數(shù)學學年論文畢業(yè)論文相似矩陣的性質(zhì)及應用

1、相似矩陣的性質(zhì)及應用相似矩陣的性質(zhì)及應用一.相似矩陣的定義相似矩陣的定義定義：設(shè)A、B為數(shù)域P上兩個n級矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的n級可逆矩陣X，使得B=AX，就說A相似于B，記做.1?XBA~二.相似矩陣的重要性質(zhì)相似矩陣的重要性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1數(shù)域P上的n階方陣的相似關(guān)系是一個等價關(guān)系.證明：1〉（反身性）由于單位矩陣E是可逆矩陣，且A=AE，故任何方陣A1?E與A相似.2〉（對稱性）設(shè)A與B相似，即存在數(shù)域P上的可逆方陣C，使得B=

2、AC，1?C由此可得A=CB=B，顯然可逆，所以B與A相似.1?C11)(??C1?C3〉（傳遞性）設(shè)A與B相似，B與C相似，即存在數(shù)域P上的n階可逆方陣P、Q，使B=AP，C=BQ，則C=BQ=APQ=A（PQ），從而A與C相1?P1?Q1?Q1?P1)(?PQ似.〈證畢〉性質(zhì)性質(zhì)2相似矩陣有相同的行列式.證明：設(shè)A與B相似，即存在數(shù)域P上的可逆矩陣C，使得B=AC，兩邊取1?C行列式得：｜B｜=｜AC｜=｜｜｜A｜｜C｜=｜A｜｜C

3、｜=｜A｜.1?C1?C1?C從而相似矩陣有相同的行列式.〈證畢〉下面先介紹兩個引理引理引理1：設(shè)A是數(shù)域P上的nm矩陣，B是數(shù)域P上ms矩陣，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）](1)即乘積的秩不超過各因子的秩.證明：為了證明（1），只需要證明秩（AB）≤秩（A），同時，秩（AB）≤秩（B）.現(xiàn)在來分別證明這兩個不等式.證明:設(shè)AB相似即存在數(shù)域P上的可逆矩陣C使得B=AC1?C由引理2可知秩（B）=秩（AC）=秩（AC）=秩

4、（A）.〈證畢1?C性質(zhì)性質(zhì)4相似矩陣或同時可逆或同時不可逆.證明:設(shè)A與B相似由性質(zhì)3可知.若A可逆即從而BA?0?A故B可逆；若A不可逆即從而故B不可逆.0?B0?A0?B〈證畢〉性質(zhì)性質(zhì)5若A與B相似則相似于.(n為正整數(shù))nAnB證明:由于A與B相似即存在數(shù)域P上的可逆矩陣X使得從而AXXB1??XAXAXXAXXAXXnn1111??????????????????????個即相似于.〈證畢〉nAnB性質(zhì)性質(zhì)6設(shè)A相似于B為任

5、一多項式則相似于.)(xf)(Af)(Bf證明:設(shè)于是0111)(axaxaxaxfnnnn????????EaBaBaBaBfEaAaAaAaAfnnnnnnnn01110111)()(????????????????由于A相似于B由性質(zhì)5可知相似于(k為任意正整數(shù))即存在可逆kAkB矩陣X使得因此XAXBKk1??)()()(01110111111011111BfEaBaBaBaEaAXXaXAXaXAXaXEaAaAaAaXXxf