矩陣可對(duì)角化的判定條件[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　矩陣可對(duì)角化的判定條件</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要:矩陣對(duì)角化是矩陣論的重要組成部分，研究矩陣對(duì)角化對(duì)解決一些特殊

3、矩陣的解法提供了有效的工具。本文結(jié)合典型例題，通過(guò)求矩陣的多項(xiàng)式和矩陣的特征根進(jìn)而給出了n階矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)充要條件，并指出了求可對(duì)角化矩陣的特征向量的一種簡(jiǎn)便方法，并且對(duì)一些特殊矩陣的對(duì)角化問(wèn)題提出了多種方法，最后重點(diǎn)闡述了矩陣中的對(duì)角化問(wèn)題。</p><p>　　關(guān)鍵詞:矩陣；矩陣對(duì)角化；充要條件；特征根；特征向量</p><p>　　Matrix to determine the

4、conditions of diagonalization</p><p>　　Abstract:Matrix digitalization is an important part of the matrix theory, study of matrix digitalization to solve some special matrix Method provides an effective tool.

5、 Combining with typical examples,through calculating the polynomial matrix and the characteristic root and matrix is given diagonolization n order matrix several necessary and sufficient condition is given, and points ou

6、t for diagonolization matrix of eigenvectors of a simple method, and some special matrix is put forward diagonal</p><p>　　Keywords:Matrix,Matrix digitalization, Necessary,Characteristic root, Characteristic

7、vector</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引 言1</b></p><p>　　2 n階矩陣的最小多項(xiàng)式及矩陣對(duì)角化2</p><p>　　2.1 n階矩陣的最小多項(xiàng)式的求法2</p><p>　　2.1.1最小多項(xiàng)

8、式判定矩陣對(duì)角化.................................................................................3</p><p>　　2.1.2 n階方陣的可對(duì)角化5</p><p>　　2.2 矩陣的特征單根與矩陣對(duì)角化6</p><p>　　2.2.1 矩陣的n個(gè)特征單根6</p&

9、gt;<p>　　2.2.2 n個(gè)特征單根與矩陣對(duì)角化7</p><p>　　2.3 矩陣的特征重根與矩陣對(duì)角化8</p><p>　　2.3.1矩陣的特征重根8</p><p>　　2.3.2 矩陣的特征重根與對(duì)角化9</p><p>　　3 特殊矩陣的一些性質(zhì)與可對(duì)角化10</p><p

10、>　　3.1. 分塊矩陣的對(duì)角化10</p><p>　　3.2 兩個(gè)互異的特征根的對(duì)角化11</p><p>　　3.3 矩陣的分解13</p><p>　　3.4 從數(shù)域上判定矩陣的可對(duì)角化14</p><p>　　4 病態(tài)矩陣的對(duì)角化17</p><p>　　4.1 復(fù)系數(shù)矩陣的對(duì)角化17&

11、lt;/p><p>　　4.2 線性變換可亞對(duì)角化19</p><p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)21</b></p><p>　　6 致 謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p><p><b>　　1 引 言<

12、;/b></p><p>　　矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支—矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決。于是作為處理離散問(wèn)題的線性代數(shù)和矩陣計(jì)算，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 </p><p>

13、;　　矩陣是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，不僅在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，在其他學(xué)科中也經(jīng)常遇到。它在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。本文圍繞有限維線性空間上的線性變換對(duì)角化問(wèn)題與矩陣可對(duì)角化相互轉(zhuǎn)換進(jìn)行研究．根據(jù)矩陣的多項(xiàng)式對(duì)矩陣對(duì)角化問(wèn)題進(jìn)行判斷，這種方法不僅為探討矩陣對(duì)角化提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的工具，也把矩陣和有限維空間相結(jié)合．在現(xiàn)代科技中，很多問(wèn)題都是運(yùn)用此

14、類方式。</p><p>　　我們熟知，維向量空間之中的線性變換是否可以對(duì)角化的問(wèn)題是高等代數(shù)中十分重要的內(nèi)容，而可對(duì)角化的充要條件是關(guān)于的基的矩陣可對(duì)角化．所以本文的所探尋的矩陣可對(duì)角化的充要條件，給出有關(guān)對(duì)角化的定理的簡(jiǎn)證，尋找求可對(duì)角化矩陣的特征向量的簡(jiǎn)易方法．這是一項(xiàng)具有豐富意義的工作，這對(duì)于優(yōu)化和完善矩陣的對(duì)角化理論是大有裨益的。矩陣對(duì)角化是矩陣論的重要組成部分，在矩陣論中占有重要的作用，研究矩陣對(duì)角化

15、問(wèn)題很有實(shí)用價(jià)值，關(guān)于矩陣對(duì)角化問(wèn)題的研究，這方面的資料和理論已經(jīng)很多。但是他們研究的角度和方法只是某個(gè)方面的研究，沒有進(jìn)行系統(tǒng)的分類歸納和總結(jié)。因此，我就針對(duì)這方面進(jìn)行系統(tǒng)的分類歸納和總結(jié)，對(duì)一些理論進(jìn)行應(yīng)用和舉例，給出算法。特別給出了解題時(shí)方法的選擇。</p><p>　　矩陣對(duì)角化問(wèn)題只是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)小問(wèn)題，但是一個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，這樣矩陣可對(duì)角化作為矩陣?yán)碚摾锏淖罨A(chǔ)的知識(shí)，就顯得格外的重要。通過(guò)對(duì)《高等代

16、數(shù)》，《科學(xué)計(jì)算方法》等有關(guān)資料的查閱和分析研究，為我們對(duì)判定矩陣的可對(duì)角化的條件提供了相關(guān)依據(jù)和理論.。本文主要從兩方面來(lái)判斷一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化：第一，是從n階矩陣的最小多項(xiàng)式來(lái)判斷矩陣的對(duì)角化；第二，是從矩陣的特征根來(lái)判定的。從而對(duì)一些特殊矩陣的對(duì)角化給出了具體的分析和處理的詳細(xì)過(guò)程。 </p><p>　　2 n階矩陣的最小多項(xiàng)式及矩陣對(duì)角化</p><p>　　2.1 n階

17、矩陣的最小多項(xiàng)式的求法</p><p>　　有限維線性空間上的線性變換可對(duì)角化的問(wèn)題與矩陣的可對(duì)角化的問(wèn)題有著密切的聯(lián)系．設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的的一個(gè)線性變換，如果存在的一個(gè)基，使得關(guān)于這個(gè)基的矩陣式對(duì)角矩陣，則稱線性變換可以對(duì)角化．類似的，設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)階矩陣，如果能與一個(gè)對(duì)角形矩陣相似，則稱矩陣可對(duì)角化[1]．由于線性變換關(guān)于線性空間的不同基德矩陣是相似矩陣，從而我們可以得出，若是是線性變換關(guān)于線性空間的

18、某個(gè)基德矩陣，那么就可以對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)可對(duì)角化．在這里，我們?yōu)榱朔奖闫鹨?，本文只是討論矩陣可?duì)角化的問(wèn)題．</p><p>　　這里我們利用矩陣的最小多項(xiàng)式來(lái)討論．</p><p>　　定義　設(shè)，如果存在多項(xiàng)式，使得,則稱為矩陣的一個(gè)化零多項(xiàng)式，其中首項(xiàng)系數(shù)為１的最低次化零多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式．</p><p>　　由Hamlton-Caylay定理可以知道，矩陣

19、的特征多項(xiàng)式是的化零多項(xiàng)式，因此，的最小多項(xiàng)式是的特征多項(xiàng)式的一個(gè)因式．</p><p>　　性質(zhì)　最小多項(xiàng)式的基本性質(zhì)有</p><p>　　矩陣的最小多項(xiàng)式是唯一的；</p><p>　　設(shè)為矩陣的最小多項(xiàng)式，則為的化零多項(xiàng)式的充要條件是 ；</p><p>　　相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式．</p><p&

20、gt;　　求矩陣的最小多項(xiàng)式的方法,利用矩陣的特征多項(xiàng)式．因?yàn)榫仃嚨淖钚《囗?xiàng)式是它的特征多項(xiàng)式的因式．</p><p><b>　　例[2]　求矩陣</b></p><p><b>　　的最小多項(xiàng)式．</b></p><p>　　解:　因?yàn)榈奶卣鞫囗?xiàng)式為</p><p><b>　　,&l

21、t;/b></p><p>　　所以，的最小多項(xiàng)式為的因式．顯然，,而,因此，的最小多項(xiàng)式是.</p><p>　　利用矩陣的線性相關(guān)的性質(zhì)．線性空間中向量組的向量數(shù)為，必然是線性相關(guān)的．所以，存在著一個(gè)最小正整數(shù)，使得</p><p><b>　　, </b></p><p>　　令,則為的最小多項(xiàng)式．&

22、lt;/p><p>　　利用矩陣的特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型．通常，人們利用矩陣的特征矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，我們也可以利用矩陣的特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)求它的最小多項(xiàng)式．矩陣的特征矩陣經(jīng)過(guò)初等變換成為標(biāo)準(zhǔn)形后，它的主對(duì)角線上的非零元素稱為的不變因子，簡(jiǎn)稱為的不變因子，則最后一個(gè)不變因子就是是最小多項(xiàng)式．</p><p>　　利用向量的線性相關(guān)性性質(zhì)．在有限維德線性空間的線性變換的最小多

23、項(xiàng)式，我們將它轉(zhuǎn)化為討論矩陣的最小多項(xiàng)式并加以證明．</p><p>　　設(shè)，在線性空間上向量組定是線性相關(guān)的，所以存在一個(gè)正整數(shù)使得</p><p>　　令，則是使得的最低的首一多項(xiàng)式．</p><p>　　2.1.1最小多項(xiàng)式判定矩陣對(duì)角化</p><p>　　求出了最小多項(xiàng)式，那么如何運(yùn)用求到了的最小多項(xiàng)式來(lái)判斷一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化

24、呢？我們有如下幾條定理．</p><p>　　定理　數(shù)域上的階矩陣可以對(duì)角化的充要條件為的最小多項(xiàng)式是上互質(zhì)的一次因式的乘積[2]．</p><p><b>　　例　判定矩陣</b></p><p><b>　　是否可以對(duì)角化．</b></p><p><b>　　解: 由</b&g

25、t;</p><p>　　從上面可以看出因此矩陣Ｅ的最小多項(xiàng)式為由＝可以知道沒有實(shí)根而有兩個(gè)不同的復(fù)根，所以矩陣在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域上不可以對(duì)角化，但是在復(fù)數(shù)域上是可以對(duì)角化的．但是在實(shí)數(shù)域上它是否能化為互質(zhì)的一次因式的乘積，即有無(wú)個(gè)不同的實(shí)根，此時(shí)尚且不能斷定，我們可以利用定理[3] [4]．</p><p>　　設(shè)是分常熟實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式而且沒有重因式，即對(duì)于與作輾轉(zhuǎn)相除，每次把所得的余式變

26、號(hào)，可以得到，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　……　　　　　　　　　　　　　……</p><p>　　……　　　　　　　　　　　　　……</p><p><b>　　是一個(gè)常數(shù)．</b></p><p>　　實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列：.</p>

27、;<p>　　例如：　判定矩陣在實(shí)數(shù)域上是否可以對(duì)角化．</p><p>　　解：矩陣的最小多項(xiàng)式為，那么它的序列為</p><p>　　數(shù)列的變號(hào)數(shù)的變號(hào)數(shù)從而得實(shí)數(shù)根為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　所以，矩陣在實(shí)數(shù)域上不可對(duì)角化．</p><p>

28、　　2.1.2 n階方陣的可對(duì)角化</p><p>　　定義1 ： 如果方陣的元素當(dāng)時(shí)有，并且，則稱為單位矩陣。</p><p>　　定義2 ：如果方陣的元素當(dāng)時(shí)有，則稱為上三角矩陣。類似地，可以定義下三角矩陣。</p><p>　　定義3 ：如果方陣的元素當(dāng)時(shí)有，則稱為三對(duì)角矩陣。</p><p>　　定義4 ：設(shè)是一階方陣，如果有數(shù)和

29、非零向量，使則稱是矩陣的特征值，稱為的對(duì)應(yīng)于的特征向量，稱為矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征子空間。</p><p>　　定義5：設(shè)是數(shù)域上一階方陣，若多項(xiàng)式，使則稱為矩陣的零化多項(xiàng)式。</p><p>　　定義6：數(shù)域上次數(shù)最低的首項(xiàng)為1的以為根的多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式。</p><p>　　從特征值，特征向量和若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形入手討論階方陣可對(duì)角化的相關(guān)條件出發(fā)：</p

30、><p>　　定理1：一個(gè)階方陣可對(duì)角化的充要條件是它有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量[5] [11]。</p><p>　　證明:必要性 ， 由已知，存在可逆矩陣，使即</p><p>　　，把矩陣按列分塊，記每一列矩陣為有</p><p>　　，于是有。矩陣的每一列都是的特征向量，又是可逆的，因此是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，其中為的特征值。</p

31、><p>　　充分性:若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則有，其中是對(duì)應(yīng)于特征向量的的特征值，以為列作矩陣因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以矩陣是可逆的。由</p><p>　　，即與對(duì)角矩陣相似。 從以上證明中可知:</p><p>　　(1)與矩陣相似的對(duì)角矩陣主對(duì)角線上的元素是的特征值，而相似變換矩陣 的列是的個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量。</p><p>　　(2) 在

32、主對(duì)角線上的次序應(yīng)與其對(duì)應(yīng)的特征向量在中的次序相對(duì)應(yīng)，如果的次序改變，那么在中的次序也要作相應(yīng)的改變，但這時(shí) 就不是原來(lái)的了，因此相似變換矩陣不是唯一的. 若不計(jì)的排列順序，對(duì)角矩陣是唯一的，稱它為 的相似標(biāo)準(zhǔn)形。 </p><p>　　2.2 矩陣的特征單根與矩陣對(duì)角化</p><p>　　2.1 矩陣的n個(gè)特征單根</p><p>　　維向量空間的線性變換的

33、可以對(duì)角化的的充要條件是關(guān)于的基的矩陣可以對(duì)角化．我們可以從矩陣的特征根入手．首先考慮個(gè)特征單根的矩陣．</p><p>　　引理1　設(shè)是秩為的階矩陣，而且</p><p>　　其中是秩為的列滿秩矩陣，那么所包含的個(gè)列向量就是其次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．</p><p>　　證明：設(shè)對(duì)施以列的初等變換相當(dāng)于在右邊乘以一個(gè)階的可逆矩陣．設(shè),其中是一個(gè)階的可逆矩陣，是

34、一個(gè)階矩陣，令是矩陣的列向量．</p><p><b>　　由線性無(wú)關(guān)，于是，</b></p><p>　　所以，是方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量．</p><p>　　又的秩為，那么上述的個(gè)向量正是該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．</p><p>　　引理2[6]　　令是數(shù)域上的一個(gè)階矩陣，若果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有幾個(gè)單根，那

35、么由特征列向量構(gòu)成的階可逆矩陣，使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2.1 n個(gè)特征單根與矩陣對(duì)角化</p><p>　　根據(jù)上面所給出的引理我們可以退出一下幾條定理，進(jìn)而得出矩陣可對(duì)角化的充要條件，來(lái)判斷一個(gè)矩陣是否是可以對(duì)角化的矩陣．</p><p>　　定理[7]　如果數(shù)域上的階

36、矩陣的特征多項(xiàng)式個(gè)單根，那么可以通過(guò)以下這些步驟進(jìn)行對(duì)角化：</p><p><b>　　設(shè)，且．</b></p><p>　　其中，為下三角矩陣，那么主對(duì)角線上的全部元素的乘積的的多項(xiàng)式的全部特征根為的全部特征根，對(duì)于的每一個(gè)特征根中的零向量所對(duì)應(yīng)的中的列向量是屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量．吧屬于的特征向量作為列向量組合構(gòu)成矩陣，是的</p><

37、p><b>　　．</b></p><p>　　證明可以知道中的非零向量的列構(gòu)成滿秩矩陣，有上面的引理可以知道結(jié)論成立．</p><p>　　2.3 矩陣的特征重根與矩陣對(duì)角化</p><p>　　2.3.1矩陣的特征重根</p><p>　　前面討論了矩陣的單根的情況現(xiàn)在來(lái)看看重根的情況．對(duì)存在重特征根的矩陣

38、我們同樣可以使用上述方法，只是此時(shí)的中的非零向量可能不構(gòu)成列滿秩矩陣，這時(shí)候就需要將上述方法加以改進(jìn)．首先我們也是先給出以下的幾個(gè)引理。</p><p>　　引理[7]　設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)階矩陣，可對(duì)角化的充要條件是</p><p><b>　　的特征根都在內(nèi)；</b></p><p>　　對(duì)于的每一特征根，秩，這里的重?cái)?shù)．</p>

39、<p>　　再由引理，可以知道要判斷是否可以對(duì)角化只需要考察的秩，并可以得到對(duì)角化的步驟．</p><p>　　引理　如果階矩陣不是數(shù)量矩陣，那么不能對(duì)角化．</p><p>　　證明　設(shè)可以對(duì)角化，那么可以知道：</p><p><b>　　，所以矛盾．</b></p><p>　　引理　設(shè)為階冪零矩陣即存

40、在自然數(shù)使得但是，那么不能對(duì)角化．</p><p>　　證明　顯然只有一個(gè)特征根，如果可以對(duì)角化，那么可以知道，矛盾．</p><p>　　引理　設(shè)為階對(duì)和矩陣即那么可以對(duì)角化．</p><p>　　證明顯然的一切不同的特征根為，即，于是由引理可以知道：，所以可以得到：可以對(duì)角化．</p><p>　　2.3.2 矩陣的特征重根與對(duì)角化&

41、lt;/p><p>　　根據(jù)以上給出的引理我們可以得到一個(gè)矩陣可以對(duì)角化的以下幾條定理．</p><p>　　定理[9]　設(shè)，那么</p><p><b>　　，　</b></p><p>　　其中是下三角矩陣，而且的主對(duì)角線上的元素的乘積而得到的多項(xiàng)式的跟恰為的特征根．</p><p>　　如果的特

42、征根都在內(nèi)，可對(duì)角化的充要條件是：對(duì)的每一特征根，秩，這里是的重?cái)?shù)．</p><p>　　可以對(duì)角化，對(duì)的每一個(gè)特征根，如果中的非零列向量構(gòu)成列滿秩矩陣，那么的零向量所對(duì)應(yīng)的中的列向量是屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量，可以組合得到成對(duì)角形．否則繼續(xù)施以列的初等變換：</p><p>　　，使得中的非零列向量構(gòu)成的列滿秩的矩陣，由可以得到屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量．</p>&

43、lt;p>　　3 特殊矩陣的一些性質(zhì)與可對(duì)角化</p><p>　　3.1. 分塊矩陣的對(duì)角化</p><p>　　分塊對(duì)角矩陣[10] ，具有形式</p><p>　　的矩陣稱為分塊對(duì)角矩陣，其中，且形式上，這個(gè)矩陣常常用來(lái)表示，或簡(jiǎn)記作，稱這個(gè)矩陣為的直和。從分塊矩陣的乘法來(lái)考慮，分塊對(duì)角矩陣的許多性質(zhì)推廣了對(duì)角矩陣的性質(zhì)，例如，，因而，是非奇異的，當(dāng)且

44、僅當(dāng)每個(gè)是非奇異的，另外，直和與可交換，其中是同階的。當(dāng)且僅當(dāng)與可交換，還有，</p><p>　　分塊三角矩陣 ，具有形式</p><p>　　的矩陣稱為分塊上三角矩陣，其中而“*”表示任意塊元。分塊下三角矩陣，嚴(yán)格分塊下三角矩陣和嚴(yán)格分塊上三角矩陣都可以類似地定義。分塊三角矩陣的行列式是諸對(duì)角子塊的行列式之積。分塊三角矩陣的秩至少是（也可能大于）諸對(duì)角子塊的秩之和。</p>

45、<p>　　設(shè)為數(shù)域，，把分成行，列的分塊矩陣，記為。記的行數(shù)記為，列數(shù)為，則有。</p><p>　　定義2 分塊矩陣的行( 列) 初等變換是指:：</p><p>　　( 1) 交換兩行( 列) 的位置;</p><p>　　( 2) 第行( 列) 的各個(gè)元素分別左乘( 右乘) 該行( 列) 的一個(gè)階（階) 左( 右) 保秩因子;</p>

46、;<p>　　( 3) 第行( 列) 的各個(gè)元素分別左乘( 右乘)一個(gè)階（階）矩陣后加到第行。</p><p>　　定理2 　分塊矩陣進(jìn)行初等變換后,秩不變。</p><p>　　證明：對(duì)于（1），相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行若干次行(列) 的交換,故命題成立;對(duì)于（2），根據(jù)定義（1），顯然成立；對(duì)于（3），相當(dāng)于進(jìn)行若干次把行（列）乘以一個(gè)倍數(shù)后加到另一行（列），故命題成立。</p

47、><p>　　3.2 兩個(gè)互異的特征根的對(duì)角化</p><p>　　定理[11] 如果有個(gè)互不相同的特征值，那么可對(duì)角化。</p><p>　　引理 設(shè)和是給定的矩陣，且設(shè)</p><p>　　是與的直和，那么，可對(duì)角化，當(dāng)且僅當(dāng)和都可對(duì)角化。</p><p>　　證明：如果存在非奇異矩陣和非奇異矩陣，使得和都是對(duì)角矩陣

48、，那么容易驗(yàn)證是對(duì)角矩陣，只要取直和</p><p>　　反之，設(shè)可對(duì)角化，存在非奇異矩陣，使是對(duì)角矩陣。如果用</p><p>　　表示，那么，對(duì)可推出和如果在集合中，無(wú)關(guān)向量少于個(gè)，則矩陣</p><p>　　的列秩（因而行秩）將小于。同理，如果在集合中，無(wú)關(guān)向量少于個(gè)，則矩陣的列秩（因而行秩）將小于。在其中一種（或兩種）情形下，矩陣 &l

49、t;/p><p>　　的行秩（因而秩）小于；因?yàn)槭强赡娴?，所以這是不可能的。因此，在集合中恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，又因?yàn)檫@每一個(gè)向量都是的特征向量，所以一定可對(duì)角化。同理可證矩陣可對(duì)角化。</p><p>　　定理 設(shè)可對(duì)角化。那么，和可交換，當(dāng)且僅當(dāng)它們同時(shí)可對(duì)角化。</p><p>　　證明：假定和可交換，在和上同時(shí)施以一個(gè)相似變換使對(duì)角化，因而，不失一般性，可以假定

50、是對(duì)角矩陣，仍不失一般性，再假定的任一多重特征值相鄰地出現(xiàn)在主對(duì)角線上。因?yàn)椋ㄉ鲜龉驳南嗨谱儞Q不會(huì)改變這一關(guān)系），所以有</p><p>　　其中，而是的各特征值。因?yàn)橛纱丝芍?，只要，就有。因此，按上面已?jīng)給定的項(xiàng)的順序，是分塊對(duì)角矩陣：</p><p>　　其中，對(duì)于的每個(gè)不同的特征值，有一個(gè)子塊 ，每個(gè)是一個(gè)方陣，其階數(shù)是與它相應(yīng)的的特征值的重?cái)?shù)。因?yàn)榭蓪?duì)角化，則每個(gè)可對(duì)角化。設(shè)是使

51、為對(duì)角矩陣的非奇異矩陣。因?yàn)橛蟹謮K形式</p><p>　　其中每個(gè)純量矩陣與同階，我們得到與都是對(duì)角矩陣，其中是直和</p><p>　　， 注意，</p><p><b>　　3.3 矩陣的分解</b></p><p>　　引理[12] 假定可以寫成</p><p>　　其中是

52、下三角矩陣，而是上三角矩陣。對(duì)任一分塊形式</p><p><b>　　其中，我們有</b></p><p>　　且 </p><p>　　特別是，和的左上角子塊一定構(gòu)成的相應(yīng)子塊的一個(gè)同型的分解。</p><p><b>　　定理 假定，且如果</b></p>

53、<p>　　那么可以分解成 </p><p>　　其中，是下三角矩陣，是上三角矩陣。并且可以適當(dāng)選擇分解使得或是非奇異的；和都可以選取非奇異矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)是非奇異的。</p><p>　　證明：首先證明，在關(guān)于前主子式的假設(shè)條件下，可以分解成且它們都是非奇異的。能夠逐個(gè)地求出和的各相關(guān)元素。設(shè)且令且令求出</p><p>　　陸

54、續(xù)的做下去。令且令求出</p><p>　　再進(jìn)行下去，依次設(shè)的各對(duì)角元為1，然后求出的下一列和的下一行。每次都有一個(gè)含一個(gè)未知數(shù)的方程需要求解。因?yàn)槊總€(gè)不為零，，所以這個(gè)方程將是可解的。這就完成了的分解。</p><p>　　將進(jìn)行分塊。因?yàn)橛纱丝芍母餍惺堑闹T行的唯一線性組合，即對(duì)每一唯一確定的有</p><p><b>　　和</b>&l

55、t;/p><p>　　現(xiàn)在將欲求的和同樣那樣分塊，注意到非奇異的和已被確定。于是可以求出</p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　然后求出</b></p><p>　　例如，可以選?。ㄏ鄳?yīng)地，）為中的任一非奇異下（相應(yīng)地，上）三角矩陣，希望選?。ㄏ鄳?yīng)地，）為0.因?yàn)楹褪欠瞧娈?/p>

56、的，或可以選為非奇異的。如果和就是可非奇異的；如果因?yàn)槭瞧娈惖模筒豢赡芏际欠瞧娈惖?。這就完成了證明。 </p><p>　　3.4 從數(shù)域上判定矩陣的可對(duì)角化</p><p>　　定理1 [13] 數(shù)域上級(jí)矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量此時(shí)</p><p>　　令 </p>

57、;<p>　　則 </p><p>　　其中是所屬的特征值，。上述對(duì)角矩陣稱為的相似標(biāo)準(zhǔn)形，除了主對(duì)角線上元素的排列次序外，的相似標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的。</p><p>　　定理2 設(shè)是數(shù)域上級(jí)矩陣的不同的特征值，與分別是的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則線性無(wú)關(guān)。</p><p>　　定理3 設(shè)是數(shù)域上級(jí)矩陣的不同的特征值，是

58、的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，。則向量組</p><p><b>　　是線性無(wú)關(guān)的。</b></p><p>　　定理4 數(shù)域上級(jí)矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是：的屬于不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和等于。</p><p>　　定理5數(shù)域上級(jí)矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是：的特征多項(xiàng)式的全部復(fù)根都屬于，并且的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于它的代數(shù)重?cái)?shù)。&l

59、t;/p><p>　　典型例題 例1 證明：冪等矩陣一定可對(duì)角化，并且如果級(jí)冪等矩陣的秩為，那么</p><p>　　證明 若，則可逆。從得出，，結(jié)論顯然成立。若，則。結(jié)論也成立。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，冪等矩陣的全部特征值是0,1.</p><p>　　對(duì)于特征值0，齊次線性方程組的解空間的維數(shù)等于。由于是冪等矩陣，因此。從而。<

60、/p><p>　　對(duì)于特征值1，齊次線性方程組的解空間的維數(shù)等于。因此</p><p><b>　　。</b></p><p>　　從而可對(duì)角化。的相似標(biāo)準(zhǔn)形中，特征值1在主對(duì)角線上出現(xiàn)的次數(shù)等于的維數(shù)，特征值0在主對(duì)角線上出現(xiàn)的次數(shù)等于的維數(shù)。因此</p><p>　　定理1 設(shè)是數(shù)域上的級(jí)矩陣，則</p>

61、<p>　　（1）是的一個(gè)特征值當(dāng)且僅當(dāng)是的特征多項(xiàng)式在中的一個(gè)根；</p><p>　?。?）是的屬于特征值的一個(gè)特征向量當(dāng)且僅當(dāng)是齊次線性方程組的一個(gè)非零解。</p><p>　　于是判斷數(shù)域上級(jí)矩陣有沒有特征值和特征向量，如果有，求的全部特征值和特征向量的方法如下：</p><p>　　第一步，計(jì)算的特征多項(xiàng)式;</p><p&g

62、t;　　第二步，如果多項(xiàng)式在中沒有根，那么沒有特征值，從而也沒有特征向量。</p><p>　　如果在中有根，那么它在中的全部根就是的全部特征向量，此時(shí)做第三步；</p><p>　　第三步，對(duì)于的每一個(gè)特征值，求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：。于是屬于的全部特征向量組成的集合是</p><p><b>　　且它們不全為0｝。</b></

63、p><p>　　設(shè)是的一個(gè)特征值，把齊次線性方程組的解空間稱為的屬于的特征子空間，其中的全部非零向量就是的屬于的全部特征向量。</p><p>　　4 病態(tài)矩陣的對(duì)角化</p><p>　　4.1 復(fù)系數(shù)矩陣的對(duì)角化</p><p>　　例 1 [14] 復(fù)數(shù)域上級(jí)循環(huán)移位矩陣是否可對(duì)角化？如果可對(duì)角化，求一個(gè)可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣。<

64、;/p><p>　　解 有個(gè)不同的特征值：其中，因此可對(duì)角化。令</p><p>　　則 。</p><p><b>　　例2 設(shè) </b></p><p>　　求正交矩陣T，使得為對(duì)角矩陣。</p><p>　　解 </p><p&

65、gt;　　因此的全部特征值是3（三重），7.</p><p>　　對(duì)于特征值3，求得的一個(gè)基礎(chǔ)解系：</p><p><b>　　把正交化，令</b></p><p><b>　　把分別單位化，得</b></p><p>　　對(duì)于特征值7，求得的一個(gè)基礎(chǔ)解系：</p><p>

66、;　　把單位化，得 </p><p><b>　　令則是正交矩陣，且</b></p><p>　　4.2 線性變換可亞對(duì)角化</p><p>　　定義1[15] 設(shè),是任意數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換，若存在的一個(gè)基，使在這個(gè)基下的矩陣是準(zhǔn)對(duì)角形矩陣</p><p>　　其中是不為零的數(shù)，則稱可亞對(duì)角化。

67、</p><p>　　定義2 設(shè)，是數(shù)域上的一個(gè)階方陣，若存在數(shù)域上的一個(gè)可逆矩陣，使其中，則稱可亞對(duì)角化。</p><p>　　并不是每一個(gè)線性變換都可亞對(duì)角化，例如零變換就不可亞對(duì)角化，現(xiàn)在一下給出線性變換可亞對(duì)角化的有趣的充要條件。</p><p>　　定理 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的一個(gè)（為偶然）維向量空間，是的線性變換，則以下條件等價(jià)（1）可亞對(duì)角化；（2）；（3）且

68、的零度的秩；（4）且的零度；（5）且的秩。</p><p>　　證：（1）（2），若可亞對(duì)角化，則存在的一個(gè)基使在這個(gè)基下的矩陣是，其中且，于是，因線性無(wú)關(guān)，的秩，而的秩的零度，的零度的秩，所以，而（因</p><p>　　是的子空間，又因此，即成立。（2）（3）（4）（5），顯然</p><p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)</b></p&

69、gt;<p>　　矩陣的應(yīng)用在現(xiàn)代社會(huì)中是十分廣泛的，本文通過(guò)與有限維線性空間上的線性變換可對(duì)角化的問(wèn)題與矩陣的可對(duì)角化的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以及對(duì)一些特殊矩陣的求法進(jìn)行處理和歸類，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的處處相融的內(nèi)在．也從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的思維的發(fā)散性．從矩陣的多項(xiàng)式對(duì)矩陣的對(duì)角化問(wèn)題進(jìn)行判斷不僅給求矩陣對(duì)角化提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的工具，也把矩陣和有限維空間相結(jié)合．在現(xiàn)代科技中很多的問(wèn)題都是運(yùn)用此類方式，把矩陣用的風(fēng)生水起．</

70、p><p>　　矩陣的對(duì)角化問(wèn)題只是矩陣大軍里的一個(gè)小而又小的問(wèn)題，在這里講述的方法也只是滄海一粟，更多的學(xué)習(xí)是十分必要的．矩陣的對(duì)角化問(wèn)題為之后的矩陣?yán)碚搶W(xué)習(xí)有著充分的準(zhǔn)備，作為矩陣?yán)碚摾锏淖罨A(chǔ)的知識(shí)，就顯得格外的重要．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 王治萍.試論n階方陣的可對(duì)角化問(wèn)題[J] .高等教

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