矩陣可對(duì)角化的判定條件[開題報(bào)告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　矩陣可對(duì)角化的判定條件 </p><p><b>　　選題的背景、意義</b></p><p>　　矩陣最初是作為研究代數(shù)學(xué)的一種工具提出的，但是經(jīng)過

2、兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支—矩陣論。矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域。如在觀測(cè)、導(dǎo)航、機(jī)器人的位移、化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識(shí)別、計(jì)算機(jī)層析及 X 射線照相術(shù)等方面都有廣泛的應(yīng)用。隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)和矩陣

3、計(jì)算，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 </p><p>　　矩陣是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，不僅在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，在其他學(xué)科中也經(jīng)常遇到。它在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。</p><p>　　矩陣對(duì)角化是矩陣論的重要組成部分，在矩陣論中占有重要的作用，研究矩陣對(duì)角化問題很有

4、實(shí)用價(jià)值，關(guān)于矩陣對(duì)角化問題的研究，這方面的資料和理論已經(jīng)很多。但是他們研究的角度和方法只是某個(gè)方面的研究，沒有進(jìn)行系統(tǒng)的分類歸納和總結(jié)。因此，我就針對(duì)這方面進(jìn)行系統(tǒng)的分類歸納和總結(jié)，對(duì)一些理論進(jìn)行應(yīng)用和舉例，給出算法。特別給出了解題時(shí)方法的選擇。</p><p>　　矩陣的應(yīng)用在現(xiàn)代社會(huì)中是十分廣泛的，本文圍繞有限維線性空間上的線性變換對(duì)角化問題與矩陣可對(duì)角化相互轉(zhuǎn)換進(jìn)行研究．根據(jù)矩陣的多項(xiàng)式對(duì)矩陣對(duì)角化問題進(jìn)

5、行判斷，這種方法不僅為探討矩陣對(duì)角化提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的工具，也把矩陣和有限維空間相結(jié)合．在現(xiàn)代科技中，很多問題都是運(yùn)用此類方式。</p><p>　　矩陣對(duì)角化問題只是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)小問題，但是一個(gè)基礎(chǔ)問題，這樣矩陣可對(duì)角化作為矩陣?yán)碚摾锏淖罨A(chǔ)的知識(shí)，就顯得格外的重要．通過對(duì)《高等代數(shù)》，《科學(xué)計(jì)算方法》等有關(guān)資料的查閱和分析研究，為我們對(duì)判定矩陣的可對(duì)角化的條件提供了相關(guān)依據(jù)和理論.</p>&

6、lt;p>　　文獻(xiàn)[1]和[2]介紹了廣義逆矩陣和一類特殊矩陣可對(duì)角化的判定條件，利用子空間關(guān)于矩陣的最小多項(xiàng)式研究了矩陣可廣義對(duì)角化的充要條件，給出了一種更簡(jiǎn)單的判別僅有兩個(gè)互異特征根的矩陣與對(duì)角陣相似以及求特征向量的方法。</p><p>　　文獻(xiàn)[3]總結(jié)了利用循回陣的性質(zhì)找出一個(gè)矩陣可對(duì)角化的充要條件。任意階矩陣可以對(duì)角化的充要條件是相似于一個(gè)階循回陣， 形式最簡(jiǎn)單的矩陣是對(duì)角陣。矩陣對(duì)角化是線性變

7、換和化二次型到主軸上問題中經(jīng)常遇到并需要解決的一個(gè)關(guān)鍵問題，但不是任何一個(gè)階矩陣都可以對(duì)角化。</p><p>　　文獻(xiàn)[4]總結(jié)了對(duì)矩陣的計(jì)算中用到了對(duì)角化的性質(zhì)。該文詳細(xì)地分析了Doolittle LU分解過程,基于分解過程的特點(diǎn),在MPI（Message-Passing interface）并行環(huán)境下,提出了按直角式循環(huán)對(duì)進(jìn)程進(jìn)行任務(wù)分配的并行求解方法。實(shí)驗(yàn)證明該方法可以有效地減少進(jìn)程間數(shù)據(jù)通信量,從而加快

8、計(jì)算速度。 </p><p>　　文獻(xiàn)[5]—[7] 闡述了矩陣可對(duì)角化的條件以及對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣的可對(duì)角化，從冪等陣及可交換陣的性質(zhì)出發(fā)，討論了矩陣可對(duì)角化的條件，并給出了矩陣只有兩個(gè)特征值的特殊情況下可對(duì)角化的一種簡(jiǎn)單判別方法。矩陣可對(duì)角化在求矩陣的高次冪中有重要應(yīng)用，矩陣的對(duì)角化有多種判別方法，定義了分塊矩陣的初等變換與初等分塊矩陣，給出了非滿秩情況下分塊矩陣可以對(duì)角化的條件。</p><p

9、>　　文獻(xiàn)[8]-[11]在以往關(guān)于矩陣可對(duì)角化的判定條件的基礎(chǔ)上，利用矩陣可以對(duì)角化的判定，以及求矩陣的線性無關(guān)的特征向量完全可以歸納為矩陣乘法的原理，使得矩陣的特征值與特征向量同步求解，從而得出矩陣可對(duì)角化更為直接的簡(jiǎn)單判定，通過討論n階方陣可對(duì)角化的充要條件來簡(jiǎn)化對(duì)其的判斷過程，在研究實(shí)矩陣三角化計(jì)算方法的基礎(chǔ)上給出了復(fù)系數(shù)矩陣上雙對(duì)角化的一種通用計(jì)算方法，以及方陣的另一種解釋。</p><p>　　

10、文獻(xiàn)[12]—[15]作者引入了線性變換可亞對(duì)角化的定義，并給出了線性變換可亞對(duì)角化的充要條件，對(duì)多判定條件加以改進(jìn)，得出更為直接的簡(jiǎn)單判定對(duì)角化的條件。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　本文研究的基本內(nèi)容為:</p><p>　　一、引言，主要包括課題研究的背景、研究意義等。</p><p>　

11、　二、特殊矩陣的可對(duì)角化，包括方陣，單位矩陣，廣義逆矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣等等的求法。</p><p>　　三、n階矩陣的可對(duì)角化，包括求特征值，特征向量，n階矩陣最小多項(xiàng)式的算法。</p><p>　　四、矩陣的分解，包括LU分解，Doolittle分解和Crout分解型，</p><p>　　運(yùn)用矩陣分析的相關(guān)知識(shí)，可以很好分析可對(duì)角化的思路，有助于提高判定的有利條件

12、和提高解題的速度。具備一定的專業(yè)外語知識(shí)和一定的計(jì)算方法能力，同時(shí)，具備一定的求解能力，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件，例如：Matalab等軟件，對(duì)矩陣可對(duì)角化進(jìn)行求解分析。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　一、 先采用文獻(xiàn)研究法，搜集和閱讀大量的相關(guān)文獻(xiàn)，了解國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，吸收新理念，并對(duì)資料進(jìn)行分類整理。再通過實(shí)例分析，對(duì)實(shí)際矩陣進(jìn)行

13、分析、總結(jié)特殊矩陣的判定方法。</p><p>　　二、 研究的主要難點(diǎn)，如何找到恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ绾芜x擇最簡(jiǎn)單的計(jì)算步驟對(duì)矩陣進(jìn)行可對(duì)角化的判定，并求解。</p><p>　　三、 預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)，通過本課題的研究，學(xué)習(xí)用求特征值和特征向量的基本方法對(duì)矩陣進(jìn)行處理，將其矩陣對(duì)角化的思想應(yīng)用于實(shí)際，能夠?qū)Υ髷?shù)據(jù)進(jìn)行合理分解與計(jì)算，提高對(duì)矩陣對(duì)角化的分析判斷能力。</p><

14、p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p><p>　　第七學(xué)期第10周至第11周：收集資料，閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，形成系統(tǒng)材料，完成文獻(xiàn)綜述；翻譯相關(guān)問題的外文文獻(xiàn)。</p><p>　　第七學(xué)期第12周至第14周：深入分析問題，建立研究和解決問題的基本方案和技術(shù)路線，撰寫開題報(bào)告，修改定稿，簽署意見；上交文獻(xiàn)綜述、開題報(bào)告，外文翻譯。</p><p>　　第七學(xué)期

15、第15周至第16周：全面開展課題研究，按照研究方案和路線指導(dǎo)學(xué)生撰寫論文，完成論文初稿。</p><p>　　第八學(xué)期第1周至第8周：在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，對(duì)論文進(jìn)行第一次修改。</p><p>　　第八學(xué)期第9周至第12周：對(duì)論文進(jìn)行第二次修改，并完善定稿。</p><p>　　第八學(xué)期第13周至第15周：做好畢業(yè)論文答辯準(zhǔn)備事項(xiàng)，進(jìn)行答辯。</p>&l

16、t;p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 王新哲，蔣艷杰. 矩陣廣義對(duì)角化的探討[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2009,(4):140-144.</p><p>　　[2] 張力宏，辛大偉.一類特殊矩陣可對(duì)角化的判別及特征向量的求法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2008,（4）:134-136.</p><p>　　[3]

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