數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-- 伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、<p>　　伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用</p><p><b>　　***</b></p><p>　　摘 要 在高等代數(shù)中，伴隨矩陣作為一種特殊的矩陣有很多特殊的性質(zhì)，從某種意義上來(lái)說(shuō)，它和正定矩陣、正交矩陣一樣,不僅在理論很有研究?jī)r(jià)值而且在實(shí)踐上也有廣泛的應(yīng)用.</p><p>　　本文主要是針對(duì)伴隨矩陣的多種性質(zhì)以及特殊的矩陣

2、(比如上三角矩陣、對(duì)稱矩陣等)的伴隨矩陣所具有的性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，同時(shí)在計(jì)算伴隨矩陣中應(yīng)用伴隨矩陣的特殊性質(zhì)去簡(jiǎn)化計(jì)算，使某些矩陣的伴隨矩陣的求法簡(jiǎn)單可行，避免了大量復(fù)雜的計(jì)算.</p><p>　　關(guān)鍵詞 伴隨矩陣 特殊矩陣 上三角矩陣</p><p><b>　　1 序言</b></p><p>　　伴隨矩陣是一種特殊的矩陣，在

3、矩陣的研究中占有很重要的地位.前人針對(duì)伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用等方面做了大量的工作.而本文在借鑒前人的基礎(chǔ)上，首先研究的是伴隨矩陣的性質(zhì)，其次對(duì)某些特殊矩陣的伴隨矩陣進(jìn)行研究，最后利用特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)對(duì)某些題目應(yīng)用簡(jiǎn)單方法進(jìn)行計(jì)算.</p><p><b>　　2 伴隨矩陣的性質(zhì)</b></p><p>　　2.1伴隨矩陣的定義</p><p

4、>　　設(shè)=()是一個(gè)級(jí)矩陣，</p><p>　　叫做的伴隨矩陣，其中是的代數(shù)余子式，很顯然的元素是由的一切n-1級(jí)代數(shù)余子式組成.</p><p>　　2.2 伴隨矩陣的基本性質(zhì)</p><p><b>　　定理2.1 </b></p><p><b>　　證明 （略）.</b></

5、p><p>　　定理2.2 設(shè)為n（n＞1）階方陣，則有=</p><p>　　證明 （1）當(dāng)時(shí)，≠0，由=知，，即，所以.</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，0，所以0，知的列向量都是方程的解，由于，齊次線性方程組的解向量組的秩為n-（n-1）=1，知的列向量組的秩為1，即列秩為1，故.</p><p>　　（3）當(dāng)時(shí)，的每一個(gè)元素都是零，因

6、為沒(méi)有不為0的n-1階子式，故.</p><p><b>　　定理證畢.</b></p><p>　　對(duì)定理2.2有如下兩個(gè)推論：</p><p>　　推論1 和同時(shí)可逆或不可逆.①若，；</p><p><b>　?、谌魰r(shí)，=0.</b></p><p><b>

7、;　　推論2 </b></p><p>　　定理2.3 設(shè)為階方陣，即為，則有</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　?。?） 對(duì).</p><p><b>　　特別，有</b></p><p>　　證明 （1）可直接

8、由定義計(jì)算出來(lái).</p><p>　　(2) 當(dāng)k=1是，結(jié)論成立，當(dāng)k=2時(shí)，，由，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　k=2時(shí)成立.</b></p><p>　　假設(shè)k-1結(jié)論成立，則對(duì)于k</p><p><b>　　當(dāng)k為

9、奇數(shù)時(shí)</b></p><p><b>　　k為偶數(shù)時(shí)</b></p><p>　　所以對(duì)任意的k，結(jié)論成立.</p><p>　　對(duì)定理2.3有如下推論：</p><p>　　推論 若為n×n（n3）非可逆矩陣，則的m（m2）重伴隨矩陣</p><p>　　證明 由于為

10、n（n3）且的矩陣，由定理2.2，則，所以中任意階子式全為0，故有，從而</p><p><b>　　定理2.4 </b></p><p><b>　　證明 設(shè)，，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，其中</b&

11、gt;</p><p><b>　　設(shè)，則</b></p><p>　　對(duì)定理2.4有如下兩個(gè)推論：</p><p><b>　　推論1 </b></p><p><b>　　推論2 </b></p><p><b>　　定理2.5 &l

12、t;/b></p><p>　　證明 由；，而，故結(jié)論成立.</p><p>　　定理2.6 （）</p><p><b>　　定理2.7 </b></p><p><b>　　定理2.8 </b></p><p><b>　　定理2.9 <

13、/b></p><p><b>　　定理2.10 </b></p><p>　　證明 設(shè) </p><p><b>　　則</b></p><p>　　中第i行第j列表示為</p><p>　　根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置矩陣行

14、列式相等，顯然有，對(duì)一切；都成立，所以.</p><p>　　3 某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)</p><p>　　定理3.1 單位陣的伴隨矩陣仍為單位陣，即；零矩陣伴隨矩陣仍為零矩陣.</p><p>　　定理3.2 若是上（下）三角形矩陣，則也是上（下）三角形矩陣，并且之對(duì)角線上元素為之對(duì)角線除去對(duì)應(yīng)位置上一元素后余下的n-1個(gè)元素之積.</p>

15、<p>　　證明 設(shè)，當(dāng)k＞1時(shí)，</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p>　　其中是所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，于是，當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　而</b></p><p>&l

16、t;b>　　故 .</b></p><p><b>　　這就是說(shuō)</b></p><p>　　又 </p><p><b>　　=</b></p><p>　　就證明了上三角的情形.同理可證明下三角的情形.</p><p>　　對(duì)定理3.2有

17、如下推論：</p><p>　　推論 對(duì)角矩陣的伴隨矩陣仍為對(duì)角矩陣，且</p><p>　　定理3.3 對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣仍為對(duì)稱矩陣，對(duì)合矩陣（）的伴隨矩陣仍為對(duì)合矩陣.</p><p>　　證明 由為對(duì)稱，可得，而即知是對(duì)稱的.</p><p>　　若對(duì)合陣，，則，則，再由，即，得，所以，.這樣.因而是對(duì)合矩陣.</p>

18、;<p>　　定理3.4 設(shè)為反對(duì)稱矩陣，即，</p><p><b>　　則</b></p><p>　　即偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣伴隨矩陣仍為反對(duì)稱矩陣，奇數(shù)階的反對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣為對(duì)稱矩陣.</p><p><b>　　證明 由知，，</b></p><p>　　若，那么，即是反對(duì)

19、稱陣.</p><p>　　若，那么，即是對(duì)稱陣.</p><p>　　對(duì)定理3.4有如下推論：</p><p>　　推論 設(shè)為非奇異矩陣，為反對(duì)稱矩陣，則是反對(duì)稱矩陣，即是反對(duì)稱矩陣.</p><p>　　證明 因?yàn)闉榉磳?duì)稱矩陣，所以也是反對(duì)稱矩陣，于是有</p><p>　　上式兩邊左乘得

20、 </p><p>　　因此，有 ；</p><p>　　故為反對(duì)稱，也為反對(duì)稱.</p><p>　　定理3.5 初等矩陣的伴隨矩陣分別為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 <

21、/p><p>　　定理3.6 ①若是第一類正交矩陣，即，則；</p><p>　?、谌羰堑诙愓痪仃?，即，則；</p><p>　?、廴羰请A非零方陣且,則正交；</p><p>　　證明 ①②：若正交，則且，于是</p><p>　?、郏喝?，并設(shè)，分兩種情況；</p><p>　?、。┤?，那

22、么代數(shù)余子式；把按第行展開(kāi)得</p><p><b>　　又知，</b></p><p><b>　　所以 ，</b></p><p><b>　　所以，即正交</b></p><p>　?、ⅲ┤?，那么的代數(shù)余子式，</p><p><b>　

23、　把按第行展開(kāi)得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以，即正交.</b></p><p>　　對(duì)定理3.6有如下兩個(gè)推論：</p><p>　　推論1

24、若為正交矩陣，則也為正交矩陣.</p><p>　　證明 為正交陣，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故有</b></p><p><b>　　所以為正交矩陣.</b></p><p>　　推論2 若為正交矩陣

25、，則也為正交矩陣.</p><p>　　證明 由于為正交矩陣，則可逆，，故</p><p><b>　　所以，為正交矩陣.</b></p><p>　　定理3.7 定義 若，則稱為自伴隨矩陣.</p><p>　　（1）零矩陣、單位矩陣均為自伴隨矩陣；</p><p>　?。?）兩自伴隨矩陣

26、之積為自伴隨矩陣的充要條件是兩矩陣可交換；</p><p>　　（3） 若為自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣；</p><p>　?。?）若為非奇異自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣；</p><p>　?。?）若為自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣.</p><p>　　對(duì)定理3.7有如下兩個(gè)推論：</p><p>　　推論1 為

27、自伴隨矩陣，若不是可逆的，則.</p><p>　　證明 為n階自伴隨矩陣，</p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　若，則，所以；</b></p><p><b>　　若，則.</b></p><

28、;p><b>　　由，</b></p><p><b>　　可得，所以.</b></p><p>　　下證這種情況不可能出現(xiàn)</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可設(shè)其中，，</b></p><p&

29、gt;　　由為自伴隨矩陣，所以，而</p><p>　　得，但不同時(shí)為零，不同時(shí)為零，此方程無(wú)解，所以這種情況不可能出現(xiàn)，因此結(jié)論成立.</p><p>　　推論2 行列式值為1的方陣為自伴隨矩陣的充要條件是為自逆矩陣，即.</p><p>　　定理3.8 為可逆矩陣的充要條件是為可逆矩陣.</p><p>　　證明 為可逆充要條件是，

30、由上文知，</p><p>　　即充要條件是可逆，而且.</p><p>　　定理3.9 為正定矩陣的充要條件是亦然.</p><p>　　證明 因?yàn)檎ǔ湟獥l件是存在可逆矩陣，</p><p><b>　　使，</b></p><p><b>　　，</b></p

31、><p><b>　　令可得可逆，而且，</b></p><p>　　因而正定的充要條件是也正定.</p><p>　　對(duì)定理3.9有如下推論：</p><p>　　推論 若是半正定矩陣，那么也是半正定矩陣.</p><p>　　證明 設(shè)為半正定，知是對(duì)稱矩陣，下面分3種情況：</p>

32、<p>　?、。┤绻?，那么正定，由定理3.9顯然成立.</p><p>　?、ⅲ┤绻敲?，顯然是半正定矩陣.</p><p>　?、＃┤绻?，由于是半正定，所以的一階主子式,，即的元素的代數(shù)余子式必大于或等于0，且至少有一個(gè)大于0（否則如果每個(gè)都等于0，由和的對(duì)稱性知，至少有一個(gè)二階子式不等于0，這與矛盾.）</p><p><b>　　不

33、妨設(shè)，</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　那么半正定，于是半正定.</p><p>　　定理3.10 若為冪零陣，則亦為冪零陣.若為冪么陣（即），則也為冪么陣.</p><p>　　證明 若為冪零陣，則存在使則；</p><p>　　若為冪么陣，則

34、存在使，則.</p><p>　　定理3.11 （1）與等價(jià)，則與等價(jià)；</p><p>　?。?）與合同，則與合同；</p><p>　?。?）與相似，則與相似.</p><p>　　4 伴隨矩陣性質(zhì)的應(yīng)用</p><p>　　定理4.1 若之秩為，且，則，其中均為階可逆陣.</p><p&g

35、t;　　證：因?yàn)?，兩邊取伴隨矩陣得，，，由此得，若，且經(jīng)過(guò)一系列變化為，即存在初等陣，使得，令，則由此話為，列初等變化依反次序作為化，顯然計(jì)算量少很多.</p><p><b>　　求矩陣之伴隨矩陣.</b></p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　即 .</b><

36、/p><p><b>　　由定理得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理4.2 階方程的各行元素和，各列元素和

37、都等于零，則</p><p><b>　　其中為常數(shù).</b></p><p>　?。▍⒁?jiàn)朱鳳娟的《伴隨矩陣的性質(zhì)》）</p><p><b>　　例2 </b></p><p><b>　　已知，求.</b></p><p><b>　　解

38、</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由上述定理4.2知.</p><p>　　定理4.3 設(shè)階方陣是可逆的，那么可表示為的多項(xiàng)式.</p><p>　　證明 的特征多項(xiàng)式為，因可逆，</p><p>　　所以，由哈密爾頓—?jiǎng)P萊定理知，即</p

39、><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故，</b></p><p><b>　　右乘，得，</b></p><p><b>　　故.</b></p><p><b>　　例3 </b>&l

40、t;/p><p>　　已知，求矩陣的伴隨矩陣 .</p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　矩陣的特征多項(xiàng)式，</b></p><p>　　因，所以矩陣可逆.由定理4.4得，</p><p><b>　　.</b></p>

41、;<p>　　定理4.4 ①設(shè)是級(jí)矩陣，為的個(gè)特征根，則的伴隨矩陣的個(gè)特征根為，，.（參見(jiàn)譚志松的《伴隨矩陣的特征根》）</p><p>　　②只有一個(gè)非零特征根的充要條件是的個(gè)特征根中恰有一個(gè)為零，且這時(shí)的非零特征根為的個(gè)非零特征根之積.</p><p><b>　　例4 </b></p><p>　　已知，求的伴隨矩陣的特

42、征值.</p><p>　　解 的特征值為，，，由為正交矩陣且為對(duì)角陣.</p><p>　　的特征值為，，，，，</p><p><b>　　推論 ，，則.</b></p><p><b>　　例5</b></p><p><b>　　已知</b>

43、</p><p><b>　　解</b></p><p>　　所以的特征根為的非零特征根之積.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 北大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室前代數(shù)小組編. 高等代數(shù)(第三版) [ M] . 北京: 高等教育出版社, 2003；</p&g

44、t;<p>　　[2] 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣[ M] . 北京: 清華大學(xué)出版社. 2001- 01；</p><p>　　[3] 張遠(yuǎn)達(dá).線性代數(shù)原理. 上海: 上海教育出版社, 1980；</p><p>　　[4] 許以超.代數(shù)學(xué)引論. 上海: 上海科技出版社, 1983；</p><p>　　[5] 謝幫杰.線性代數(shù). 人民教育出版社,

45、 1978 年；</p><p>　　[6] 王蓮花，田立平.伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用.2006年9月第15卷第3期；</p><p>　　[7]楊聞起.伴隨矩陣的性質(zhì).寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2003年3月第23卷第1期；</p><p>　　[8]楊直中.伴隨矩陣的性質(zhì)及其證明.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1988年6月第8卷第2期；</p><p>　　

46、[9]譚志松.伴隨矩陣的特征根.施恩師專學(xué)報(bào) 1982年第二期；</p><p>　　[10]朱文娟.伴隨矩陣的性質(zhì).錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào)）1998年第二期.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先真誠(chéng)地感謝指導(dǎo)教師***老師對(duì)我在撰寫(xiě)論文過(guò)程中的支持、指導(dǎo)和教誨.</p><p>

47、;　　我的畢業(yè)論文是在*老師的悉心指導(dǎo)下完成的.在撰寫(xiě)論文期間，*老師多次詢問(wèn)我論文的研究進(jìn)程，多次不厭其煩的為我修改論文并為我指點(diǎn)迷津，多次幫助我突破難題、幫助我開(kāi)拓研究思路，精心點(diǎn)撥、熱忱鼓勵(lì)，正是因?yàn)檫@些，我才克服了一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑，直至論文的順利完成.*老師一絲不茍的作風(fēng)、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度、淵博的知識(shí)、活躍的學(xué)術(shù)思想、執(zhí)著的科研精神及高尚的做人原則對(duì)我將是永遠(yuǎn)的鞭策.他不僅授我以文，而且教我做人.所有這一切都將成為我受益終

48、生的寶貴財(cái)富﹗在此，謹(jǐn)向*老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意. </p><p>　　同時(shí)，還要感謝同組的指導(dǎo)教師在開(kāi)題答辯中對(duì)我的幫助.</p><p>　　還要感謝我的學(xué)友和朋友們對(duì)我在論文寫(xiě)作過(guò)程中的支持和幫助.</p><p>　　The Properties of the Adjoint Matrix and Its Application</p>

49、<p>　　Abstract As a special matrix, the adjoint matrix has many unique properties in higher algebra which has so many applications to some extents in theory and practice as well as positive-definite matrix and o

50、rthogonal matrix. Firstly, this article mainly talks about many unique properties of the adjoint matrix .Secondly， this paper does many researches and summaries on some special matrix, for example upper triangular matrix