數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)--具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型

1、<p>　　注：任務(wù)書(shū)由指導(dǎo)教師填寫(xiě)。</p><p>　題　目具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型</p><p>　1、課程設(shè)計(jì)的目的數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)完《數(shù)學(xué)建?！氛n程后進(jìn)行的一次全面的綜合訓(xùn)練，是一個(gè)非常重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。</p><p>　課程設(shè)計(jì)的內(nèi)容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術(shù)要求、工作要求等）根據(jù)指導(dǎo)教師所

2、下達(dá)的課程設(shè)計(jì)題目和課程設(shè)計(jì)要求，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成設(shè)計(jì)任務(wù)；撰寫(xiě)詳細(xì)的課程設(shè)計(jì)論文一份。</p><p>　3、主要參考文獻(xiàn)【1】姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），高等教育出版社，北京。【2】壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建模——方法與范例，西安交大出版社?！?】（美）JOHN A.QUELCH 等著 呂—林 等譯，市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)管理教程和案例, 北京大學(xué)出版社 2000?！?】戴永良 廣告績(jī)效評(píng)估，中國(guó)戲劇出版社，2001。 <

3、/p><p>　4、課程設(shè)計(jì)工作進(jìn)度計(jì)劃</p><p>　指導(dǎo)教師（簽字）日期年 月 日</p><p>　教研室意見(jiàn)：年 月 日</p><p>　學(xué)生（簽字）： 接受任務(wù)時(shí)間： 2014 年 12 月 15 日</p><p><b>　　摘要</b></p&

4、gt;<p>　　廣告，就是廣而告知的意思。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，行業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越激烈，為了提高利潤(rùn)，廣告成為了重要的競(jìng)爭(zhēng)工具，也是企業(yè)培育市場(chǎng)、培養(yǎng)品牌的重要方式。不同的行業(yè)、不同的產(chǎn)品、甚至同一產(chǎn)品的不同生命周期，廣告的投放時(shí)間、投放程度、投放市場(chǎng)的選擇都是千差萬(wàn)別的。今天我們從數(shù)學(xué)建模角度結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)研究產(chǎn)品廣告費(fèi)用分配對(duì)銷(xiāo)量及利潤(rùn)的影響，建立廣告投入策略的模型，討論了不確定環(huán)境下使得公司獲利最大的最優(yōu)廣告費(fèi)投入量

5、。</p><p>　　并用模擬近似法進(jìn)行應(yīng)用實(shí)例分析，從而得到模型參數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)策略的影響．</p><p>　　本文還進(jìn)一步考慮了模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并根據(jù)提出的缺點(diǎn)，對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步改進(jìn)，并提供了一些相關(guān)的評(píng)估方法。</p><p>　　[關(guān)鍵詞]：廣告費(fèi)用; 市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)；銷(xiāo)量；利潤(rùn)；優(yōu)化模型；增長(zhǎng)因子</p><p><b>　

6、　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p><b>　　一丶問(wèn)題重述1</b></p><p><b>　　二丶符號(hào)說(shuō)明2</b></p><p><b>　　三、問(wèn)題分析2</b></p>

7、<p><b>　　四、模型假設(shè)3</b></p><p>　　五、模型建立與求解4</p><p><b>　　六、結(jié)果解釋6</b></p><p><b>　　七、實(shí)例分析6</b></p><p><b>　　八丶模型評(píng)估9</b&

8、gt;</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p><b>　　一丶問(wèn)題重述</b></p><p>　　甲乙兩公司通過(guò)廣告來(lái)競(jìng)爭(zhēng)銷(xiāo)售商品的數(shù)量，廣告費(fèi)分別是x和y。設(shè)甲乙公司商品的售量在兩公司總售量中占得份額，是它們的廣告費(fèi)在總廣告費(fèi)中所占份額的函數(shù)和。又設(shè)公司的收入與售量成正比，從收入中扣除廣告

9、費(fèi)后即為公司的利潤(rùn)。試構(gòu)造，模型的圖形，并討論甲公司怎樣確定廣告費(fèi)才能使利潤(rùn)最大。（1）令，則。畫(huà)出f(t)的示意圖。（2）寫(xiě)出甲公司利潤(rùn)的表達(dá)式p(x)。對(duì)于一定的y，使p(x)最大的x的最優(yōu)值應(yīng)滿(mǎn)足什么關(guān)系。用圖解法確定這個(gè)最優(yōu)值。</p><p><b>　　二丶符號(hào)說(shuō)明</b></p><p>　　k、c: 任意常數(shù)；</p><p&g

10、t;　　x、y:甲、乙兩公司各自投入的廣告費(fèi)；</p><p><b>　　t: ；</b></p><p>　　p(x): 甲公司投入廣告后獲得的利潤(rùn)。</p><p><b>　　三、問(wèn)題分析</b></p><p>　　廣告對(duì)于任何產(chǎn)品它的最終目的是提高銷(xiāo)售量，進(jìn)而使銷(xiāo)售利潤(rùn)上升。</p

11、><p>　　現(xiàn)實(shí)生活中，影響銷(xiāo)售數(shù)量的因素有很多，包括市場(chǎng)的自然變動(dòng)、價(jià)格因素、產(chǎn)品或者服務(wù)的性能和質(zhì)量、廣告的質(zhì)量和密度、銷(xiāo)售網(wǎng)絡(luò)的密度和質(zhì)量、行業(yè)特點(diǎn)等等。但在實(shí)證研究的過(guò)程中我們無(wú)法把所有因素都考慮在內(nèi)，因此我們?cè)谧瞿Ｐ头治銮凹僭O(shè)銷(xiāo)售數(shù)量只受廣告費(fèi)用的影響，并且產(chǎn)品所做的廣告在一定意義上都是成功的。</p><p>　　下面我們通過(guò)對(duì)銷(xiāo)售與利潤(rùn)之間數(shù)量關(guān)系的分析，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系模型

12、，利用甲乙兩公司銷(xiāo)售的函數(shù)，用求導(dǎo)，平移函數(shù)圖像地方法，求出相應(yīng)的利潤(rùn)最值問(wèn)題。</p><p>　　利潤(rùn)=收入-廣告費(fèi)，利用這個(gè)等式，建立甲公司利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)已知的關(guān)系，求導(dǎo)，得駐點(diǎn)，進(jìn)而得最值。</p><p><b>　　四、模型假設(shè)</b></p><p>　　1. 銷(xiāo)售數(shù)量只受廣告費(fèi)用的影響，且產(chǎn)品所做的廣告在一定意義上都是

13、成功的，商家的信譽(yù)度和產(chǎn)品質(zhì)量是良好的。</p><p>　　2. 不考慮市場(chǎng)環(huán)境的突變及同類(lèi)產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)，有且僅有這兩個(gè)公司通過(guò)廣告競(jìng)爭(zhēng)銷(xiāo)售該商品。</p><p>　　3.產(chǎn)品的銷(xiāo)售過(guò)程和宣傳力度均為連續(xù)過(guò)程，若某公司廣告費(fèi)用為0，則商品銷(xiāo)售額也是0。</p><p>　　4.廣告具有立時(shí)性，一旦宣傳就起效應(yīng)；</p><p>　　5.利潤(rùn)

14、與銷(xiāo)量成正比，且比例系數(shù)為k。商品的銷(xiāo)售速度是因作廣告而增加，但是這種增加有一定的限度。廣告只能影響該產(chǎn)品在市場(chǎng)上尚未達(dá)到飽和的部分，當(dāng)商品在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷(xiāo)售速度也趨于它的上限值。</p><p>　　6.假設(shè)停止廣告宣傳后，銷(xiāo)售速度不會(huì)達(dá)到飽和速度。</p><p>　　7.產(chǎn)品量是充足的，廣告的宣傳力度和宣傳時(shí)間相對(duì)固定；</p><p>　　8. 自然衰

15、減是銷(xiāo)售速度的一種性質(zhì)，即商品銷(xiāo)售速度隨銷(xiāo)售率的增加而減小。</p><p><b>　　五、模型建立與求解</b></p><p><b>　　問(wèn)題（1）：</b></p><p>　　令，帶入得，使用MATLAB軟件，得到的示意圖</p><p><b>　　結(jié)果：</b>

16、</p><p>　　f(t)圖形以為中心對(duì)稱(chēng)，如圖實(shí)線(xiàn)或虛線(xiàn)所示。</p><p>　　由x,y的一般性，以下設(shè)f（t）為實(shí)線(xiàn)形狀。</p><p><b>　　問(wèn)題（2）：</b></p><p>　　設(shè)甲公司廣告費(fèi)用為x,以公司廣告費(fèi)用為y(y是常數(shù))。</p><p>　　則甲公司銷(xiāo)量為,

17、銷(xiāo)售額為，(k是常數(shù)）。</p><p><b>　　利潤(rùn)p(x)為：。</b></p><p>　　依題意即是要求p（x）取得最大值的點(diǎn)。</p><p><b>　　方法一：</b></p><p><b>　　由可得，</b></p><p>　　

18、取任意常數(shù)c，，則：</p><p>　　曲線(xiàn)族g（t）中與f（t）相切的那一條曲線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)為，。</p><p><b>　　如圖：</b></p><p><b>　　方法二：</b></p><p>　　由f（t）~t圖形做出下圖，再作直線(xiàn)，在曲線(xiàn)上找一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)，使過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)平行于h

19、（x），即為所求：</p><p>　　結(jié)果：按方法一或者方法二都可以得到結(jié)果。如圖，即為所求，即產(chǎn)品投資費(fèi)用為時(shí)甲公司獲得的利潤(rùn)最大。</p><p><b>　　六、結(jié)果解釋</b></p><p>　　產(chǎn)品銷(xiāo)售中的廣告投入選擇與費(fèi)用分配一直是企業(yè)面臨的一大難題，如何將其進(jìn)行合理分配不僅體現(xiàn)了廣告業(yè)務(wù)人員的決策意識(shí)，也是企業(yè)利潤(rùn)取得最大化的

20、重要保障，在廣告費(fèi)用投入準(zhǔn)則中我們要知道既不是投入越多，收獲也就更多，而是要采取理性選擇，在廣告費(fèi)用投入越少的情況下使得利潤(rùn)最大，總而言之，廣告在產(chǎn)品銷(xiāo)售環(huán)節(jié)中已經(jīng)起著舉足輕重的作用，而且隨著社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)的激烈加劇，它的重要性還會(huì)上升。</p><p>　　本模型可以有效幫助決策者大致估算廣告投入費(fèi)用，提高廣告費(fèi)用的投入產(chǎn)出比。</p><p><b>　　七、實(shí)例分析</b&

21、gt;</p><p>　　究竟如何分配才能使效益最大化了，我們舉例說(shuō)明一下：</p><p>　　某裝潢公司以每桶20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批彩漆，想通過(guò)做廣告使銷(xiāo)售量有一個(gè)增長(zhǎng).根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，彩漆售價(jià)與預(yù)期銷(xiāo)售量的關(guān)系見(jiàn)表一（來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)），廣告費(fèi)與銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子的關(guān)系見(jiàn)表二，其中銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子意義為：實(shí)際銷(xiāo)售量等于預(yù)期銷(xiāo)售量乘以銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子.現(xiàn)問(wèn)廣告費(fèi)與銷(xiāo)售價(jià)分別為多少時(shí)利潤(rùn)最大？</p>

22、<p>　　根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，通過(guò)曲線(xiàn)擬合得到預(yù)期銷(xiāo)售量與售價(jià)、銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子與廣告費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系，并建立以售價(jià)和廣告費(fèi)為二元變量的利潤(rùn)函數(shù)，最后求極值得到問(wèn)題的解. </p><p><b>　　第一步：</b></p><p>　　根據(jù)表中數(shù)據(jù)可預(yù)設(shè)銷(xiāo)售量為線(xiàn)性函數(shù)t(x)=ax+b,</p><p>　　設(shè)銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子為二次函

23、數(shù)z(y)=cy^2+dy+e.</p><p><b>　　第二步：</b></p><p>　　利用數(shù)學(xué)軟件中曲線(xiàn)擬合功能求出</p><p><b>　　t(x)=ax+b</b></p><p>　　其中a≈-513.33, b≈50422.22.</p><p>　

24、　其中c≈-4.25*10ˉ10,d≈4.09*10ˉ5,e≈1.02.</p><p><b>　　第三步：</b></p><p>　　由于利潤(rùn)=實(shí)際銷(xiāo)售收入-購(gòu)進(jìn)彩漆費(fèi)用-廣告費(fèi)用，故設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為：</p><p>　　將第二步中t(x)和z(y)代入得:</p><p>　　其中a,b,c,d,e分別如第二步所示

25、。</p><p>　　分別將利潤(rùn)函數(shù)對(duì)x和y求偏導(dǎo)并令其等于零得：并將a,b,c,d,e的值代入得：x≈59.11, y≈46620</p><p>　　所以，當(dāng)投入約46620元廣告費(fèi)，實(shí)際售價(jià)約為59.11元時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)獲最大利潤(rùn)約為1525600元. </p><p>　　通過(guò)實(shí)例研究，分析可得如下結(jié)論：</p><p>　　相

26、關(guān)關(guān)系證明了假設(shè)5利潤(rùn)與銷(xiāo)量成正比，以及其他方面實(shí)例也與模型符合。</p><p><b>　　八丶模型評(píng)估</b></p><p><b>　　模型的優(yōu)點(diǎn)：</b></p><p>　　1、易于推廣，模型構(gòu)思巧妙，能準(zhǔn)確得出最佳廣告費(fèi)；</p><p>　　2、應(yīng)用范圍廣，可應(yīng)用各種新產(chǎn)品的市場(chǎng)銷(xiāo)

27、售計(jì)劃；</p><p>　　3、基本模型對(duì)問(wèn)題的描述精確、合理，推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，理論性強(qiáng)。</p><p>　　模型的缺點(diǎn)以及改進(jìn)方法: </p><p>　　1：此模型是理想化的模型，k的不確定性使這個(gè)模型比較粗糙，這里只是簡(jiǎn)單的使收入與銷(xiāo)售成線(xiàn)性的正比關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，可以再細(xì)微的調(diào)查相關(guān)數(shù)據(jù)，得出一個(gè)更精確的函數(shù)關(guān)系。</p><p>　

28、　2.建模前假設(shè)的銷(xiāo)售額不受其他因素的影響，使研究的精準(zhǔn)性受到了限制。因此廣告費(fèi)用與利潤(rùn)的深層關(guān)系還有待進(jìn)一步的研究。 </p><p>　　3.上述模型說(shuō)明了廣告費(fèi)與銷(xiāo)量呈正相關(guān)關(guān)系。但從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度講，任何現(xiàn)實(shí)投入都存在邊際產(chǎn)出的問(wèn)題。也就是說(shuō)，廣告的費(fèi)用投入同樣應(yīng)該考慮邊際產(chǎn)出，過(guò)度的投入不但不會(huì)使投入產(chǎn)出比增加，相反會(huì)引起降低，使產(chǎn)品的生產(chǎn)流通成本增加。所以廣告費(fèi)用的多少，應(yīng)該與企業(yè)的生產(chǎn)流通規(guī)模相適應(yīng)。

29、正確利用模型，科學(xué)投入。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　【1】姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），高等教育出版社，北京。</p><p>　　【2】壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建?！椒ㄅc范例，西安交大出版社。</p><p>　　【3】（美）JOHN A.QUELCH 等著 呂—林 等譯，市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)管理教