四元數(shù)矩陣畢業(yè)論文

1、<p><b>　　引言</b></p><p>　　隨著當(dāng)今時代的進(jìn)步與發(fā)展，數(shù)學(xué)也在跟隨著時代的步伐向前邁進(jìn). 四元數(shù)矩陣在數(shù)學(xué)及其它學(xué)科領(lǐng)域的理論研究中有著廣泛的應(yīng)用，是四元數(shù)體上重要定理，它在矩陣的學(xué)習(xí)過程中占有很重要的地位. 四元數(shù)矩陣的理論對于進(jìn)一步的研究數(shù)學(xué)，對于對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著舉足輕重的作用. 四元數(shù)矩陣的相關(guān)理論比較繁雜，又分生出各種層次的概念，對于本文的主要

2、研究問題并不局限于四數(shù)元矩陣的表面，而是把這一部分進(jìn)行深入的推廣. 四元數(shù)的背景與定義是最基本的討論，要想真正理解四元數(shù)就要從它的產(chǎn)生和發(fā)展入手，四元數(shù)體就是發(fā)展中產(chǎn)生的外延，并且發(fā)展成主要的內(nèi)容，所以對它的定義有必要深入介紹，，. 四元數(shù)矩陣的理論在各個方面的應(yīng)用都比較廣泛，特別是在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上聯(lián)系密切.我們通過運用四元數(shù)矩陣的各理論研究可以把矩陣中的基礎(chǔ)性的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為更為代數(shù)的解決方式，比如四元數(shù)矩陣的特征值、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、

3、奇異值分解以及四元數(shù)矩陣的正定性四元數(shù)矩陣方程.</p><p>　　本課題的研究目的：經(jīng)過對四元數(shù)矩陣的多角度、全面性、多層次的認(rèn)識，使我們對四元數(shù)矩陣更加了解，了解它的定義及背景以及定理證明，在實踐中更加熟練的使用它 ，這也讓我們明白它所具有獨特性和重要性，在我們數(shù)學(xué)學(xué)科中的非同一般的位置. 能夠運用四元數(shù)矩陣的理論解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的有關(guān)于矩陣的一些基本問題.</p><p>　　本

4、課題的研究過程：研究四元數(shù)的背景、意義及定義，接著討論四元數(shù)體上的定義以及定理，最后對四元數(shù)矩陣?yán)碚撨M(jìn)行推廣.</p><p><b>　　1.四元數(shù)的發(fā)展</b></p><p><b>　　1.1背景</b></p><p>　　四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)離不開愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓，是他對四元數(shù)進(jìn)行了開創(chuàng)性的數(shù)學(xué)定義. 四元數(shù)有它本

5、身的獨特性，也就是最有意思的一面，在數(shù)學(xué)學(xué)科中乘法交換律是公認(rèn)的基礎(chǔ)原則，但對四元數(shù)卻是無約束的存在，所以四元數(shù)有它的獨特魅力. 也就是說，四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不能交換延伸. 假如把四元數(shù)的集合研究成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就表示為一個四維空間，相當(dāng)于復(fù)數(shù)為二維空間.四元數(shù)是除環(huán)(除法環(huán)）的一個事例,除了不包含乘法的交換律以外，除法環(huán)與域是類似的. 尤其是，乘法的結(jié)合律一直存在、非零元素一直是唯一的逆元素. 四元數(shù)表示成一個在實數(shù)上的四維結(jié)合

6、代數(shù)（實際上是除法代數(shù)），并且包括復(fù)數(shù)，但是不和復(fù)數(shù)形成結(jié)合代數(shù).四元數(shù)（及其實數(shù)和復(fù)數(shù)）僅僅是有限維的實數(shù)結(jié)合除法代數(shù). 四元數(shù)的不可交換性通常致使一系列使人意外的結(jié)論，比如四元數(shù)的 階多項式可以有大于個不同的根.</p><p>　　四元數(shù)是由哈密爾頓在1843年愛爾蘭展現(xiàn)的. 那是他正探究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可看成平面上的點）,他無法做到三維空間的事例，但是四維就產(chǎn)生四元數(shù). 依據(jù)哈密頓記述，他在10

7、月16日和他的妻子在都柏林的皇家運河（Royal Canal）上散步時一下子想到. 隨后哈密頓馬上把這個方程刻在附近布魯穆橋（Brougham Bridge，現(xiàn)在稱為金雀花橋 Broom Bridge）.這個方程舍棄了交換律，是那是一個極端的想法（當(dāng)時還沒有發(fā)現(xiàn)向量和矩陣）.不僅如此，哈密頓還發(fā)現(xiàn)了向量的內(nèi)外積. 于是，他把四元數(shù)打造成一個有序的四重實數(shù)：一個純量（）和向量（）的結(jié)合. 假如兩個純量部為零的四元數(shù)相乘，得到的純量部就是一

8、開始的兩個向量部的純量積的負(fù)值，然而向量部就是向量積的值，但是它們的重要性一直有待挖掘.</p><p>　　對于四元數(shù)的研究，由于它的廣泛性，所以存在大量的實例對它的推廣，但總體概括來說有兩部分的內(nèi)容：一方面它是復(fù)矩陣代數(shù)的擴(kuò)大，就如實剖析發(fā)展到復(fù)分析那樣充滿活力和朝氣；另一方面它來自許多其他學(xué)科工程的應(yīng)用背景.從1843年英國數(shù)學(xué)家Hamilton建立四元數(shù)理論入手，其最開始的目標(biāo)是為考慮空間矢量找到近似辦理

9、平面題目中使用的復(fù)數(shù)方式. 但因為那是數(shù)學(xué)器材的局限，四元數(shù)最開始只是在剛體定位問題中得到一些相對比較簡單的應(yīng)用，未能解決工程技術(shù)中的實際問題，所以，它的優(yōu)越性那時還未能夠表現(xiàn)出來，在一個世紀(jì)中并未得到什么發(fā)展，更不用說在實際工程中的應(yīng)用. 從20世紀(jì)中期以來，人們把復(fù)平面推行到四維空間后，察覺使用四元數(shù)和四元數(shù)矩陣能夠解決實際中的許多問題.于是關(guān)于四元數(shù)和四元數(shù)矩陣的研究又被無數(shù)學(xué)者推到高潮，成為大家不斷進(jìn)行信息發(fā)掘的熱點問題.<

10、;/p><p><b>　　1.2含義</b></p><p>　　對于四元數(shù)的辯論很對人對哈密頓都是嗤之以鼻，四元數(shù)在開始的地位低入谷底，以為它經(jīng)不過時間的推敲. 但是在20世紀(jì)40年代以后，很多科學(xué)家從迷霧中走出來，不在把它單純的局限于物理學(xué)方面，大家對哈密頓發(fā)現(xiàn)的四元數(shù)有了全新的認(rèn)識，就是在代數(shù)方面的影響. 這樣的事情也發(fā)生在幾何學(xué)中，在非歐幾何還沒發(fā)現(xiàn)前，幾何學(xué)也

11、是陷入了泥潭中，是非歐幾何讓它重新煥發(fā)了光彩.四元數(shù)的獨特之處就是任性的不滿足于乘法交換律，也是首個被發(fā)現(xiàn)的這樣的數(shù)學(xué)目標(biāo). 于是代數(shù)系統(tǒng)就發(fā)生了日新月異的變化，實數(shù)和復(fù)數(shù)不在孤單，而是形成了框架和組合. 任何事情都不是簡單得來的，是經(jīng)過大量的探究得來的，約兩百多種的代數(shù)學(xué)是日思夜想的心血.四元數(shù)經(jīng)過低估，經(jīng)過實踐的洗禮又上升到高峰，已經(jīng)在數(shù)學(xué)和物理方面得到普遍的認(rèn)可，而且成為向量代數(shù)、向量分析和線性結(jié)合代數(shù)理論的開始.</p&g

12、t;<p>　　與其說四元數(shù)是數(shù)學(xué)中的概念，倒不如說它是物理學(xué)中的光輝，當(dāng)剛體力學(xué)不斷完善和發(fā)展，剛體運動分析的理論問題和運動控制的實際問題與四元數(shù)居然完美契合，并且與旋轉(zhuǎn)矩陣的運算與單位四元數(shù)的運算也是大同小異，所以物理學(xué)中很多應(yīng)用都使用了四元數(shù)的概念和推廣，四元數(shù)不再是空洞的理論，變成了有血有肉的豐富理論和實踐體系. 1970年以后，世界慢慢步入計算機(jī)時代，學(xué)科間就不斷進(jìn)行了整合，由于計算機(jī)的豐富性，所以很多以前不被理

13、解和重視的理論又迎來了它們的春天，但是四元數(shù)也有它自身的局限性，四元數(shù)矩陣右特征值存在無限性，然而左特征值又存在不確定性，這些都阻礙了四元數(shù)的發(fā)展，并且在計算方面四元數(shù)矩陣也是繁瑣的，所以四元數(shù)的研究的也是充滿了困難.</p><p>　　2.四元數(shù)的定義與定理</p><p><b>　　2.1四元數(shù)</b></p><p>　　定義2.1.

14、1[1]：四元數(shù)是簡單的超復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)是由實數(shù)加上虛數(shù)單位，，構(gòu)成，并且它們有下面的聯(lián)系：， ，都是和的，即是四元數(shù)一般可表示為，其中是實數(shù).</p><p>　　關(guān)于自身的幾何含義可以理解為一種旋轉(zhuǎn)，此中旋轉(zhuǎn)表示軸與軸相交平面中軸正向向軸正向的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)表示軸與軸相交平面中軸正向向軸正向的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)代表軸與軸相交平面中軸正向向軸正向的旋轉(zhuǎn)，逐一表示旋轉(zhuǎn)的反向旋轉(zhuǎn).</p><p><

15、b>　　2.2四元數(shù)體</b></p><p>　　第一個非交換的體是W.R.Hamilton在1843年給出的，叫做實四元數(shù)體，在同構(gòu)意義下其矩陣形式可表述為</p><p>　　這里是復(fù)數(shù)域，是的共軛復(fù)數(shù). 因此，實四元數(shù)體是上的二階全矩陣環(huán)的子體. 當(dāng)然，這里需要驗證集合關(guān)于矩陣加、乘運算是一個體. 例如，若, 即，則容易證明非奇異，且</p><

16、;p><b>　　.</b></p><p><b>　　設(shè)?是實數(shù)域，記</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這里是虛數(shù)單位，則</b></p><p><b>　　.</b></

17、p><p>　　定義2.2.1[1]設(shè)是一個體，命</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　叫做體的中心.</b></p><p>　　命題2.2.1[1]體的中心是它的一個子域；特別地，.</p><p>　　定義2.2.2[1]一個域叫做形式實域，

18、如果在中關(guān)系式僅當(dāng)時成立.</p><p>　　命題2.2.2[1]設(shè)是一個形式數(shù)域，則</p><p>　　所示的關(guān)于加、乘運算是一個非交換體.</p><p>　　定理2.2.1[1]設(shè)是一個域，則所示的關(guān)于相應(yīng)的加、乘運算是上的一個四元數(shù)體的充分且必要條件是F是一個形式數(shù)域. </p><p>　　命題2.2.3[1]設(shè)是一個形式實域，

19、則.</p><p>　　定理2.2.2[1]設(shè)都是形式實域，則的充分且必要條件是.</p><p>　　定義2.2.3[1]由有理數(shù)域所嵌入的四元數(shù)體叫做有理四元數(shù)體.</p><p>　　定理2.2.3[1]有理四元數(shù)體是最小的四元數(shù)體.</p><p>　　證：設(shè)是任意的一個四元數(shù)體，因，則包含一個與有理數(shù)域同構(gòu)的子域,顯然. 但是有理

20、四元數(shù)體與同構(gòu)，因而存在有理四元數(shù)體到的單射，故知它是最小的四元數(shù)體.</p><p>　　3.四元數(shù)矩陣的一系列理論研究</p><p>　　3.1四元數(shù)矩陣的特征值</p><p>　　定義3.1.1[3]設(shè) 可中心化 , 則 的弱特征多項式 在復(fù)數(shù)域 （其它代數(shù)閉域上也一樣）上的 個根稱為 的特征根. 設(shè), 若存在非零向量 使得 , 則稱為 的左 ( 右

21、) 特征值 , 若既為 的左特征值又為 的右特征值 , 則稱 為 的特征值. </p><p>　　定理3.1.1[3]　設(shè) 可中心化 , ,則下列等價 :</p><p>　　(I) 為 的特征根 ;</p><p>　　(II) 為 的特征根 ;</p><p>　　(III) 為的右特征值 ;</p><p>　

22、　(IV) 為 的重特征多項式的根.</p><p>　　推理1[3]設(shè),則下列等價 :</p><p>　　(I) 為 的特征根 ;</p><p>　　(II)為 的右特征值 ;</p><p>　　(III) 為 的重特征多項式的根 .</p><p>　　推論2[3]設(shè) 可中心化 , , 則下列等價 :<

23、;/p><p>　　(I)為 的特征根 ;</p><p>　　(II)為 的右特征值 ;</p><p>　　(III為 的左特征值 ;</p><p>　　(IV) 為 的特征值 .</p><p>　　注1易知矩陣的右特征值不一定為左特征值 , 反之 , 左特征值也不一定為右特征值.</p><

24、p>　　注2任意四元數(shù)矩陣一定存在復(fù)右特征值, 但不一定存在復(fù)左特征值 , 因此左特征值不是相似不變量.</p><p>　　例如 取，一介矩陣，則只有一個左特征值.</p><p>　　最小多項式與弱特征多項式的根之間的聯(lián)系</p><p>　　定理3.1.2[7]設(shè) 可中心化 , 為的 ,為 的弱特征多項式 , 則</p><p>

25、　　(I) 當(dāng)不是的極大子域時 , 則，在 上的根一致 , 即</p><p>　　含有 的所有特征根 .</p><p>　　(II) 當(dāng)是的極大子域時 , 則存在一個代數(shù)閉域，使得在中的根與在中的根一致 , 即 在上的特征根或者為的根 , 或者其共軛為的根(也可能，同為的根).</p><p>　　證明 (I) 設(shè)不是 的極大子域 .</p>

26、<p>　　當(dāng)為的子域時 , 易見 = , =, 此時 實際上就是實數(shù)域 上的矩陣 ,顯然命題成立 .</p><p>　　當(dāng)不是的子域時 , 由的重行列式等于的復(fù)表示矩陣的行列式 , 即的證明知實際上是 最小多項式 , 這樣 與的根一致 , 又由 滿足交換條件, 則 的特征多項式的平方等于重特征多項式 知結(jié)論成立 .</p><p>　　(II) 設(shè)是的極大子域 , 則易見

27、為一個代數(shù)閉域 , 記為 , 此時.</p><p>　　推論3設(shè) 可中心化 , 則 的最小中心多項式與弱特征多項式的根一致. 即的特征根均為的根.</p><p>　　當(dāng)然，人們會問：四元數(shù)矩陣特征值理論的現(xiàn)狀如何？因此作四點說明：</p><p>　　1)四元數(shù)矩陣的右特征值的存在性、表示以及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定理已經(jīng)完滿解決，但是由于體上矩陣研究的停滯，并沒

28、有引起人們的關(guān)注. 后來，由于謝邦杰的工作，帶動了一些中國年輕學(xué)者探索，他們在未知條件的情況下獨立地進(jìn)行研究，其中以黃禮平的研究較為系統(tǒng). 本章節(jié)的闡述就取自他的文章. </p><p>　　2)除了右特征值外四元數(shù)矩陣特征值的研究，1985年R.M.W.Wood證明了階四元數(shù)矩陣的奇異特征值的存在性定理；2001年，黃禮平探究了二階實四元數(shù)矩陣的左特征值. 但是，黃禮平用定義左特征值，與來自M.P.Cohn的定

29、義有點差別. </p><p>　　3)對右、左特征值的關(guān)系，張福振（1997）、李祥明（1998）都有研究，例如李祥明舉了這樣一個例子：取，則是的一個左特征值，但不是的右特征值. </p><p>　　4)所以對自共軛四元數(shù)矩陣的特征值問題就有了詳盡的敘述. 關(guān)于實四元數(shù)矩陣特征值的情況依舊不夠明朗，環(huán)上矩陣有比較長足的發(fā)展，在其它的方面，由于一般情況下四元數(shù)矩陣右特征值無限性以及左特征

30、值不確定性的難處，因此四元數(shù)矩陣的特征值理論還是處在實驗和探究階段，并沒有足夠合理的解釋方式 和詳盡的理論思緒. </p><p>　　3.2四元數(shù)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型</p><p>　　定理3.2.1[5]復(fù)矩陣方程有唯一解的充分必要條件是和沒有的復(fù)特征值.</p><p>　　Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的Jordan塊也如復(fù)矩陣情形，如關(guān)于的階Jordan塊是如下

31、矩陣：</p><p>　　定理3.2.2[5]設(shè),則相似于一個Jordan形矩陣,即</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此中且除了對角線上Jordan塊的排列次序外，是由唯一確定的.</p><p>　　因此，稱上面的是的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　證：先

32、證Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的存在性. 對用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時，顯而易見，存在性成立. 假設(shè)對所有不大于階的矩陣存在性成立，那么對于,由歸納假設(shè)可知，存在使得</p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　將分塊為,其中，. 下面分為三種情況討論：</p><p>　　1)如果存在，使得，不妨設(shè). 那顯而易見. 因此，存在，使得，.

33、令，則.由此可知</p><p>　　所以，對于應(yīng)用歸納假設(shè)得命題成立. </p><p>　　2)如果，而且是虛數(shù). 因為，因此存在，使得，所以顯而易見有</p><p>　　所以，相似于的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，不妨設(shè)這個Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的主對角線上個數(shù)均為虛部非負(fù)的復(fù)數(shù). </p><p>　　3)如果，且是實數(shù)，不妨設(shè)，由此可見滿足交換

34、化條件，從而滿足中心化條件. 所以相似于一個實矩陣，從而相似于一個Jordan標(biāo)準(zhǔn)型矩陣. </p><p>　　綜上所述，存在性得證，下證唯一性. 由定理可知</p><p>　　由在復(fù)相似變換下的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性，當(dāng)然是由唯一確定的（除了對角Jordan塊的排列順序外），因此由唯一的確定（除了對角Jordan塊的排列順序外）. </p><p>　　定

35、理3.2.3[5]設(shè),,，則四元數(shù)矩陣方程有唯一解的充分必要條件是與沒有公共的右特征值.</p><p>　　3.3四元數(shù)矩陣的奇異值分解</p><p>　　四元數(shù)矩陣?yán)碚摰膬?nèi)容是龐大的，但最主要的內(nèi)容還是四元數(shù)矩陣的奇異值分解，無論是在理論探究還是在四元數(shù)數(shù)值計算上，它的作用都無法替代. 如何證明奇異值分解得存在性，那就要從根本上探究，從上文中可以看出，四元數(shù)矩陣所有的理論論述都能從自

36、身表示出奇異值分解的存在性. 本節(jié)的主要內(nèi)容便是對四元數(shù)矩陣奇異值分解的構(gòu)造進(jìn)行證明，所用到的方法是通過四元數(shù)矩陣的復(fù)表現(xiàn)和友向量，這個方法是目前可以求得詳細(xì)分解式比較有效的方法. </p><p>　　引理3.3.1[10]若，則存在酉矩陣，使得</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，，</b

37、></p><p>　　為矩陣的個非零奇異值. </p><p>　　證：考慮 的復(fù)表示矩陣，顯然為復(fù)數(shù)域上Hermite半正定矩陣. </p><p>　　由此可知，的實特征值成對出現(xiàn)，因此設(shè)為</p><p>　　相應(yīng)于的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為</p><p>　　根據(jù)定理可知， 即為相應(yīng)于的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量&l

38、t;/p><p><b>　　由內(nèi)積定義得</b></p><p>　　所以可知非零且彼此正交. </p><p><b>　　記</b></p><p>　　其中和是由標(biāo)準(zhǔn)正交向量組</p><p>　　擴(kuò)充形成的標(biāo)準(zhǔn)正交基而得到的. </p><p>

39、　　很明顯，均為酉矩陣，并且有</p><p>　　假如記為相應(yīng)于的四元數(shù)矩陣，</p><p><b>　　其中，則由定理可知</b></p><p><b>　　為的奇異值分解. </b></p><p>　　四元數(shù)矩陣奇異值分解的算法：</p><p>　　第一步 給

40、定四元數(shù)矩陣,求出的復(fù)表示矩陣；</p><p>　　第二步 求復(fù)矩陣 的特征值和相于的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，記</p><p><b>　　第三步 計算</b></p><p>　　并擴(kuò)充成的標(biāo)準(zhǔn)正交基，記</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　第四步

41、 利用逆變換，求出. </p><p>　　3.4四元數(shù)矩陣的正定性</p><p>　　定義3.4.1[6]設(shè),如果對任意皆有</p><p>　　則稱為正定四元數(shù)矩陣. </p><p>　　引理3.4.1[6]設(shè)上任意矩陣, 只要有意義 , 有</p><p>　　引理3.4.2[6]設(shè)，則正定的充要條件是對任

42、意,都有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明：,其中</b></p><p>　　由引理3.4.1可知. 所以上式中互為共軛四元數(shù)，所以上式為實數(shù). 故可知屬于的實部. </p><p>　　類似的可知屬于的虛部. 進(jìn)而可知，于是有正定即</p>

43、<p><b>　　. </b></p><p>　　推論1　矩陣正定的充要條件是的自共軛部分為正定矩陣. </p><p>　　推論2若、為正定矩陣 , 則為正定矩陣 ; 若為正實數(shù) , 則為正定矩陣. </p><p>　　推論3設(shè)為可逆矩陣 ,為正定矩陣 , 則為正定矩陣. </p><p>　　證明：由

44、于是正定矩陣，因此對任意,由定理可知有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　令,則,由于正定，所以有,從而，</p><p><b>　　因此正定. </b></p><p>　　推論4若正定 , 則、正定. </p><p>　　證明：1）由于正定

45、，由推理1可知正定，而且, 因此正定，再由推論1可知正定. </p><p>　　2）由定理可知, 因此</p><p><b>　　,</b></p><p>　　由于正定. 所以正定，由推論3可知正定，由上式可知正定，再由推論1可知正定. </p><p>　　推論5正定矩陣的任意主子陣也是正定矩陣. </p&

46、gt;<p>　　引理3.4.3[6]設(shè),則有</p><p>　　引理3.4.4[6]設(shè)是正定四元數(shù)矩陣 ,的的特征值 , 那么有</p><p>　　定義3.4.2[6]設(shè)是正定四元數(shù)矩陣，如果存在非奇異四元數(shù)矩陣,使得，則稱與是合同的. </p><p>　　定理3.4.1[6]設(shè)為四元數(shù)方陣，且對角陣</p><p>&

47、lt;b>　　中，</b></p><p>　　假如與是合同的，則是正定的. </p><p><b>　　證明：因為</b></p><p><b>　　因此對于任意，有</b></p><p><b>　　令</b></p><p>

48、;<b>　　，</b></p><p>　　則有,由引理2可知，從而. 這說明是正定的. 由推論1可知是正定的，又因為與是合同的，即，那么，所以可知，從而有，再由推論3可知正定. </p><p>　　3.5四元數(shù)矩陣方程</p><p>　　四元數(shù)矩陣方程為四元數(shù)矩陣?yán)碚摰闹饕獦?gòu)成成分，因此對比系統(tǒng)的研究從莊瓦金的著作開始，到目前為止雖有很

49、多事情，但是于線性矩陣方程的半正定解、正定解方向，在共軛線性、二次方程的解理論方面，比莊瓦金更深刻的結(jié)論并不多. 所以，本節(jié)闡述莊瓦金的結(jié)果. </p><p>　　引理3.5.1[11]設(shè)，其中，，為正對角矩陣，則得一般解為，其中，，. </p><p>　　引理3.5.2[11]設(shè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)存在，，使得. </p><p>　　引理3.5.3[11]設(shè)，，，

50、則二次共軛矩陣方程有解的充分必要條件是半正定；并且在此條件下，這個方程的一般解為，其中是的半正定平方根，，，，，，且. </p><p>　　引理3.5.4[11]設(shè)是一個體，，，，那么矩陣方程有解的充分必要條件是存在，的逆，，使得；并且在此條件下，這個方程的一般解為</p><p><b>　　，其中</b></p><p><b>

51、;　　或者</b></p><p><b>　　，其中</b></p><p>　　下面闡述線性矩陣方程的一些結(jié)果</p><p>　　引理3.5.5[11]設(shè)，，是右高矩陣，那么矩陣方程有正定自共軛解得充分必要條件是是正定自共軛的；并且在此條件下，這個方程的一般正定自共軛解為</p><p>　　這里是滿足

52、的任意確定的右高矩陣，是任意可乘的正定自共軛四元數(shù)矩陣. </p><p>　　引理3.5.6[11]設(shè)，與矩陣方程</p><p>　　上式有自共軛解的充分必要條件是存在，使得；且在此條件下上式的一般自共軛解為</p><p><b>　　，其中</b></p><p>　　上式有半正定自共軛解得充分必要條件為與，并且

53、在此條件下上式的一般半正定自共軛解為</p><p>　　這里滿足，，是的任一確定的逆. </p><p>　　定理3.5.1[11]設(shè)，，，的奇異解分解，其中，，，，是正對角矩陣，那么矩陣方程</p><p><b>　　(3-5-1）</b></p><p>　　有解的充分必要條件為與，其中，使，叫做的酉正交補(bǔ)；且在

54、此條件下上式的一般解是</p><p><b>　　(3-5-2)</b></p><p>　　這里是的Moore-Penrose逆，是任意的階斜自共軛四元數(shù)矩陣，為的酉正交補(bǔ)，. </p><p>　　證明：假如與，因此容易驗證(3-5-2)所示矩陣為(3-5-1)的解，反之，假如是(3-5-1)的解，則. 令</p><

55、p><b>　　，</b></p><p>　　其中，并且分別用，左，右乘(3-5-1)，于是得</p><p>　　將此第一式與聯(lián)立，解得，其中是斜自共軛的. 所以，由</p><p>　　容易得知(3-5-1)的解具(3-5-2)之形式. </p><p><b>　　類似可證</b>&l

56、t;/p><p>　　引理3.5.7[11]同定理3所設(shè)，則矩陣方程有解的充分必要條件是是斜自共軛的與；并且在此條件下，這個方程的一般解如(3-5-2)所示，其中，其余同定理3.5.3. </p><p>　　由定理3.5.4易得的顯式. 設(shè)，若，則稱之為的列酉逆，記作. 由定理3.5.4可得. </p><p>　　推論3.5.1[11]設(shè)，，，的奇異值分解為，則的列

57、酉逆的一般表示式為</p><p>　　這里，，，，，是滿足的任意自共軛四元數(shù)矩陣，，，而且均為列酉矩陣. </p><p>　　引理3.5.8[11]設(shè)，，那么矩陣方程有解，而且其一般解為</p><p>　　這里，，分別是，的半正定自共軛平方根. </p><p>　　引理3.5.9[11]設(shè)，，，，，的奇異值分解依次為，，，，那么二次共

58、軛矩陣方程 </p><p>　　有解的充分且必要條件是，,為的酉正交補(bǔ)；且在此條件下上式的一般解為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里是任意階斜自共軛四元數(shù)矩陣，，是滿足的列酉四元數(shù)矩陣，是任意可乘的列酉四元數(shù)矩陣，而且</p><p><b>　　，</b><

59、/p><p>　　其中，，，是的任意確定的(1)的逆. </p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　本課題通過討論四元數(shù)以及四元數(shù)矩陣，對四元數(shù)矩陣的一系列理論的定義、證明和推廣加以了詳細(xì)的說明，使我們對四元數(shù)矩陣的相關(guān)理論有了更加深入的理解. 四元數(shù)矩陣的推廣是當(dāng)今數(shù)學(xué)研究的一個課題方向，我們在這里就給出了簡單的說明介紹.

60、但是整個課題的內(nèi)容顯然是缺少了與實際接軌的東西，單純的理論性質(zhì)比較強(qiáng)，只是任何學(xué)科的研究都要是為現(xiàn)實生活服務(wù)，我希望以后能夠在應(yīng)用方向找到更為實際的東西，因此希望以后有現(xiàn)實點的東西能夠加在理論問題的研究之中去，能夠在四元數(shù)矩陣的理論和應(yīng)用方面有一個多角度，全面性，系統(tǒng)性的了解和分析. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]李文亮.四

61、元數(shù)矩陣[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，2002.06</p><p>　　[2]姜同松，陳麗.四元數(shù)體上矩陣的廣義對角化.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1999,20(11)：1203-1210</p><p>　　[3]陳龍玄.四元數(shù)矩陣的特征值和特征向量.煙臺大學(xué)學(xué)報，(自然科學(xué)與工程版)，(3)(1993)，1-8.</p><p>　　[4]謝邦杰.四元數(shù)自共軛矩陣與

62、行列式.吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報.2(1980)，19-34</p><p>　　[5]謝邦杰.體上矩陣的有理簡化形式與Jordan形式的唯一性問題.吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，1978,1:107-116</p><p>　　[6]莊瓦金.體上矩陣?yán)碚搶?dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，2006.06</p><p>　　[7]黃禮平.四元數(shù)矩陣的特征值與奇異值估計.數(shù)學(xué)研究與評

63、論，1992,12:449-454</p><p>　　[8]黃禮平.體上矩陣可中心化的判別定理.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1998,27:526-532</p><p>　　[9]李祥明.四元數(shù)矩陣?yán)碚撝械膸讉€概念間的關(guān)系.數(shù)學(xué)學(xué)報，1998,41：283-289</p><p>　　[10]李祥明.關(guān)于矩陣奇異值分解的注記.數(shù)學(xué)研究，2000,20：311-312</p&

64、gt;<p>　　[11]莊瓦金.四元數(shù)體上的矩陣方程.數(shù)學(xué)學(xué)報，1987,30:688-694</p><p>　　[12]莊瓦金.四元數(shù)矩陣的特征值與奇異不等式.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1988,17:403-407</p><p>　　[13]劉建洲.四元數(shù)體上的矩陣及其優(yōu)化理論.數(shù)學(xué)學(xué)報，1992，35:831-838</p><p>　　[14]Zhuan

65、g W J.Generalized inverse classes of subblocks of inverse matrices for nonsingular bordered matrices over a skew field.Northeastern Math J,1990,6：310-316</p><p>　　[15]Huang L P.The matrix equation over the

66、quaternion field.Lin Alg Appl，1996,234:197-208</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　首先，我要衷心感謝我的指導(dǎo)老師宋老師一個多月來對我辛勤的指導(dǎo)和細(xì)心的講說，在我有疑惑不解的時候，總會聽到宋老師那具有正確建議性的話語，這不僅給我指明了論文的方向，也是對我的信心帶來了極大的鼓舞. 在選題，撰寫，查找

67、資料，再到反復(fù)修改，到最后的定稿，宋老師雖然有很多工作要做，但是還是耐心的給我指導(dǎo)，包括一些文章細(xì)節(jié)的處理，像排版和格式，這說明老師事無巨細(xì)的態(tài)度和對學(xué)生無限的關(guān)愛，對我的幫助真的很大. 在學(xué)術(shù)方面，宋老師有著多年的教學(xué)經(jīng)驗，深厚的學(xué)術(shù)底蘊，有著非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)態(tài)度，對學(xué)生卻是藹可親. 宋老師認(rèn)真的工作態(tài)度和非常正直的為人以及寬廣的胸懷，所以他是我們同學(xué)心目中的楷模，是我們爭相學(xué)習(xí)的奮斗目標(biāo)，要學(xué)習(xí)老師在學(xué)術(shù)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，對人無距離感的人

68、格魅力. 然而這一些經(jīng)歷將影響我以后的工作和學(xué)習(xí)，使我能夠成為一個優(yōu)秀的人，立足于社會，對自己喜歡的事情從一而終. </p><p>　　其次，我要感謝我四年同窗好友5201宿舍的全體成員們，四年的相處讓我們對彼此都有了很多的了解，幫助、談心、聚餐，種種都表現(xiàn)出了我們之間深厚的友誼. 在論文的撰寫及修改的過程中，她們也是給與了我很多的的建議和幫助，在我因為論文而心煩的時候，她們及時給我鼓勵，安撫了我煩躁的心，這對