矩陣數(shù)值特征和正定矩陣的研究.pdf

1、矩陣計(jì)算和矩陣分析在計(jì)算數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，控制理論，計(jì)算機(jī)圖形圖像處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本文主要研究了矩陣數(shù)值特征的估計(jì)和正定矩陣的性質(zhì)及判別法，主要內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn)如下：
　　 1.對(duì)于任意的復(fù)矩陣M∈Mn(C)，我們可以將他寫(xiě)成如下形式M=(Ak×kB(n-k)C(n-k)×kD(n-k)×(n-k),(1≤k≤n-1),其中Ak×k表示M的k階順序主子陣.為方便，我們用A，B，C和D分別代表Ak×k，Bk(n-k),C(n-k

2、)×k和D(n-k)×(n-k),如果其滿(mǎn)足T(M)=｜trM｜2-(n-1)·min(‖A‖2F+D‖2F+2‖BF‖F(xiàn)‖C‖F(xiàn))＞0，則我們稱(chēng)M為T(mén)D矩陣，記TD矩陣的全體為T(mén)Dn.對(duì)于TD矩陣，證明了其所有特征值都位于一個(gè)圓盤(pán)之中，較經(jīng)典的結(jié)果有計(jì)算方便的特點(diǎn).
　　 2.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的復(fù)矩陣M∈Mn(C)，其也被寫(xiě)成如上形式，可得其所有特征值都位于如下一個(gè)圓盤(pán)之中｛z∈C:｜z-trM/n≤√n-1/n〔‖M

3、‖2F-｜trM｜2/n-max1≤k≤n-1(‖Bk×k(n-k)‖F(xiàn)-‖C(n-k)×k‖F(xiàn))〕}并將之用于控制理論當(dāng)中，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的簡(jiǎn)捷判據(jù)，給出了數(shù)值算例.
　　 3.基于一些線(xiàn)性代數(shù)的基本理論，得到了矩陣最小奇異值的兩個(gè)估計(jì)，第一個(gè)估計(jì)計(jì)算簡(jiǎn)單，且較為準(zhǔn)確.第二個(gè)估計(jì)計(jì)算稍微復(fù)雜，但較其它關(guān)于最小奇異值估計(jì)的結(jié)果要精確些.
　　 4.基于一些正定矩陣的理論，推廣或改進(jìn)了一些經(jīng)典的正定矩陣的性質(zhì)，給出了正定矩