矩陣優(yōu)化問題的數(shù)值算法.pdf

1、矩陣優(yōu)化問題(Matrix Optimization Problems)是指目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)中含有矩陣變量的優(yōu)化問題，這類問題大量出現(xiàn)在工程計算、金融分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘、高維統(tǒng)計等領(lǐng)域.伴隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨，矩陣優(yōu)化(Matrix Optimization)逐漸成為最優(yōu)化領(lǐng)域的一個重要分支.
　　在本論文中我們研究了三類矩陣優(yōu)化問題的數(shù)值算法，包括求解一類l22-lpp矩陣極小化問題的光滑化Majorization方法、

2、求解一類半定二次規(guī)劃逆問題的交替方向方法、求解一類阻尼陀螺特征值逆問題的基于加速鄰近梯度策略的增廣Lagrange算法.本論文的主要內(nèi)容概括如下:
　　1.論文的第三章研究了求解一類l22-lpp矩陣極小化問題的光滑化Majorization方法，其中l(wèi)22-lpp模型是求解矩陣秩極小化問題的一類非凸正則化模型.首先，借助問題的一階和二階必要條件給出了問題局部最優(yōu)解處非零奇異值的下界估計.然后，使用光滑化技術(shù)和Majorizati

3、on算法來改善lpp矩陣擬范數(shù)的分析性質(zhì)，同時構(gòu)造對應(yīng)的光滑化模型、設(shè)計光滑化Majorization算法.收斂性定理表明:由算法生成的迭代點列的任一聚點均滿足l22-lpp矩陣極小化問題的一階必要條件.最后，將提出的算法與非零奇異值的下界估計相結(jié)合應(yīng)用于求解矩陣完整化問題.
　　2.論文的第四章研究了一類半定二次規(guī)劃逆問題，并且針對此問題提出了一個交替方向方法.在這一方法中，一個方向的子問題具有顯式解，而另一方向的子問題可以在一

4、些假設(shè)條件下轉(zhuǎn)化為一個定義在低維半正定錐上的嚴(yán)格凸半定二次規(guī)劃問題.進(jìn)一步給出了求解此矩陣優(yōu)化子問題的譜投影梯度算法并證明了其收斂性.數(shù)值結(jié)果表明:與牛頓類算法相比，本論文提出的算法容易操作和編寫相應(yīng)程序，能夠快速地得到問題的最優(yōu)解.
　　3.論文的第五章在增廣Lagrange算法框架下考慮阻尼陀螺特征值逆問題的求解算法，其中子問題用加速鄰近梯度算法求解.在通常的假設(shè)條件下，證明了算法的全局收斂性.在沒有任何正則性條件的假設(shè)下，通