(gè)引理,2我們可以給出奇異值分解的定義.</p><p>　　定義 3 設(shè),則 </p><p>　　設(shè),的正特征值,的正特征值,稱</p><p>　　是的正奇異值,簡(jiǎn)稱奇異值[6].</p><p>　　定理 3 設(shè)矩陣的奇異

35、值中有個(gè)不等于零,記為.它們構(gòu)成的階對(duì)角陣記為.令階矩陣具有如下分塊形式:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　則存在正交矩陣,使</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　證 因?yàn)槭请A半正定對(duì)稱矩陣,則存在階正交矩陣

36、使</p><p><b>　　,</b></p><p>　　上式右端為階矩陣.將分塊,寫成</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中,.因?yàn)槭钦魂?所以,由</p><p><b>　　,</b></p>&l

37、t;p><b>　　得</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　,</b></p><p&g

38、t;<b>　　其中</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　將擴(kuò)充成正交矩陣,則有</p><p><b>　　

39、.</b></p><p><b>　　下面是一個(gè)例子</b></p><p><b>　　例 3 求矩陣</b></p><p><b>　　的奇異值分解.</b></p><p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b></p>

40、<p><b>　　,</b></p><p>　　其特征值為,故的奇異值為,的正交單位特征向量為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　解線性方程組</b></p&g

41、t;<p><b>　　得通解為</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　取,得為單位向量.于是</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

42、t;　　容易驗(yàn)證此時(shí) .</p><p>　　從上面的例子中,我們可以知道奇異值分解是矩陣分解這類問(wèn)題中一種比較復(fù)雜得情況,任意一個(gè)矩陣的奇異值分解過(guò)程可分為以下幾個(gè)步驟進(jìn)行.設(shè).</p><p>　　首先求出矩陣的個(gè)特征值以及個(gè)非零特征值,將它們記為,從而求出矩陣的個(gè)奇異值并得到一個(gè)形矩陣,這里.</p><p>　

43、　求出矩陣的分別屬于特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量,于是得到矩陣,其中是一個(gè)形矩陣, 是一個(gè)形矩陣.</p><p>　　寫出矩陣,它是一個(gè)形的次酉矩陣,再構(gòu)造,使得為一個(gè)階酉矩陣.</p><p>　　寫出矩陣的奇異值分解的表達(dá)式,即.</p><p><b>　　三角分解</b></p><p>　　設(shè)給定的矩陣,將方陣分

44、解成一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積,即,這種分解稱為矩陣的三角分解,又稱為矩陣的分解[7].這樣的和都比較簡(jiǎn)單,所以矩陣的分解具有使矩陣運(yùn)算得以簡(jiǎn)化的特點(diǎn).</p><p>　　定理 4 存在單位下三角陣和可逆上三角陣,使方陣分解為的充分必要條件是的各階順序主子陣可逆.</p><p>　　證 充分性.對(duì)的階數(shù)n進(jìn)行歸納.當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)階陣成立，當(dāng)為階方陣時(shí)，令&l

45、t;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，是矩陣，是矩陣.由于的各階順序主子陣可逆,因此的各階順序主子陣也可逆.由歸納假設(shè),存在階單位下三角陣和可逆上三角陣,使.這樣</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中,.上式兩邊取行列式得</p>

46、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　因此,.又</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中,是單位下三角陣.</p><p><b>　　是可逆上三角陣.</b></p><

47、;p>　　必要性 設(shè),其中是單位下三角陣, 是可逆上三角陣.令</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中,是階單位下三角陣,是階可逆上三角陣.</p><p><b>　　由得</b></p><p><b>　　,</b></p>

48、<p>　　由于為單位下三角陣,所以可逆.由于是可逆上三角陣，所以也可逆，從而可逆，也即的階順序主子陣可逆.</p><p>　　定理 5[8] 給定矩陣,主元均不為零的充分必要條件是的順序主子式都不為零.</p><p>　　定理 6[9] 設(shè)是n階矩陣，可以唯一地分解為單位下三角矩陣和上三角矩陣的乘積當(dāng)且僅當(dāng)?shù)那皞€(gè)順序主子式.</p><p>　　

49、我們可以從下面的這個(gè)例子來(lái)更明白的了解矩陣的三角分解.</p><p>　　例 4 設(shè),將分解成單位下三角陣和可逆上三角矩陣的乘積.</p><p>　　解 只需用類行初等變換,其中,</p><p>　　于是 ,</p><p>　　故

50、 </p><p><b>　　例 5 將</b></p><p>　　分解成下三角陣與單位上三角陣的乘積.</p><p><b>　　解 設(shè),其中</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　則有 =2，=

51、1，=0，=1</p><p>　　故 </p><p>　　若將分解為,則方程組</p><p>　　(為維向量)的求解可轉(zhuǎn)化為求解方程組</p><p><b>　　如令,則有</b></p><p><b>　　即</b><

52、;/p><p><b>　　最后求出和.</b></p><p><b>　　和式分解</b></p><p>　　矩陣的和式分解是指將一個(gè)矩陣分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上特征矩陣(如單位矩陣,對(duì)稱矩陣)的和的形式[10].</p><p>　　下面兩個(gè)結(jié)論是以前書上的兩個(gè)課后習(xí)題,現(xiàn)在以定理的形式給出并加以證

53、明.</p><p>　　定理 7 任何一個(gè)階矩陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和.</p><p>　　證明 設(shè)為任意階矩陣,構(gòu)造矩陣</p><p>　　而 ,</p><p>　　所以為對(duì)稱矩陣,為反對(duì)稱矩陣,且有</p><p>　　定理 8 秩為

54、的實(shí)對(duì)稱矩陣可表示成個(gè)秩為1的對(duì)稱矩陣之和,其組合系數(shù)為的特征值.</p><p>　　證明 因是秩為的階實(shí)對(duì)稱矩陣,故存在正交矩陣,使</p><p>　　其中為的全部非零特征值,則</p><p>　　其中表示第行第列的元素為1，其余元素為0的階矩陣.</p><p><b>　　,故為對(duì)稱矩陣.</b><

55、/p><p>　　又因?yàn)橹?為可逆矩陣,故秩秩,即表示成個(gè)秩為1的對(duì)稱矩陣之和，且組合系數(shù)為的特征值.</p><p>　　若矩陣可分解為兩個(gè)或幾個(gè)矩陣的和,則可以用分解式計(jì)算與可交換的矩陣, 的冪次或的特征值等.</p><p>　　例 6 設(shè),求所以與可交換的矩陣</p><p>　　解 ,設(shè)與可交換.</p><p&

56、gt;<b>　　即</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　所以,,故,為任意實(shí)數(shù).</p><p>　　從上面例子可以發(fā)現(xiàn)，將一個(gè)矩陣A分解成單位矩陣E與另一個(gè)矩陣和的形式，這樣大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，從而比較方

57、便、快捷的解決了問(wèn)題.需要說(shuō)明的是這種處理方法并不是在所有情況下都適用的，要具體問(wèn)題具體分析.但這種處理問(wèn)題的方法是值得借鑒的，當(dāng)發(fā)現(xiàn)用常規(guī)的方法處理問(wèn)題比較繁瑣或無(wú)法解決時(shí)可嘗試這樣的方法，尋找合適的特征矩陣將原矩陣進(jìn)行分解.用矩陣分解的方法解決問(wèn)題其靈活性技巧性比較強(qiáng)，要注意把握其特征，找到合適的矩陣將其分解是關(guān)鍵.</p><p><b>　　QR分解</b></p>&

58、lt;p>　　一個(gè)矩陣的分解是指將矩陣分解為，其中是正交矩陣，是上三角陣，因此，分解有時(shí)也稱為正交三角分解[11]或者說(shuō)實(shí)非奇異矩陣能夠化成正交矩陣和實(shí)非奇異上三角矩陣的乘積,即</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　稱式(3)為的分解[12]</p><p>　　分解是數(shù)值線性代數(shù)的基本分解方法之一,不僅在實(shí)際

59、中有廣泛的應(yīng)用,而且在理論研究上也很有意義.</p><p>　　定理 9[13] (分解的唯一性) 若是非奇異的,則存在唯一正交矩陣和主對(duì)角線元素全為正的上三角矩陣,使得.</p><p>　　定理 10[14] 給矩陣的任意一列乘以一個(gè)常數(shù)k,其對(duì)應(yīng)的新矩陣的分解形式中不變,而的對(duì)應(yīng)列乘以常數(shù)K,其他列不變.</p><p>　　定理 11[15] 是n 階

60、非奇異矩陣, 則總可經(jīng)過(guò)一些行和列的初等變換分解為 的形式,其中為正交矩陣,為非奇異的上三角矩陣.</p><p>　　QR分解在解決最小二乘問(wèn)題，特征值的計(jì)算等方面有十分重要的應(yīng)用.</p><p>　　4 矩陣分解的應(yīng)用</p><p><b>　　數(shù)值計(jì)算上的應(yīng)用</b></p><p>　　例7：設(shè)矩陣，求.（

61、東南大學(xué)06）</p><p>　　解 對(duì)矩陣作如下的初等變換</p><p>　　所以的初等因子為，.</p><p><b>　　令，即</b></p><p>　　所以的標(biāo)準(zhǔn)形為 ： </p><p><b>　　從而得 </b></p>&

62、lt;p><b>　　即</b></p><p>　　例8：設(shè)為階實(shí)矩陣，為階單位矩陣.證明：，其中為虛數(shù)單位.（清華大學(xué)06）</p><p>　　解 由定理可知 存在可逆的酉矩陣，使得</p><p>　　從而有 </p><p>　　由于為階實(shí)矩陣，所以的特征多項(xiàng)式為次實(shí)多項(xiàng)式，又實(shí)

63、多項(xiàng)式的復(fù)根是成對(duì)共軛出現(xiàn)的，因此的復(fù)特征值是成對(duì)共軛出現(xiàn)的.</p><p>　　①當(dāng)?shù)乃刑卣髦刀疾皇牵ɑ颍?，則的特征值不存在（或）.則此時(shí)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　且有 ， </p><p>　　而此時(shí) </p><p><

64、;b>　　從而得 </b></p><p>　?、诋?dāng)?shù)奶卣髦抵写嬖谟校ɑ颍?，則一定有一特征值（或）存在.并且有幾個(gè)（或）存在相應(yīng)的就有幾個(gè)（或）存在.</p><p><b>　　又由于 ，</b></p><p><b>　　從而 知 </b></p><p><

65、;b>　?。ǎ┲胁粸榱愕膫€(gè)數(shù)</b></p><p><b>　?。ǎ┲胁粸榱愕膫€(gè)數(shù)</b></p><p><b>　　從而可得</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　例9 ：設(shè)為階矩陣，且，證明：秩+秩.（廈門大學(xué)06）&

66、lt;/p><p><b>　　解 由于，則</b></p><p>　　因此 為的化零多項(xiàng)式</p><p>　　從而有 </p><p>　　所以的最小多項(xiàng)式的根只能為-1或1</p><p>　　又的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式有相同的根，因此的特征值為

67、-1或1.</p><p>　　假設(shè)的特征值中有個(gè)-1（或1），則的另外的個(gè)特征值必為-1（或1）.</p><p>　　由性質(zhì)可知， 存在正交矩陣，使得 </p><p><b>　　則有</b></p><p>　　因此 </p><p><b>　

68、　同理可得 </b></p><p>　　則有 </p><p>　　從而有 秩+秩 得證.</p><p>　　例10： 設(shè)是秩為的階矩陣. 證明: 存在秩為的方陣和使得.</p><p>　　證明 因?yàn)槭侵葹榈碾A矩陣，由性質(zhì)得存在可逆矩陣、，使得&

69、lt;/p><p><b>　　現(xiàn)令、，則有</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　例11： 設(shè)為級(jí)矩陣, 求證: (1) 存在正整數(shù)使得秩() 秩(); (2) 若存在正整數(shù)使得秩()秩(), 則對(duì)于任意正整數(shù), 秩()秩().</p><p>　　證明 由性質(zhì)可知

70、知存在酉矩陣，使得 ，</p><p>　　其中，且為矩陣的特征值.</p><p>　　不妨假設(shè) 、，則可得</p><p>　　，為可逆矩陣，因此對(duì)任意的正整數(shù)，有</p><p>　　， （2）</p><p>　　又對(duì)任意，，且，

71、 （3）</p><p>　　因此可令，則由（3）式，知 （4）</p><p>　　由（4），得 對(duì)任意的，有 從而由（2）、（4），得</p><p><b>　　秩秩</b></p><p>　　且對(duì)任意的正整數(shù)，

72、也有</p><p>　　秩秩 得證.</p><p><b>　　簡(jiǎn)化問(wèn)題上的應(yīng)用</b></p><p><b>　　例12： 設(shè)，求.</b></p><p>　　解 由于，則由性質(zhì)可知 </p><p><b>

73、　　其中，，則有</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　5 總 結(jié)</b></p><p>　　隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,簡(jiǎn)單的矩陣已經(jīng)不能夠解決很多問(wèn)題.不僅僅是數(shù)學(xué)上的問(wèn)題,在實(shí)際的很多需要數(shù)學(xué)知識(shí)的情況下,矩陣分解,能夠簡(jiǎn)化計(jì)算的很多步驟,是結(jié)果能夠更清晰

74、.所以為了解決這些問(wèn)題,人們對(duì)矩陣進(jìn)行了分解,并且對(duì)它進(jìn)行研究發(fā)展,使之能夠更系統(tǒng)化、全面化.現(xiàn)今矩陣分解是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認(rèn)識(shí)客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一.并且矩陣分解的各種形式也隨之成為解決實(shí)際問(wèn)題中的一種有力工具之一，其應(yīng)用的范圍也越來(lái)越廣泛.本文通過(guò)對(duì)大量文獻(xiàn)資料的查閱，向人們介紹矩陣分解的理論，主要是分析了矩陣的幾種分解形式以及它們的應(yīng)用.第一部分：引言

75、部分．分析研究背景、研究意義、研究目標(biāo)、研究方法和研究思路．第二部分:矩陣的基本概念,通過(guò)矩陣的概念來(lái)闡述矩陣分解的定義. 一直以來(lái),都沒(méi)有哪里很詳細(xì)的說(shuō)出矩陣分解的定義,都僅僅是通過(guò)矩陣的各種分解形式來(lái)間接說(shuō)明矩陣分解的定義.本文也是通過(guò)這樣的方式來(lái)說(shuō)明矩陣分解.第三部分:詳細(xì)的介紹了幾種矩陣分解的形式,即滿秩分解、奇異值分解、三角分解、和式分解、QR分解,介紹了他們的定義,以及一些定理并對(duì)一些</p><p>

76、;　　如果在實(shí)際工作中，我們能經(jīng)常利用數(shù)學(xué)的思想去思考問(wèn)題，往往能突破我們思維上的禁錮，拓寬考慮問(wèn)題的思路，可以為實(shí)際問(wèn)題的順利解決提供了較大的幫助.本文的目標(biāo)運(yùn)用矩陣分解的定理及其意義解決一些數(shù)學(xué)上的實(shí)際問(wèn)題. 熟悉矩陣分解的理論，通過(guò)學(xué)習(xí)可以具有分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的基本能力，并且用相關(guān)的矩陣分解形式來(lái)解決問(wèn)題,至少能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p

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