§4-1不定積分

1、第四章第四章不定積分不定積分4－1不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)一、原函數(shù)問(wèn)題問(wèn)題1已知真空中的自由落體的瞬時(shí)速度v(t)=gt其中常量g是重力加速度，又知t=0時(shí)路程s=0，求自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t)解s?(t)=v(t)=gt，(1)容易驗(yàn)證s(t)=gt2C，(C為任意常數(shù))滿足(1)；21又因?yàn)閠=0時(shí)s=0，代入上式得C=0所以所求的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=gt221問(wèn)題問(wèn)題2設(shè)曲線y=f(x)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，曲線上

2、任一點(diǎn)處存在切線，且切線斜率都等于切點(diǎn)處橫坐標(biāo)的兩倍，求該曲線方程解y?=2x.(2)容易驗(yàn)證y=x2C，(C為任意常數(shù))滿足(2)；又因?yàn)樵c(diǎn)在曲線上，故x=0時(shí)y=0，代入上式得C=0因此所求曲線的方程為y=x2兩個(gè)問(wèn)題本質(zhì)：已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)F(x)=f(x)，求函數(shù)F(x)定義定義1設(shè)在某區(qū)間I上，F(xiàn)?(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，則I上的函數(shù)F(x)稱為f(x)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)例如：因?yàn)?sinx)?=cosx或

3、d(sinx)=cosxdx，所以sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)；因?yàn)?gt2)?=gt，所以gt2是gt的一個(gè)原函數(shù)；2121因?yàn)?x2)?=2x，所以x2是2x的一個(gè)原函數(shù)二、不定積分二、不定積分例如：對(duì)任意常數(shù)C，gt2C都滿足(1)，x2C都滿(2)，所以gt2C都是gt的原2121函數(shù)；x2C都是2x的原函數(shù)又如：對(duì)任意常數(shù)C，都有(sinxC)?=cosx，所以sinxC也都是cosx的原函數(shù)由此可見(jiàn)，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)并不唯

4、一，而是有無(wú)限個(gè)如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，即F?(x)=f(x)，那么與F(x)相差一個(gè)常數(shù)的函數(shù)G(x)=F(x)C，仍有G?(x)=f(x)，所以G(x)也是f(x)的原函數(shù)反過(guò)來(lái)，設(shè)G(x)是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，那么F?(x)=G?(x)=f(x)，F(xiàn)?(x)G?(x)?0，F(xiàn)(x)G(x)=C，(C為常數(shù))，即G(x)=F(x)C即G(x)與F(x)不過(guò)差一個(gè)常數(shù)總結(jié)正反兩個(gè)方面可得兩個(gè)結(jié)論：(1)若f(x)存在

5、原函數(shù)，則有無(wú)限個(gè)原函數(shù)；(2)若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的全部原函數(shù)構(gòu)成的集合為F(x)C|C為常數(shù).1.不定積分的定義不定積分的定義定義定義2設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的全部原函數(shù)稱為f(x)的不定積分不定積分，在直角坐標(biāo)系中，f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形是一條曲線y=F(x)，這條曲線上任意點(diǎn)(x，F(xiàn)(x))處的切線的斜率F?(x)恰為函數(shù)值f(x)，稱這條曲線為f(x)的一條積分

6、曲線積分曲線f(x)的不定積分F(x)C則是一個(gè)曲線族，稱為積分曲線族積分曲線族平行與y軸的直線與族中每一條曲線的交點(diǎn)處的切線斜率都等于f(x)，因此積分曲線族可以由一條積分曲線通過(guò)平移得到三、不定積分的基本公式三、不定積分的基本公式(1)=xC；(2)x?1C，(??1)；(3)?dx11?????dxx=ln|x|C；(4)=exC；?dxx1?dxex(5)C；(6)=sinxC；??aadxaxxln?xdxcos(7)=－co

7、sxC；(8)=－cotxC；?xdxsin???xdxdxx22cscsin1(9)=tanxC；(10)=secxC；???xdxdxx22seccos1??xdxxtansec(11)=－cscxC；(12)=arctanxC；??xdxxcotcsc??dxx211(13)=arcsinxC??dxx211四、不定積分的性質(zhì)四、不定積分的性質(zhì)因?yàn)閇]?=[k]?=kf(x)，所以?dxxkf)(?dxxf)(性質(zhì)性質(zhì)1被積函數(shù)中

8、的不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)之外，即，(k?0)???dxxfkdxxkf)()(又因?yàn)?=[]?dxxfxf??)]()([21???dxxfdxxf)()(21=[]??[]?=f1(x)?f2(x)，dxxf?)(1?dxxf)(2所以性質(zhì)性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)的不定積分的代數(shù)和，即????????dxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121性質(zhì)2可推廣至有限個(gè)函數(shù)的和差例4求??dxxex)co