數(shù)學(xué)畢業(yè)論文---常見(jiàn)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、<p><b>　　目錄</b></p><p>　　第一章：緒論------------------------------------------------------------------- 3</p><p>　　1.1 隨機(jī)變量-----------------------------------------------------------

2、-------------------3</p><p>　　1.2 離散型隨機(jī)變量及其分布---------------------------------------------------------3</p><p>　　1.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布---------------------------------------------------------4</p&g

3、t;<p>　　第二章：常見(jiàn)離散型分布及其應(yīng)用-----------------------------------------4</p><p>　　2.1 0-1分布及其應(yīng)用---------------------------------------------------------------- ----4</p><p>　　2.2 幾何分布及其應(yīng)用-------

4、------------------------------------------------------------5</p><p>　　2.3 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-------------------------------------------------------------------6</p><p>　　2.4 泊松分布及其應(yīng)用---------------------

5、----------------------------------------------7</p><p>　　第三章：常見(jiàn)連續(xù)型分布及其應(yīng)用-----------------------------------------11</p><p>　　3.1 均勻分布及其應(yīng)用---------------------------------------------------------

6、--------11</p><p>　　3.2 指數(shù)分布及其應(yīng)用-----------------------------------------------------------------12</p><p>　　3.3 正態(tài)分布及其應(yīng)用-----------------------------------------------------------------13</p

7、><p>　　參考文獻(xiàn)------------------------------------------------------------------------23</p><p>　　常見(jiàn)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用 </p><p>　　摘 要：在概率論領(lǐng)域里，我們研究的概率分布大體分為兩種：離散型概率分布和連續(xù)性概率分布。常見(jiàn)的離散型的概率分布有四種--兩點(diǎn)分布或（

8、0-1）分布， 幾何分布，二項(xiàng)分布以及泊松分布。而常見(jiàn)的連續(xù)性概率分布有三種--均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布。這七種常見(jiàn)的概率分布使我們學(xué)習(xí)概率論的最基本最常見(jiàn)的分布。而這七種分布之間也有相互的聯(lián)系。兩點(diǎn)分布即是一種特殊的二項(xiàng)分布；二項(xiàng)分布在n趨向 時(shí)近似泊松分布；泊松分布和二項(xiàng)分布在n趨向 時(shí)也服從正態(tài)分布。這七種概率分布因其基礎(chǔ)性與常見(jiàn)性，因而在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，特別是工程，醫(yī)藥，財(cái)經(jīng)等領(lǐng)域。</p><p&g

9、t;　　本文先是介紹了一些基本的概率知識(shí)，用集合的方法定義一些概率的概念。然后介紹兩大類概念分布--離散型概率分布和連續(xù)性概率分布。緊接著著重學(xué)習(xí)研究了上面提到的七種概率分布：（0-1）分布，幾何分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布及其應(yīng)用。而正態(tài)分布又是我們最為常見(jiàn)研究最多應(yīng)用最為廣泛的概率分布。</p><p>　　關(guān)鍵詞：離散型概率分布；連續(xù)性概率分布；(0-1）分布；幾何分布；二項(xiàng)分布；

10、泊松分布；均勻分布；指數(shù)分布；正態(tài)分布；</p><p>　　The quality and application of common probability distribution</p><p>　　Abstract： The distributions which we study in the fields of possibility apparently classify

11、as two rates: The discrete distribution and continuous distribution. While two-points distribution or (0-1) distribution, geometric distribution, binominal distribution and poisson distribution are the common four kinds

12、of discrete distributions. And the uniform distribution ,exponential distribution and normal distribution are the common three kinds of continuous distributions .These seven types of distr</p><p>　　We introd

13、uce some basic knowledges of possibility firstly, define some concepts of possibility with the methods of set. And then we introduce the two types of possibility distribution—discrete distribution and continuous distribu

14、tion. Lastly, we focus on the study of the seven kinds of distributions discussed above. And the normal distribution is the distribution we study and applied mostly,and also the most commom one. </p><p>　　Ke

15、y words : Discrete Distribution；Continuous Distribution; Two-points Distribution; Geometric Distribution; Binomial Distribution; Poisson Distribution; Uniform Distribution; Exponential Distribution; Normal Distribution.

16、 </p><p><b>　　緒論</b></p><p><b>　　1.1隨機(jī)變量</b></p><p>　　在概率論領(lǐng)域里，我們應(yīng)用集合的相關(guān)知識(shí)來(lái)定義隨機(jī)變量。首先對(duì)一些隨機(jī)試驗(yàn)，它們的結(jié)果可以用數(shù)來(lái)表示。我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S，樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本

17、點(diǎn)。</p><p>　　定義1.1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,集合{e︱X(e)≤x}有確定的概率。稱X=X(e)為隨機(jī)變量。</p><p>　　由此可知，隨機(jī)變量不過(guò)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果即樣本點(diǎn)和是實(shí)驗(yàn)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。這與數(shù)學(xué)分析中熟知的“函數(shù)”概念本質(zhì)是一回事。只不過(guò)在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量是實(shí)數(shù)x，而在

18、隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量X(w)的自變量是樣本點(diǎn)w.因?yàn)閷?duì)每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果w，都有實(shí)數(shù)X（w）與之對(duì)應(yīng)，所以X（w）的定義域是樣本空間Ω，值域即實(shí)數(shù)軸。</p><p>　　1.2離散型隨機(jī)變量及其分布</p><p>　　本節(jié)我們先介紹離散型隨便變量及其分布。</p><p>　　定義1.2 定義在樣本空間Ω上，取值于實(shí)數(shù)域上R,且之取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量X

19、=X(w)，稱作是一維（實(shí)值）離散型隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱為離散型隨機(jī)變量。</p><p>　　設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能值為Xk(k=1,2,…),X取各個(gè)可能值的概率，即事件{X=Xk}的概率，為P{X=Xk}=Pk，k=1,2,… (2.2)</p><p>　　由概率的定義，Pk滿足如下兩個(gè)條件：</p><p>　　P

20、k≥0,k=1,2,…</p><p>　　(2) k=1</p><p>　　我們稱（2.2）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。分布律也可以用表格的形式來(lái)表示：</p><p>　　常見(jiàn)的較重要的離散型隨機(jī)變量有四種：（0-1）分布，幾何分布，二項(xiàng)分布，泊松分布。我們將在下章詳盡介紹。</p><p>　　定義2.2 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變

21、量，X是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F（x）=P{X≤x},</p><p>　　-∞＜x＜∞。稱為X的分布函數(shù)。對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2),有P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)。如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù) </p><p>　　F（x）在X處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間（-∞，x】上的概率。</p><p>　　分布函數(shù)F(x)

22、具有以下的基本性質(zhì)：</p><p>　　F(x)是一個(gè)不減函數(shù)，事實(shí)上，易知對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)有F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0</p><p>　　(2) 0≤F(x)≤1, 且F(-∞)= =0</p><p><b>　　F(∞)= =1</b></p><p>

23、　　1.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布</p><p>　　在上節(jié)中，已經(jīng)對(duì)離散型隨機(jī)變量作了一些介紹，下面接著介紹另一種隨機(jī)變量—連續(xù)型隨機(jī)變量。</p><p>　　定義3.1 若X（w）是隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)P（x），使對(duì)任意的x有 F（x）= dy</p><p>　　則稱X（w）為連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的F(x)為連續(xù)型分布函數(shù)，同

24、時(shí)稱P(x)是F（x）的概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱密度。</p><p>　　由分布函數(shù)的性質(zhì)即可驗(yàn)證任一連續(xù)型分布的密度函數(shù)P（x）必具有下述性質(zhì)：（1）P（x）≥0;</p><p><b>　　(2) dx=1。</b></p><p>　　反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)R上的函數(shù)P（x），如果具有以上兩個(gè)性質(zhì)，即可定義一個(gè)分布函數(shù)F(x)。</p>

25、;<p>　　常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量有三種：均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布。我們將在第三章著重研究。</p><p>　　常見(jiàn)離散型分布及其應(yīng)用</p><p>　　2.1 （0-1）分布及其應(yīng)用</p><p>　　設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是</p><p>　　P{X=k}=pk*(1-p)1-k,k=0,1

26、 (0<p<1)，</p><p>　　則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布或兩點(diǎn)分布（two-point distribution）。</p><p>　　分布的分布律也可以寫成</p><p>　　對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即S={e1,e2},我們總能再S上定義一個(gè)服從（0-1）分布的隨機(jī)變量</p>&l

27、t;p><b>　　X=X(e)= </b></p><p>　　來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。</p><p>　?。?-1）分布的數(shù)學(xué)期望即為p,其方差為p*(1-p)。</p><p>　　分布在生活中有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能有多個(gè)結(jié)果。例如，在產(chǎn)品質(zhì)量檢查中，若檢查

28、結(jié)果有四種：一級(jí)品，二級(jí)品，三級(jí)品和不合格品。但是，如果把前三種統(tǒng)稱為合格品，則實(shí)驗(yàn)結(jié)果就只有合格品和不合格品兩種了。于是，也可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)。又如，研究者記錄了某城市每月交通事故發(fā)生的次數(shù)，則它可能取的值為0,1,2…，這是無(wú)窮多個(gè)結(jié)果，但是，如果我們現(xiàn)在關(guān)心的問(wèn)題是每月發(fā)生交通事故的可能性，我們可以把觀測(cè)的結(jié)果分成“發(fā)生交通事故”和“不發(fā)生交通事故”兩種情況。于是就可用（0-1）分布來(lái)研究每月發(fā)生交通事故的可能性。所以對(duì)

29、任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)E，其結(jié)果都可以用（0-1）分布來(lái)描述。</p><p>　　此外，更一般的應(yīng)用如對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，某車間的電力消耗是否超過(guò)負(fù)荷以及前面多次討論過(guò)的“拋硬幣”試驗(yàn)等都可以用（0-1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述。（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。</p><p>　　2.2幾何分布及其應(yīng)用</p><p>　

30、　幾何分布（Geometric distribution）是離散型概率分布。其中一種定義為：在第n次伯努利試驗(yàn)，才得到第一次成功的機(jī)率。詳細(xì)的說(shuō)，是：n次伯努利試驗(yàn)，前n-1次皆失敗，第n次才成功的概率。 </p><p><b>　　公式： </b></p><p><b>　　它分兩種情況： </b></p><p>

31、　　1. 得到1次成功而進(jìn)行，n次伯努利實(shí)驗(yàn)，n的概率分布，取值范圍為『1，2，3，...』; </p><p>　　2. m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分布，取值范圍為『0，1，2，3，...』. </p><p>　　由兩種不同情況而得出的期望和方差如下： </p><p>　　E(n) = 1/p, var(n) = (1-p)/p^2; <

32、/p><p>　　E(m) = (1-p)/p, var(m) = (1-p)/p^2。 </p><p>　　概率為p的事件A，以X記A首次發(fā)生所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，則X的分布列： </p><p>　　P(X=k)=p*(1-p)^(k-1)，k=1,2,3,…… </p><p>　　具有這種分布列的隨機(jī)變量，稱為服從參數(shù)p的幾何分布。<

33、;/p><p>　　幾何分布的數(shù)學(xué)期望為1/p，其方差為（1-p）/p2.</p><p>　　幾何分布的應(yīng)用也比較常見(jiàn)，在工程學(xué)，保險(xiǎn)理財(cái)領(lǐng)域都有不少應(yīng)用。譬如，工程師在試圖掌握在繁忙時(shí)刻電話交換器不能有效處理所有電話的情況。非常清楚的，在撥通一個(gè)電話前所做的嘗試次數(shù)代表著成本。如果在撥通一個(gè)電話前要嘗試多次的概率很高，這個(gè)電話交換系統(tǒng)應(yīng)該被改進(jìn)。再有簡(jiǎn)單的例子：在一次投籃練習(xí)中。無(wú)論投多少

34、次籃，規(guī)定第一次投籃命中后練習(xí)結(jié)束。則投籃次數(shù)就符合幾何分布。</p><p>　　再例如，中國(guó)人口眾多、文化素質(zhì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展很不平衡，從七十年代開(kāi)始逐步實(shí)施計(jì)劃生育，稍后又為更有效控制人口數(shù)量，采取了一對(duì)夫婦只生一個(gè)孩子的生育政策。而且，優(yōu)生優(yōu)育同時(shí)推廣，這對(duì)控制人口數(shù)量、提高人口素質(zhì)、促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，確實(shí)起到了效果。</p><p>　　但是，“一對(duì)夫婦只生一個(gè)孩子”的生育政策，并不是在全

35、國(guó)范圍的任何地方都能不折不扣的實(shí)施，例如，在農(nóng)村尤其是偏遠(yuǎn)地區(qū)和經(jīng)濟(jì)落后地區(qū)，人們“傳宗接代”、“多子多?！?、“早生兒子早享福”等觀念意識(shí)還很強(qiáng)，一對(duì)夫婦一定要生個(gè)兒子才肯罷休的現(xiàn)象并不少見(jiàn)；再如，出于“人道”的考慮，假如一對(duì)夫婦生了一個(gè)病孩，則也同意他們?cè)偕粋€(gè)，而如果第二個(gè)仍是病孩，還有可能同意生育第三胎，……，是否會(huì)一直到生一個(gè)健康孩子為止。</p><p>　　前者是指要生兒子，后者是指要生健康的孩子，如

36、果我們特別考慮這樣的一種生育模式：即一對(duì)夫婦生育孩子 ，一直到生育一個(gè)兒子(或健康的孩子)才停止生育(簡(jiǎn)稱這種生育方式為“無(wú)限生育模式”)，從概率統(tǒng)計(jì)的角度看，顯然生兒子和生健康孩子是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，但都是幾何分布的問(wèn)題。</p><p>　　2.3 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用</p><p>　　在每次試驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果，A和A ，而且是互相對(duì)立的，是獨(dú)立的，與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無(wú)關(guān)，結(jié)果

37、事件發(fā)生的概率在整個(gè)系列試驗(yàn)中保持不變，則這一系列試驗(yàn)稱為伯努力試驗(yàn)（Bernoulli Experiment）。</p><p>　　二項(xiàng)分布（Binomial Distribution），即重復(fù)n次的伯努利試驗(yàn)， </p><p>　　用ξ表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。 </p><p>　　如果事件發(fā)生的概率是P,則不發(fā)生的概率q=1-p，N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生K次的概

38、率是 </p><p>　　P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 其中C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!) </p><p>　　注意！:第二個(gè)等號(hào)后面的括號(hào)里的是上標(biāo)，表示的是方冪。 </p><p>　　那么就說(shuō)這個(gè)屬于二項(xiàng)分布。. </p><p>　　其中P稱為成功概率。 </p

39、><p>　　記作ξ~B(n,p) </p><p><b>　　期望：Eξ=np </b></p><p>　　方差:Dξ=npq </p><p><b>　　如果 </b></p><p>　　1．在每次試驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果，而且是互相對(duì)立的； </p>

40、<p>　　2．每次實(shí)驗(yàn)是獨(dú)立的,與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無(wú)關(guān); </p><p>　　3．結(jié)果事件發(fā)生的概率在整個(gè)系列試驗(yàn)中保持不變，則這一系列試驗(yàn)稱為伯努力試驗(yàn)。 </p><p>　　在這試驗(yàn)中,事件發(fā)生的次數(shù)為一隨機(jī)事件，它服從二次分布.二項(xiàng)分布可以用于可靠性試驗(yàn)?？煽啃栽囼?yàn)常常是投入n個(gè)相同的式樣進(jìn)行試驗(yàn)T小時(shí),而只允許k個(gè)式樣失敗，應(yīng)用二項(xiàng)分布可以得到通過(guò)試驗(yàn)的概率. &l

41、t;/p><p>　　若某事件概率為p，現(xiàn)重復(fù)試驗(yàn)n次，該事件發(fā)生k次的概率為：P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，C(k,n)表示組合數(shù)，即從n個(gè)事物中拿出k個(gè)的方法數(shù)。</p><p>　　二項(xiàng)分布實(shí)驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，它有廣泛的應(yīng)用，是研究最多的模型之一。</p><p>　　例如在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，有一些隨機(jī)事件是只具有兩種互斥

42、結(jié)果的離散型隨機(jī)事件，稱為二項(xiàng)分類變量（dichotomous variable），如對(duì)病人治療結(jié)果的有效與無(wú)效，某種化驗(yàn)結(jié)果的陽(yáng)性與陰性，接觸某傳染源的感染與未感染等。二項(xiàng)分布就是對(duì)這類只具有兩種互斥結(jié)果的離散型隨機(jī)事件的規(guī)律性進(jìn)行描述的一種概率分布。 </p><p>　　考慮只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，當(dāng)成功的概率（π）是恒定的，且各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，這種試驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為伯努利試驗(yàn)。如果進(jìn)行n次貝努里試驗(yàn)，

43、取得成功次數(shù)為X（X=0,1,…，n）的概率可用下面的二項(xiàng)分布概率公式來(lái)描述： </p><p>　　P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) </p><p>　　式中的n為獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)次數(shù)，π為成功的概率，（1-π）為失敗的概率，X為在n次貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，表示在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)X的各種組合情況，在此稱為二項(xiàng)系數(shù)（binomial coefficient）。 <

44、;/p><p>　　所以含義為：含量為n的樣本中，恰好有例陽(yáng)性數(shù)的概率。</p><p>　　類似的應(yīng)用還有很多，二項(xiàng)分布即是n重伯努力試驗(yàn)，是從現(xiàn)實(shí)世界許多的隨機(jī)現(xiàn)象中抽象出來(lái)的一種很基本的概率模型。例如，在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)中，若檢查的結(jié)果分為合格和不合格兩種，因?yàn)槊考a(chǎn)品是否合格是相互沒(méi)有影響的，于是，檢查n件產(chǎn)品就是n重伯努力試驗(yàn)即二項(xiàng)分布。</p><p>　　又如

45、，人壽保險(xiǎn)公司做人壽保險(xiǎn)，一種最簡(jiǎn)單的情況是，只有受保護(hù)人當(dāng)年死亡，保險(xiǎn)公司才付給受保家庭一定的賠償金。這樣，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)（即觀察受保人在一年中是否死亡）只有兩個(gè)結(jié)果：“受保人死亡”和“受保人未死亡”。每個(gè)受保人是否死亡都是相互獨(dú)立的，于是，n個(gè)人受保問(wèn)題就是一個(gè)二項(xiàng)分布問(wèn)題。類似的例子還有很多。</p><p>　　另外，我們可以看出，我們上節(jié)研究的（0-1）分布就是一種特殊的二項(xiàng)分布。即一次伯努利實(shí)驗(yàn)，X~B

46、（1，p）。</p><p>　　二項(xiàng)分布圖像的形狀取決于n和p的大小，當(dāng)p接近0.5時(shí)，圖形是對(duì)稱的；p離0.5愈遠(yuǎn)，對(duì)稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對(duì)稱。當(dāng)n→∞時(shí)，只要p不太靠近0或1，特別是當(dāng)nP和n(1－P)都大于5時(shí)，二項(xiàng)分布近似于我們將在下章學(xué)習(xí)的正態(tài)分布。</p><p>　　2.4 泊松分布及其應(yīng)用</p><p>　　二項(xiàng)分布是離散型機(jī)率模型

47、中最有名的一個(gè)，其次是泊松分布（poisson distribution），它可以看成為二項(xiàng)分布的一種極限情形。 </p><p>　　假定某機(jī)關(guān)的總機(jī)在一個(gè)短時(shí)間△t內(nèi)會(huì)接到一次電話的機(jī)率 p 與△t成正比：P=α*△t，α 為一常數(shù)。又假定在此短時(shí)間內(nèi)接到多于一次電話的機(jī)率微乎其微,可以略去不計(jì)。那么在時(shí)間 t 內(nèi)，會(huì)接到 x 次電話

48、的機(jī)率分布為何？ </p><p>　　我們可以把 t 分成 n 小段，每小段長(zhǎng)為△t=t/n。整個(gè)問(wèn)題可看成為：在每個(gè)△t 時(shí)間內(nèi)，我們做了一次試驗(yàn)，其成功（接到電話）的機(jī)率為 p。如此做了n 次，那么成功了 x 次的機(jī)率為何？所以我們要的機(jī)率分布正是二項(xiàng)分布</p><p>　　b(x;n,p)。令λ=n=np，則 </p><p>

49、;　　b(x;n,p)=n!/x!(n-x)!*px(1-p)n-x</p><p>　　=n(n-1)(n-2)…(n-x+1)/x!*(λ/n)x(1-λ/n)n-x</p><p>　　=(1-1/n)(1-2/n)…(1-(x-1)/n)/x!*λx[(1-λ/n)-n/λ]-λ(1-λ/n)-x</p><p>　　當(dāng) t 保持不變（亦即 λ 不變），而讓

50、n→∞(4t→0)則 </p><p>　　(1-1/n)(1-2/n)…(1-(x-1)/n)→1</p><p>　　(1-λ/n)-λ/n→e</p><p>　　(1-λ/n)-x →1</p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　B(x;n,p)→e-λ*λx/x!（

51、以P(x;λ)表之，此處的 p 代表 Poisson） </p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p>　　∑p(x;λ)=e-λ*∑λx/x!=e-λeλ=1</p><p>　　所以P(x;λ)的確是個(gè)機(jī)率分布（各種可能的機(jī)率之和等于 1）。 這就是說(shuō)，在時(shí)間 t 內(nèi)，接到 x 次電話的機(jī)率為P(x;λ)。這是以 λ 為參數(shù)的

52、 poisson 分布，而 λ(=аt)是在時(shí)間 t 內(nèi)所期望接到的電話數(shù)。</p><p>　　poisson 分布的公式為 P{x;λ}=e-λ*λx/x!</p><p>　　發(fā)現(xiàn)poisson分布的Bortkiewicz先生 舉了一個(gè)至今仍是膾炙人口的例子，說(shuō)明數(shù)據(jù)契合 Poisson 分布的情形。從1875到1894年的20年間，德國(guó)的十四個(gè)軍團(tuán)部有士兵被馬踢傷因而致死的人數(shù)紀(jì)錄

53、。這 20×l4 = 280個(gè)（團(tuán)年）紀(jì)錄，按死亡人數(shù)來(lái)分，則如表一的左二欄所示。</p><p>　　在280個(gè)紀(jì)錄中，死亡的人數(shù)共有196，因此致死率為=196/280=0.7（人/團(tuán)年）。我們就以此 為 Poisson 分布中的常數(shù)，t=1 年，則 。理想中每團(tuán)每年死亡人數(shù) x 要遵行 Poisson 分布 p(x;0.7)。表一中右欄就是根據(jù)這樣的 Poisson 分布，把280團(tuán)年該有 x

54、人死亡的團(tuán)年數(shù)列出。它和表一的中間一欄的數(shù)據(jù)的確相當(dāng)吻合。 </p><p>　　Poisson 分布既然是二項(xiàng)分布的極限情形，反過(guò)來(lái) Poisson 分布也可以做為二項(xiàng)分布的近似值。譬如 p=0.04,n=49，則λ=1.96。我們把 b(x;49,0.04) 與 p(x;1.96) 之值相對(duì)照就得表二 </p><p>　　我們發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的值相當(dāng)接近。一般，若用列表方式，則二項(xiàng)分布 b(

55、x;n,p) 要兼顧三個(gè)變數(shù) x,n,p，而 Poisson 只要兩個(gè)：x,λ，所以較為方便。若直接計(jì)算，則因 </p><p>　　b(x;49,0.04)=Cx49(0.04)x(0.96)49-x </p><p>　　所以二項(xiàng)分布算起來(lái)相當(dāng)費(fèi)事。另一方面P{x;λ}之值可用遞歸方法迅速求得：P(x+1;λ)/P(x;λ)=λ/x+1或P(x+1;λ)=P(x;λ)*λ/x+1；而P

56、(0;λ)=1/e可由指數(shù)表中查得。因此只要情況適合，我們當(dāng)然就舍二項(xiàng)分布而就 Poisson 分布了。 </p><p>　　通常只要 n 很大，p 很小，λ=np不大不小而且是個(gè)已知定數(shù)，Poisson 分布就可以代替二項(xiàng)分布了，譬如某商店每星期進(jìn)進(jìn)出出的客人很多（=n），但每個(gè)客人買魚(yú)子醬的機(jī)率很?。?p），只知道平均一星期賣出兩罐：λ=np=2。那么這家商店每星期開(kāi)始時(shí)應(yīng)有幾罐魚(yú)子醬的庫(kù)存？當(dāng)然不能只有兩

57、罐，因?yàn)槠骄鶜w平均，售量超過(guò)平均數(shù)的機(jī)率很大。當(dāng)然庫(kù)存太多也會(huì)影響整個(gè)商店的運(yùn)作。根據(jù) Poisson 分布 p(x;2)，我們算得表三： </p><p>　　由表三可知售量達(dá)到 5 罐以上的機(jī)率只有 5.3%，而達(dá)到 6 罐以上則只有 1.7%。所以合理的庫(kù)存量為 4 罐（平均19星期才會(huì)有一次缺貨），如果怕萬(wàn)一，那么 5 罐就非常保險(xiǎn)（平均59星期才會(huì)有一次缺貨）。 </p><p>

58、;　　我們從另一個(gè)角度來(lái)看上面的數(shù)據(jù)。假設(shè)某工廠每做100個(gè)螺絲釘，平均會(huì)有兩個(gè)不合規(guī)格，而這是合理的不合格率。根據(jù) Poisson 分布，偶而出現(xiàn) 3 個(gè)或 4 個(gè)不合規(guī)格的螺絲釘也是正常的現(xiàn)象。但是如果出現(xiàn)的頻率太高，或出現(xiàn) 5 個(gè)以上的不合規(guī)格的螺絲釘，那么生產(chǎn)過(guò)程就可能出了問(wèn)題。Poisson 分布是質(zhì)量管理的利器，它可以幫助我們決定生產(chǎn)過(guò)程是否出了毛病。 </p><p>　　Poisson 分布還有種

59、種的用途：放射性物質(zhì)的蛻變、細(xì)胞間因受 X 光照射而引起的染色體交換次數(shù)、細(xì)菌和血球的計(jì)數(shù)、交通事故數(shù)及死亡率等等莫不遵行 Poisson 分布。其實(shí)，無(wú)論在自然科學(xué)、在工業(yè)、在農(nóng)業(yè)、在商業(yè)、在醫(yī)藥、在交通、在社會(huì)或在軍事上，無(wú)不可找到 Poisson 分布的應(yīng)用。 </p><p>　　和二項(xiàng)分布一樣，我們也可以從理論方面來(lái)探討 Poisson 分布的期望值 μ 及方差 。由P{x;λ}=e-λ*λx/x!，我

60、們馬上算得 </p><p>　　μ=∑xp(x;λ)=λe-λeλ=λ</p><p>　　σ2=∑(x-λ)2p(x;λ)= λ</p><p>　　所以 Poisson 分布的確是以 λ 為期望值。 </p><p>　　在〈二項(xiàng)分布與大數(shù)法則〉（《科學(xué)月刊》第十六卷第六期）一文中，我們?cè)鴮?dǎo)出二項(xiàng)分布的 Chebyshev 不等式 &l

61、t;/p><p>　　P{x/n-﹥}≤2/n2*2</p><p>　　如果把二項(xiàng)分布換成 Poisson 分布或任何離散型分布，不等式也照樣成立，因?yàn)樵趯?dǎo)出不等式的過(guò)程中只用到 b(x;n,p) 是種機(jī)率分布這件事，并沒(méi)有用到 b(x;n,p) 之值。現(xiàn)在既然知道 Poisson 分布的 （=λ）是個(gè)（與 n 無(wú)關(guān)的）定值，所以我們也可以得到關(guān)于 Poisson 分布的大數(shù)法則： <

62、/p><p><b>　　=0</b></p><p>　　亦即：在 Poisson 分布的機(jī)率模型假定之下，只要試驗(yàn)的次數(shù) n 夠大，則事件發(fā)生的次數(shù)比x/n，從機(jī)率的觀點(diǎn)來(lái)看，就會(huì)很接近期望值 λ。 </p><p>　　著名的poisson定理中：在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為pn（與實(shí)驗(yàn)總數(shù)n無(wú)關(guān)），如果當(dāng)n→∞是，np

63、n→λ(λ﹥0常數(shù))，則有</p><p>　　= e-λ*λk/k!，k=0,1,2…</p><p>　　此定理給出了近似計(jì)算二項(xiàng)分布的方法，與上面我們給出的證明一致。</p><p>　　第三章：常見(jiàn)連續(xù)型分布及其應(yīng)用</p><p>　　3.1 均勻分布及其應(yīng)用</p><p>　　本章我們主要研究常見(jiàn)連續(xù)型的

64、概率分布。</p><p>　　若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度 </p><p><b>　　f(x)= </b></p><p>　　則稱X在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布(uniform distribution)。記為X～U（a,b）。</p><p>　　易知f(x)≥0，且 。</p><p

65、>　　均勻分布的數(shù)學(xué)期望為（a+b）/2，其方差為（b-a）2/12。</p><p>　　在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量X，具有以下意義的等可能性，即它落在區(qū)間（a,b）中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。或者說(shuō)它落在（a,b）的子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。事實(shí)上，對(duì)于任一長(zhǎng)度l的子區(qū)間（c,c+l）,a≤c﹤c+l≤b，有</p><p>

66、;　　P{C＜X≤c+l}= = =l/(b-a)。</p><p>　　故可得X的分布函數(shù)為</p><p><b>　　F（x）= </b></p><p>　　均勻分布無(wú)論在理論上，還是在應(yīng)用中都是非常有用的一種分布。例如，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，對(duì)末位數(shù)字要進(jìn)行“四舍五入”，譬如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面第一位進(jìn)行四舍五入時(shí)，那么一般認(rèn)為舍入誤差服從區(qū)間

67、（-0.5,0.5）上的均勻分布；又如，當(dāng)我們對(duì)取值在某一區(qū)間[a,b]上的隨機(jī)變量X的分布一無(wú)所知時(shí)，我們通常先假設(shè)它服從U[a,b]等等。 </p><p>　　3.2 指數(shù)分布及其應(yīng)用</p><p>　　若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為</p><p><b>　　f(x)= </b></p><p>　　其中 ﹥

68、0,為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布（Exponential distribution）。</p><p>　　易知f(x)≥0，且 =1。且其分布函數(shù)為</p><p><b>　　F（x）= </b></p><p>　　指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為1/ ，其方差為1/ 2。</p><p>　　服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X

69、具有以下有趣的性質(zhì)：</p><p>　　對(duì)于任何s,t>0,有P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}。</p><p>　　事實(shí)上，P{X>s+t∣X>s}=P{(X>s+t)∩(X>s)}/P{X>s}</p><p>　　=P{X>s+t}/P{X>s}={1-F(s+t)}/{1-F(s)}=

70、 / </p><p>　　= =P{X>t}。</p><p>　　這個(gè)性質(zhì)被稱為無(wú)記憶性。如果X是某一元件的壽命，那么無(wú)記憶性表明：已知元件已使用了了s小時(shí)，它總共能使用至少s+t小時(shí)的條件概率，與從開(kāi)始使用時(shí)算起它至少能使用t小時(shí)的概率相等。這即是說(shuō)，元件對(duì)它已使用過(guò)s小時(shí)沒(méi)有記憶。具有這一性質(zhì)是指數(shù)分布有廣泛應(yīng)用的重要原因。</p><p>　　指數(shù)分

71、布常用來(lái)描述“壽命”類隨機(jī)變量的分布，例如家電使用壽命，動(dòng)植物壽命，電話問(wèn)題里的通話時(shí)間等等。 “壽命”類分布的方差非常大，以致于已經(jīng)使用的時(shí)間是可以忽略不計(jì)的。 例如有一種電池標(biāo)稱可以充放電500次（平均壽命），但實(shí)際上，很多充放電次數(shù)數(shù)倍于500次的電池仍然在正常使用，也用很多電池沒(méi)有使用幾次就壞了——這是正常的，不是廠方欺騙你，是因?yàn)榉讲钐蟮木壒?。隨機(jī)取一節(jié)電池，求它還能繼續(xù)使用300次的概率，我們認(rèn)為與這節(jié)電池是否使用過(guò)與

72、曾經(jīng)使用過(guò)多少次是沒(méi)有關(guān)系的。 有人戲稱服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量是“永遠(yuǎn)年輕的”，一個(gè)60歲的老人與一個(gè)剛出生的嬰兒，他們能夠再活十年的概率是相等的，你相信嗎？——如果人的壽命確實(shí)是服從指數(shù)分布的話，回答是肯定的。</p><p>　　指數(shù)分布在可靠性理論與排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用。如單位時(shí)間內(nèi)接到電話的呼喚次數(shù)、來(lái)到公共汽車站的乘客數(shù)、來(lái)到機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)等在數(shù)學(xué)（排隊(duì)論）中稱它們是“泊松流”。以機(jī)場(chǎng)跑道為例，在到

73、了一架飛機(jī)以后，這條跑道就空閑著等待下一架飛機(jī)的到來(lái)，這段空閑著的時(shí)間稱為“等待時(shí)間”，它的長(zhǎng)短是隨機(jī)的。在公共事業(yè)（公共汽車、飛機(jī)場(chǎng)等）的設(shè)計(jì)與規(guī)劃中，這個(gè)“等待時(shí)間”太長(zhǎng)或太短都是不合理的，因而有必要研究這個(gè)“等待時(shí)間”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。下面來(lái)說(shuō)明這個(gè)“等待時(shí)間”服從指數(shù)分布。</p><p>　　假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X服從參數(shù)為 的泊松分布，求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布。&l

74、t;/p><p>　　解： 當(dāng)t ﹤0時(shí)由于T是非負(fù)隨機(jī)變量，故</p><p>　　F（t）=P{T≤0}=0</p><p>　　當(dāng)t≥0時(shí)，由于事件{T＜t}(t長(zhǎng)度的時(shí)間間隔內(nèi)沒(méi)有發(fā)生故障)與事件{X=0}等價(jià)，故</p><p>　　F（t）=P{T≤t}=1-P{T＞t}=1-P{X=0}=1- </p><p&

75、gt;　　即 F(t)=P{T＜t}= </p><p>　　于是T服從參數(shù)為 的指數(shù)分布E（ ）。</p><p>　　即“等待時(shí)間”服從指數(shù)分布。</p><p>　　3.3 正態(tài)分布及其應(yīng)用</p><p>　　normal distribution 正態(tài)分布</p><p>　　1若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率

76、密度為 f(x)= / - ，其中 為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布 或高斯分布，記為X～N（ 2）</p><p>　　2 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來(lái)理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布。一般說(shuō)來(lái)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布。</p><p>　　3標(biāo)準(zhǔn)正

77、態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率 。    由于一般的正態(tài)總體 其圖像不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于任一正態(tài)總體 ，其取值小于x的概率 。只要會(huì)用它求正態(tài)總體 在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。 4正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為 2</p><p>　　其圖像特征為在均數(shù)處最高以均數(shù)為中心，兩端對(duì)稱永遠(yuǎn)不與x軸相交的鐘型曲線有兩個(gè)參數(shù)：

78、均數(shù)——位置參數(shù)，                     標(biāo)準(zhǔn)差——形狀（變異度）參數(shù)。正態(tài)曲線下的面積分布有一定規(guī)律正態(tài)分布具有可加性</p><p>　　5正態(tài)分布是具有兩個(gè)參數(shù)μ和σ^2的連續(xù)型隨機(jī)變量

79、的分布，第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)σ^2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(μ，σ^2 )。 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越??；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點(diǎn)是：關(guān)于μ對(duì)稱，在μ處達(dá)到最大值，在正（負(fù)）無(wú)窮遠(yuǎn)處取值為0，在μ±σ處有拐點(diǎn)。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。當(dāng)μ=

80、0，σ^2 =1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。μ維隨機(jī)向量具有類似的概率規(guī)律時(shí)，稱此隨機(jī)向量遵從多維正態(tài)分布。</p><p>　　6由中心極限定理我們可知：正態(tài)分布是二項(xiàng)分布，poisson分布的極限。</p><p>　　例如列維-林德伯格中心極限定理指出：設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…Xn…相互獨(dú)立同分布，且數(shù)學(xué)期望和方差存在：E（Xk）= ，D（Xk）= 2>0(k=1,

81、2,…),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有：</p><p><b>　　= </b></p><p>　　其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。</p><p>　　7正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長(zhǎng)度等指標(biāo)；同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo)；

82、同一種種子的重量；測(cè)量同一物體的誤差；彈著點(diǎn)沿某一方向的偏差；某個(gè)地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)量是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個(gè)量具有正態(tài)分布（見(jiàn)中心極限定理）。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì) ，許多概率分布可以用它來(lái)近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對(duì)數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等。 又例如在著名的期權(quán)定價(jià)公式Black-Scholes模型中

83、</p><p>　　期權(quán)現(xiàn)值公式為C=SN(d1)-E N(d2)。</p><p>　　其中d1=[ln(S/E)+(R+0.5 2)t]/ ，d2=d1- 。</p><p><b>　　S ：現(xiàn)行股價(jià)；</b></p><p>　　E：看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；</p><p>　　R：連續(xù)復(fù)利

84、計(jì)算的年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；</p><p>　?。汗善钡倪B續(xù)收益之方差（每年）；</p><p>　　t：至到期日的時(shí)間。</p><p><b>　　在此處鍵入公式。</b></p><p>　　使用到的正是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)N(x)。其中的N(d1)和N（d2）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量小于或等于d1或d2的累計(jì)概率。<

85、;/p><p>　　8 正態(tài)分布在哲學(xué)，醫(yī)學(xué)，心理學(xué)，教育學(xué)，企業(yè)管理乃至人際關(guān)系社會(huì)學(xué)等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　A 正態(tài)分布論（正態(tài)哲學(xué)）的主要內(nèi)涵：      在聯(lián)系自然、社會(huì)和思維的實(shí)踐背景下，我們以正態(tài)分布的本質(zhì)為基礎(chǔ)，以正態(tài)分布曲線及面積分布圖為表征（以后談及正態(tài)分布及正態(tài)分布論就要浮現(xiàn)此圖），進(jìn)行抽象與提升，抓

86、主其中的主要哲學(xué)內(nèi)涵，歸納正態(tài)分布論（正態(tài)哲學(xué)）的主要內(nèi)涵如下：     （1）、 正態(tài)分布整體論（靜態(tài)）      正態(tài)分布啟示我們，要用整體的觀點(diǎn)來(lái)看事物?！跋到y(tǒng)的整體觀念或總體觀念是系統(tǒng)概念的精髓?！?正態(tài)分布曲線及面積分布圖由基區(qū)、負(fù)區(qū)、正區(qū)三個(gè)區(qū)組成，各區(qū)比重不一樣。用整體來(lái)看事物才能看清楚事物的本來(lái)面貌，才能得出事物的根本

87、特性。不能只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，也不能以偏概全。此外整體大于部分之和，在分析各部分、各層次的基礎(chǔ)上，還要從整體看事物，這是因?yàn)檎w有不同于各部分的特點(diǎn)。用整體觀來(lái)看世界，就是要立足在基區(qū)，放眼負(fù)區(qū)和正區(qū)。要看到主要方面，還要看到次要方面，既要看到積極的方面還要看到事物消極的一面，看到事物前進(jìn)的一面還要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏態(tài)或者是變態(tài)的事物，不是真實(shí)的事物本身。     

88、 （2）、 正態(tài)分布重點(diǎn)論      正態(tài)分布曲線及面積</p><p>　　B 正態(tài)分布論在法學(xué)研究中的應(yīng)用      正態(tài)分布論是重要的哲學(xué)上的世界觀和方法論，在理論和實(shí)踐中有這廣泛的應(yīng)用。正態(tài)分布論在法學(xué)研究中的應(yīng)用主要是：      第一、法學(xué)研究要堅(jiān)

89、持系統(tǒng)整體的宏觀視野      正態(tài)分布整體論啟示我們要用宏觀系統(tǒng)整體的觀點(diǎn)和方法來(lái)從事法學(xué)研究。從宏觀和整體上看，法學(xué)研究總統(tǒng)上可以分為三部分：法（律）學(xué)理念的研究、法（律）學(xué)制度的研究、法（律）學(xué)實(shí)踐的研究，這三部分也實(shí)際上是法律文化的三個(gè)組成部分，這也對(duì)應(yīng)了應(yīng)然、法然和實(shí)然三層面。法學(xué)理念的研究主要是研究法的一些基本的理論，揭示法的發(fā)展規(guī)律；制度研究主要是研究具體的實(shí)在法或者說(shuō)是

90、制定法，實(shí)踐研究主要是研究法在現(xiàn)實(shí)中的具體運(yùn)作。應(yīng)然研究的是法律的理想狀態(tài)應(yīng)該是怎樣的，法然研究的是法律的具體規(guī)定是怎樣的，實(shí)然研究的是法律在實(shí)踐中的具體運(yùn)作。深刻認(rèn)識(shí)法學(xué)研究的三個(gè)層面及所處的具體層面、并貫通三個(gè)層面對(duì)法學(xué)研究具有非常重要的意義。從系統(tǒng)整體上分析，法學(xué)研究還要要進(jìn)行法律之內(nèi)、法律之上（法哲學(xué)）、還有法律之外的研究。對(duì)具體的部門法研也是如此，要進(jìn)行部門法哲學(xué)、部門法律的具體規(guī)定與實(shí)踐、部門法律與相關(guān)法律及</p&g

91、t;<p>　　C 正態(tài)分布——人格      人格(personality)或稱個(gè)性，是用來(lái)描述個(gè)體心理差異的，指?jìng)€(gè)體總的精神面貌，是人體心理特征的總和。由于人格差異，個(gè)體在各種不同的環(huán)境中表現(xiàn)出各自不同的穩(wěn)定而持久的行為模式。或者說(shuō)，人格給個(gè)體的行為打上了獨(dú)特的烙印。人格包含性格、氣質(zhì)、能力、興趣、愛(ài)好等成分。其中性格為表現(xiàn)在人的態(tài)度和行為方面的特征，主要由于后天學(xué)習(xí)

92、和生活鍛煉而形成的，是人格重要組成部分。氣質(zhì)俗稱“脾氣”，主要指由于先天遺傳，加上后天影響，形成一般較小的特征，如情緒體驗(yàn)的快慢、強(qiáng)弱以及動(dòng)作反應(yīng)的敏感遲鈍，就屬于氣質(zhì)范疇。它不能決定人格特征的內(nèi)容，只能使人的人格帶上一定的色彩。      了解個(gè)體的人格特征，不但可以預(yù)測(cè)個(gè)體在特殊情況下的行為反應(yīng)，而且，不同的人格可能表現(xiàn)出不同的患病傾向。例如，近代研究表明，A型行為與冠心病明顯相關(guān)

93、，被認(rèn)為是易患冠心病的危險(xiǎn)因素。在精神病學(xué)臨床上，病人的人格不僅決定了他患病后的行為，而且為某種精神疾病的發(fā)生準(zhǔn)備了基礎(chǔ)。例如，強(qiáng)迫癥病人常有某種焦慮、刻板、固執(zhí)、自信不足的精神衰弱人格，癔癥病人常有情感不穩(wěn)、易受暗示、自我中心的表演性格。有時(shí)，人格</p><p>　　。 D 正態(tài)分布——教育統(tǒng)計(jì)學(xué)　　統(tǒng)計(jì)規(guī)律表明，學(xué)生的智力水平，包括學(xué)習(xí)能力，實(shí)際動(dòng)手能力等呈正態(tài)分布。因而正常的考試成績(jī)分布應(yīng)基本服從正態(tài)

94、分布?？荚嚪治鲆罄L制出學(xué)生成績(jī)分布的直方圖，以“中間高、兩頭低”來(lái)衡量成績(jī)符合正態(tài)分布的程度。其評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：考生成績(jī)分布情況直方圖，基本呈正態(tài)曲線狀，屬于好，如果略呈正（負(fù)）態(tài)狀，屬于中等，如果呈嚴(yán)重偏態(tài)或無(wú)規(guī)律，就是差的。　　生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，“正常的考試成績(jī)分布應(yīng)基本服從正態(tài)分布”是正確的。但是必須考慮人與物的本質(zhì)不同，以及教育的有所作為可以使“隨機(jī)”受到干預(yù)

95、，用曲線或直方圖的形狀來(lái)評(píng)價(jià)考試成績(jī)就有失偏頗。現(xiàn)在許多教育專家（如上海顧泠沅 、美國(guó)布魯姆等）已經(jīng)通過(guò)實(shí)踐論證，教育是可以大有作為的，可以做到大多數(shù)學(xué)生及格，而且多數(shù)學(xué)生可以得高分，考試成績(jī)曲線是偏正態(tài)分布的。但是長(zhǎng)期受到“中間高、兩頭低”標(biāo)準(zhǔn)的影響，限制了教師的作為，抑制了多數(shù)學(xué)生能夠?qū)W好的信心。這是很大的誤會(huì)。　　通常正態(tài)曲線有一條對(duì)稱軸。當(dāng)某個(gè)分?jǐn)?shù)（或分?jǐn)?shù)段）的考生人數(shù)最多時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線的最高點(diǎn)，是曲線的</p>

96、<p>　　E心理咨詢師的工作對(duì)象　　心理學(xué)研究表明，就一般人而言，人們的心理健康水平是呈正態(tài)分布的，亦即那種極為嚴(yán)重的心理疾病患者和完全心理健康者都只占極小的比例。而絕大多數(shù)人處于一般健康水平的動(dòng)態(tài)發(fā)展中。因而人們存在這樣或那樣的心理問(wèn)題也不足為怪，但是我們又必須對(duì)自身出現(xiàn)的各種心理障礙給予高度的重視，及時(shí)采取適當(dāng)?shù)拇胧┳柚蛊浒l(fā)展，否則就可能發(fā)展為較嚴(yán)重的心理疾患。（1）調(diào)動(dòng)并強(qiáng)化自我心理調(diào)控能力。（2）適當(dāng)?shù)劁中?，緩解?/p>

97、理壓力。如情感目標(biāo)轉(zhuǎn)移，向友人傾訴，記日記等。（3）進(jìn)行心理咨詢。（4）利用負(fù)面情緒，發(fā)揮其對(duì)心理健康的正面作用。　　人的精神健康呈正態(tài)分布。精神病患者是精神病學(xué)的工作對(duì)象，精神極健康者無(wú)需心理學(xué)的矯治。那么，處于過(guò)渡帶中有種種心理問(wèn)題和輕重不同的心理障礙的人就是臨床心理學(xué)的工作對(duì)象?！　呐R床心理學(xué)早期或目前的工作性質(zhì)來(lái)看，它確實(shí)是以幫助有行為障礙和精神疾病的人盡快康復(fù)為目的。因此，人們自然認(rèn)為，臨床心理學(xué)是運(yùn)用心理學(xué)知識(shí)幫助病人

98、康復(fù)的應(yīng)用學(xué)科。然而，臨床心理學(xué)的任務(wù)并非僅限于此，它還經(jīng)常幫助正常人，用心理學(xué)知識(shí)緩解人們的心理壓力，解決人們的心理問(wèn)題，培養(yǎng)和訓(xùn)練人們良好</p><p>　　F企業(yè)管理：“強(qiáng)制正態(tài)分布法”　　“強(qiáng)制正態(tài)分布法”大多為企業(yè)在評(píng)估績(jī)效果時(shí)所采用。該方法就是按事物的“兩頭小、中間大”的正態(tài)分布規(guī)律，先確定好各等級(jí)在被評(píng)價(jià)員工總數(shù)所占的比例，然后按照每個(gè)員工績(jī)效的優(yōu)劣程度，強(qiáng)制列入其中的一定等級(jí)。綜觀“強(qiáng)制分布

99、法”，具有如下優(yōu)點(diǎn)：一、等級(jí)清晰、操作簡(jiǎn)便    等級(jí)劃分清晰，不同的等級(jí)賦予不同的含義，區(qū)別顯著；并且，只需要確定各層級(jí)比例，簡(jiǎn)單計(jì)算即可得出結(jié)果。二、刺激性強(qiáng)    “強(qiáng)制分布法”常常與員工的獎(jiǎng)懲聯(lián)系在一起。對(duì)績(jī)效“優(yōu)秀”的重獎(jiǎng)，績(jī)效“較差”的重罰，強(qiáng)烈的正負(fù)激勵(lì)同時(shí)運(yùn)用，給人以強(qiáng)烈刺激。三、強(qiáng)制區(qū)分　　由于必須在員工中按比例區(qū)分出等級(jí)，會(huì)有效避免評(píng)估中過(guò)嚴(yán)或過(guò)

100、松等一邊倒的現(xiàn)象?！　‰S著杰克·韋爾奇和他的ge成功，“強(qiáng)制分布法”得到了國(guó)內(nèi)外越來(lái)越多企業(yè)的青睞。許多大企業(yè)紛紛采用此方法，按照不同的績(jī)效等級(jí)，對(duì)員工進(jìn)行獎(jiǎng)懲。在實(shí)踐中，一些企業(yè)也如ge一樣取得了成效，但同時(shí)，也有為數(shù)不少的企業(yè)，嘗到了失敗的苦澀。</p><p>　　G正態(tài)分布——友誼、愛(ài)情、婚姻和人生      生活里處處都是正態(tài)分布。

101、60;     最要好，貼心的朋友，伙計(jì)兒，哥們兒不會(huì)很多，明爭(zhēng)暗斗，勾心斗角的朋友也是少數(shù)，大部分的朋友都是不冷不熱，不疏遠(yuǎn)也不親近。見(jiàn)面笑嘻嘻，分別忘干凈。一個(gè)很標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。大多數(shù)人都在95%的置信區(qū)間，少數(shù)人在兩尾。所以要珍惜那些在右尾上的好朋友們。而對(duì)在95%的那些朋友也就少些期待和要求。      愛(ài)情也是這樣，隨著早期的甜蜜一日不

102、見(jiàn)如隔三秋，據(jù)科學(xué)研究是2年的時(shí)限，我們的大腦不再分泌愛(ài)情荷爾蒙的時(shí)候，大部分的日子都是平淡不浪漫的的，談點(diǎn)小情說(shuō)點(diǎn)小愛(ài)，小吵小鬧組成了愛(ài)情這個(gè)鐘型圖。而絕裂的爭(zhēng)吵憎恨也是少數(shù)。有了這些少數(shù)的爭(zhēng)吵，我現(xiàn)在假設(shè)他們都是正面的積極的，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反重用導(dǎo)致愛(ài)的突然上升，于是有一些在另一尾的極少的甜蜜和纏綿?；橐鼍透挥谜f(shuō)了?？梢哉f(shuō)是99%的置信區(qū)間都是平常日子里的雞毛蒜皮芝麻大的點(diǎn)的事兒。所以隨著婚姻壽命的延長(zhǎng)，就衍生出相看兩厭，審美疲勞

103、，左手牽右手。尊重這種自然規(guī)律，我們可以自我提醒在婚姻里少些不切實(shí)際的期待，安于接受現(xiàn)實(shí)的人生。      人生自然也是符合正態(tài)分布的。</p><p>　　I 正態(tài)分布——設(shè)計(jì)】公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設(shè)計(jì)的。如果某地成年男子的身高 （175，36）（單位：cm），則車門設(shè)計(jì)應(yīng)為多高？解：（略。正態(tài)分布高中試題）故

104、公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189cm。</p><p>　　J 正態(tài)分布在員工評(píng)估、管理中的應(yīng)用差別原則：考評(píng)結(jié)果分優(yōu)、甲、乙、丙、丁五個(gè)等級(jí)，并按正態(tài)分布強(qiáng)制區(qū)分。各等級(jí)對(duì)應(yīng)比重及等級(jí)定義如下等級(jí)       比例           &

105、#160;                      定 義優(yōu)          5%    &#

106、160;   明顯超越崗位常規(guī)要求；并完全超過(guò)預(yù)期地達(dá)成工作目標(biāo)甲       20%       完全符合崗位常規(guī)要求；全面達(dá)成工作目標(biāo)，并有所超越。乙        50%     

107、 符合崗位常規(guī)要求；保質(zhì)，保量，按時(shí)完成工作目標(biāo)。丙        20%      基本符合常規(guī)崗位要求；但有所不足；基本達(dá)成工作目標(biāo)，有所欠缺。丁        5%      &#

108、160;  未達(dá)崗位常規(guī)要求；離工作目標(biāo)要求差距大。</p><p>　　由此可知正態(tài)分布的應(yīng)用是極其廣泛，在此我們也不再多述。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社2008,46.</p><p>　　[2] 魏宗

109、舒，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程，高等教育出版社，2008,2.</p><p>　　[3] 王志剛，應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009，7.</p><p>　　[4] 王松桂，程維虎，高旅端，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，科學(xué)出版社，2005,4.</p><p>　　[5] Michael A.Bean, Probability:The Science of U

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