§4 對稱矩陣的對角化

1、§4 對稱矩陣的對角化,定理：設(shè) l1, l2, …, lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，則p1, p2, …, pm 線性無關(guān)． （P.120定理2）,可逆矩陣 P ，滿足 P ?1AP = L （對角陣）,AP = PL,,,Api = li pi (i = 1, 2, …, n),A 的特征值,對應(yīng)的特征向量,,,其中

2、,?,,(A?li E) pi = 0,,,矩陣 P 的列向量組線性無關(guān),定理：設(shè) l1, l2, …, lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，則p1, p2, …, pm 線性無關(guān)．（P.120定理2）定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量．（P.123定理4）

3、推論：如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對角陣相似．說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化．（P.118例6）,,定理：設(shè) l1, l2, …, lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，則p1, p2, …, pm 線性無關(guān)．（P.120定理2）定理：設(shè) l1 和 l2 是對

4、稱陣 A 的特征值， p1, p2 是對應(yīng)的特征向量，如果 l1 ≠ l2 ，則 p1, p2 正交．（P.124定理6）證明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 ≠ l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是對稱陣）l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 ? l2)

5、p1T p2 = 0因?yàn)閘1 ≠ l2 ，則 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交．,,,,,,,,,,定理：設(shè) A 為 n 階對稱陣，則必有正交陣 P，使得P ?1AP = PTAP = L，其中 L 是以 A 的 n 個(gè)特征值為對角元的對角陣（不唯一）.（P.124定理7）,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量． （P.123定理4）推論：

6、如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對角陣相似．說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化．,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量． （P.123定理4）推論：如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對角陣相似．說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一

7、定能對角化．,推論：設(shè) A 為 n 階對稱陣，l 是 A 的特征方程的 k 重根，則矩陣 A ?lE 的秩等于 n ? k，恰有 k 個(gè)線性無關(guān)的特征向量與特征值 l 對應(yīng)．,例：設(shè) ，求正交陣 P，使P?1AP = L對角陣.解：因?yàn)?A 是對稱陣，所以 A 可以對角化．求得 A 的特征值 l1 = ?2， l2 = l3 = 1 ．,當(dāng) l1 = ?2

8、時(shí)， 解方程組 (A + 2E) x = 0． ，得基礎(chǔ)解系 ．當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)， 解方程組 (A?E) x = 0． ，得

9、 ．令 ，則 . 問題：這樣的解法對嗎？,當(dāng) l1 = ?2時(shí)，對應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對應(yīng)的特征向量為

10、 .顯然，必有x1⊥x2 ， x1⊥x3 ，但x2⊥x3 未必成立．于是把 x2, x3 正交化：此時(shí)x1⊥h2 ， x1⊥h3 ，h2⊥h3 ．,單位化：當(dāng) l1 = ?2時(shí)，對應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對應(yīng)的特征向量為 .,,

11、,,當(dāng) l1 = ?2時(shí)，對應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對應(yīng)的特征向量為于是 p1, p2, p3 構(gòu)成正交陣從而 ．,把對稱陣 A 對角化的步驟為：求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls ，它們的重?cái)?shù)依次為k1, k2, …, ks （k

12、1 + k2 + … + ks = n）．對每個(gè) ki 重特征值 li ，求方程組 | A?li E | = 0 的基礎(chǔ)解系，得 ki 個(gè)線性無關(guān)的特征向量．把這 ki 個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個(gè)兩兩正交的單位特征向量．因?yàn)閗1 + k2 + … + ks = n ，總共可得 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量．這 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P，便有P ?1AP = L ． L 中對角元

13、的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對應(yīng).,例：設(shè) ，求 An .分析：數(shù)學(xué)歸納法,,,,,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同,從而 A 和 B 的特征值也相同．推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的多項(xiàng)式 j (B) 相似．若 n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l

14、2, …, ln ) 相似，則從而通過計(jì)算j (L) 可方便地計(jì)算j (A).若j (l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩陣）.,,,,,例：設(shè) ，求 An .分析：數(shù)學(xué)歸納法因?yàn)?A 是對稱陣，所以 A 可以對角化．求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3．下面求滿足 P ?1AP = Λ 的可逆矩陣 P ．,下面求滿足

15、 P ?1AP = Λ 的可逆矩陣 P ．當(dāng) l1 = 1 時(shí)， 解方程組 (A?E) x = 0 ． ，得基礎(chǔ)解系 ．當(dāng) l2 = 3 時(shí)， 解方程組 (A?3E) x = 0． ，得基礎(chǔ)解系