四元數(shù)體上矩陣數(shù)值特征的研究.pdf

1、四元數(shù)(Quaternion)是由威廉·盧云·哈密頓(William Rowan Hamilton,1805-1865)1843年在愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念。明確地說(shuō)，四元數(shù)是繼復(fù)數(shù)后又一新的數(shù)系，四元數(shù)體上代數(shù)是復(fù)數(shù)域代數(shù)的擴(kuò)展。然而由于四元數(shù)乘法的不可交換性，造成了它與復(fù)數(shù)域上的代數(shù)理論既有一定的聯(lián)系，又有很大的差別，形成了相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容體系，四元數(shù)代數(shù)問(wèn)題涉及抽象的理論研究與具體的實(shí)踐應(yīng)用兩個(gè)方面。
　　 一個(gè)半世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)

2、家和物理學(xué)家們對(duì)四元數(shù)的研究一直沒(méi)有停止過(guò)。尤其近30年來(lái)，四元數(shù)體上代數(shù)問(wèn)題已經(jīng)引起了數(shù)學(xué)和物理研究工作者的廣泛興趣，四元數(shù)體上的許多問(wèn)題已經(jīng)被研究，比如四元數(shù)體上的多項(xiàng)式、行列式、特征值的定位與估計(jì)、四元數(shù)代數(shù)方程等。不僅僅由于四元數(shù)乘積的非交換特性這一現(xiàn)象引起了人們對(duì)四元數(shù)代數(shù)問(wèn)題的廣泛興趣，同時(shí)還因?yàn)樗脑獢?shù)本身在眾多的應(yīng)用問(wèn)題中也存在廣泛的聯(lián)系，例如：四元數(shù)在量子力學(xué)，剛體力學(xué)方面的應(yīng)用，在計(jì)算機(jī)圖形圖像處理和識(shí)別方面的應(yīng)用，在

3、空間定位方面的應(yīng)用等等，也促使人們對(duì)四元數(shù)代數(shù)問(wèn)題加以研究。本學(xué)位論文較為系統(tǒng)地分析了四元數(shù)體上一些重要的代數(shù)特征，主要研究?jī)?nèi)容包括以下幾點(diǎn)：
　　 (1)對(duì)四元數(shù)矩陣的對(duì)角化進(jìn)行研究，借助于實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域上的矩陣同時(shí)對(duì)角化的一些結(jié)論及方法，同時(shí)根據(jù)四元數(shù)本身的特性加以改進(jìn)，獲得了四元數(shù)體上正規(guī)矩陣與自共軛矩陣矩陣同時(shí)對(duì)角化的充要條件。最后本章又研究了幾類比較特殊的矩陣同時(shí)對(duì)角化的問(wèn)題。
　　 (2)在四元數(shù)體上正規(guī)矩陣

4、概念以及相似分解的基礎(chǔ)上，給出了四元數(shù)正規(guī)矩陣的一些性質(zhì)和判定準(zhǔn)則。同時(shí)，還利用弱直積的性質(zhì)得到了四元數(shù)正規(guī)矩陣酉相似于準(zhǔn)對(duì)角矩陣的充分條件。最后討論了四元數(shù)體上正規(guī)矩陣特征值不等式的幾個(gè)定理，給出了正規(guī)矩陣右特征值實(shí)部上下界的一個(gè)估計(jì)以及右特征值范數(shù)上下界的一個(gè)估計(jì)。
　　 (3)借助于四元數(shù)體上斜自共軛矩陣的概念，給出了斜自共軛四元數(shù)矩陣的一些性質(zhì)與判定準(zhǔn)則，得到了斜自共軛四元數(shù)矩陣的實(shí)表示、酉相似分解以及特征值的幾個(gè)定理。