四元數(shù)體上矩陣數(shù)值特征的研究.pdf

1、四元數(shù)(Quaternion)是由威廉·盧云·哈密頓(William Rowan Hamilton,1805-1865)1843年在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的數(shù)學概念。明確地說，四元數(shù)是繼復數(shù)后又一新的數(shù)系，四元數(shù)體上代數(shù)是復數(shù)域代數(shù)的擴展。然而由于四元數(shù)乘法的不可交換性，造成了它與復數(shù)域上的代數(shù)理論既有一定的聯(lián)系，又有很大的差別，形成了相對獨立的內(nèi)容體系，四元數(shù)代數(shù)問題涉及抽象的理論研究與具體的實踐應用兩個方面。
　　 一個半世紀以來，數(shù)學

2、家和物理學家們對四元數(shù)的研究一直沒有停止過。尤其近30年來，四元數(shù)體上代數(shù)問題已經(jīng)引起了數(shù)學和物理研究工作者的廣泛興趣，四元數(shù)體上的許多問題已經(jīng)被研究，比如四元數(shù)體上的多項式、行列式、特征值的定位與估計、四元數(shù)代數(shù)方程等。不僅僅由于四元數(shù)乘積的非交換特性這一現(xiàn)象引起了人們對四元數(shù)代數(shù)問題的廣泛興趣，同時還因為四元數(shù)本身在眾多的應用問題中也存在廣泛的聯(lián)系，例如：四元數(shù)在量子力學，剛體力學方面的應用，在計算機圖形圖像處理和識別方面的應用，在

3、空間定位方面的應用等等，也促使人們對四元數(shù)代數(shù)問題加以研究。本學位論文較為系統(tǒng)地分析了四元數(shù)體上一些重要的代數(shù)特征，主要研究內(nèi)容包括以下幾點：
　　 (1)對四元數(shù)矩陣的對角化進行研究，借助于實數(shù)域與復數(shù)域上的矩陣同時對角化的一些結(jié)論及方法，同時根據(jù)四元數(shù)本身的特性加以改進，獲得了四元數(shù)體上正規(guī)矩陣與自共軛矩陣矩陣同時對角化的充要條件。最后本章又研究了幾類比較特殊的矩陣同時對角化的問題。
　　 (2)在四元數(shù)體上正規(guī)矩陣

4、概念以及相似分解的基礎上，給出了四元數(shù)正規(guī)矩陣的一些性質(zhì)和判定準則。同時，還利用弱直積的性質(zhì)得到了四元數(shù)正規(guī)矩陣酉相似于準對角矩陣的充分條件。最后討論了四元數(shù)體上正規(guī)矩陣特征值不等式的幾個定理，給出了正規(guī)矩陣右特征值實部上下界的一個估計以及右特征值范數(shù)上下界的一個估計。
　　 (3)借助于四元數(shù)體上斜自共軛矩陣的概念，給出了斜自共軛四元數(shù)矩陣的一些性質(zhì)與判定準則，得到了斜自共軛四元數(shù)矩陣的實表示、酉相似分解以及特征值的幾個定理。