四元數(shù)體上幾類約束矩陣方程問題研究.pdf

1、線性矩陣方程的求解問題及相應(yīng)的最小二乘問題是近年來數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域中研究和討論的重要課題之一，它在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，系統(tǒng)識(shí)別，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，自動(dòng)控制理論，振動(dòng)理論等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．線性矩陣方程的最小二乘解一般來說不是唯一的，但它的極小范數(shù)最小二乘解一般來說是唯一的，這里的“范數(shù)”指的是矩陣Frobenius范數(shù)．本篇博士論文系統(tǒng)地研究了幾類約束四元數(shù)矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解，具體描述為： 問題I求X∈S使得S表示四元數(shù)矩陣方程 A×

2、B=C在約束四元數(shù)矩陣集合上的最小二乘解集合． 問題II求[X,Y]∈S使得S表示四元數(shù)矩陣方程 A×B+CYD=E在約束四元數(shù)矩陣集合上的最小二乘解集合． 問題Ⅲ求[X,Y]∈S使得S表示四元數(shù)矩陣方程 A×AT+BYBT=C在約束四元數(shù)矩陣集合上的最小二乘解集合． 問題IV求X∈S使得S表示四元數(shù)矩陣方程 (A×B,C×D)=(E,F)在約束四元數(shù)矩陣集合上的最小二乘解集合． 本文主要利用多種矩陣分解

3、相結(jié)合和矩陣的Moore-Penrose廣義逆，Kronecker積和拉直算子的方法分別得到了問題I，II，Ⅲ，IV的解，主要研究成果如下： 1.建立了四元數(shù)矩陣對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解．基于有限維內(nèi)積空間的正交投影定理，同時(shí)運(yùn)用四元數(shù)矩陣對(duì)的廣義奇異值分解(GSVD-Q)和標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD-Q)，將問題I，II，Ⅲ中不相容四元數(shù)矩陣方程(組)在給定矩陣集合上的最小二乘問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為相容四元數(shù)矩陣方程的求解問題，并得到了相應(yīng)的最小二

4、乘解的通解表達(dá)式．由該表達(dá)式并結(jié)合四元數(shù)矩陣的Frobenius范數(shù)的正交不變性，得到了問題I，II，Ⅲ的解的解析表達(dá)式． 2.利用矩陣的Moore-Penrose廣義逆，Kronecker積，拉直算子和四元數(shù)矩陣的復(fù)表示，結(jié)合約束矩陣的基矩陣，將問題I，II，IV中四元數(shù)矩陣方程約束最小二乘問題化成無約束最小二乘問題，并得到了相應(yīng)的最小二乘解的通解表達(dá)式和極小范數(shù)最小二乘解的表達(dá)式． 對(duì)于求線性實(shí)矩陣方程或矩陣方程組在

5、約束實(shí)矩陣集合上的最小二乘解，許多文獻(xiàn)利用傳統(tǒng)的矩陣分解方法或巧妙地運(yùn)用廣義奇異值分解(GSVD)、商奇異值分解(QSVD)或標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD)等矩陣分解方法得到了其通解表達(dá)式，但是利用這些表達(dá)式很難求出問題I，II，Ⅲ中提到的極小范數(shù)最小二乘解，這是因?yàn)橐话愕姆瞧娈惥仃嚥⒉粷M足Frobenius范數(shù)的正交不變性．近幾年來，有一系列文獻(xiàn)基于有限維內(nèi)積空間的正交投影定理，同時(shí)運(yùn)用GSVD和CCD這兩個(gè)矩陣分解方法，巧妙地克服了這個(gè)困難

6、，并得到了問題I，II，Ⅲ中提到的極小范數(shù)最小二乘解的解析表達(dá)式．本文將這一技術(shù)推廣到四元數(shù)體上，首先建立了四元數(shù)矩陣對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD-Q)，其次基于有限維內(nèi)積空間的正交投影定理，同時(shí)運(yùn)用四元數(shù)矩陣對(duì)的廣義奇異值分解(GSVD-Q)和標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD-Q)，得到了問題I，II，Ⅲ中的約束四元數(shù)矩陣方程的最小二乘解和極小范數(shù)最小二乘解．這是對(duì)已有研究成果的重要補(bǔ)充和完善． 利用傳統(tǒng)的矩陣分解方法似乎很難求出問題I，II

7、，IV中實(shí)矩陣方程A×B+CYD=E或矩陣方程組(A×B，CXD)=(E，F(xiàn))在約束實(shí)矩陣(例如對(duì)稱矩陣)集合上的極小范數(shù)最小二乘解，我們?cè)谝延屑夹g(shù)即利用矩陣的Moore-Penrose廣義逆，Kronecker積和拉直算子，結(jié)合約束矩陣的基矩陣，將問題I，II，IV中實(shí)矩陣方程約束最小二乘問題化成無約束最小二乘問題，并得到了相應(yīng)的最小二乘解的通解表達(dá)式和極小范數(shù)最小二乘解的表達(dá)式的基礎(chǔ)上，將這一方法推廣到求四元數(shù)體上約束矩陣方程的極小