信息與計算科學(xué)畢業(yè)論文無約束優(yōu)化的改進變尺度算法

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文檔簡介

1、　　本科畢業(yè)論文　?。?0 屆）　　無約束優(yōu)化的改進變尺度算法 　　所在學(xué)院 <p&g

2、t;　　專業(yè)班級信息與計算科學(xué) 　　學(xué)生姓名學(xué)號 　　指導(dǎo)教師職稱 　　完成日期年月 <b&g

3、t;　　摘要　　最優(yōu)化計算是實際應(yīng)用中的一個十分活躍的數(shù)學(xué)方法. 隨著計算機的普及, 已廣泛應(yīng)用于化工, 機械, 建筑等許多工程技術(shù)部門. 而且在解決生產(chǎn)組織, 資源分配等管理科學(xué)問題時, 最優(yōu)化計算也是一種重要方法. 無約束優(yōu)化在實際最優(yōu)化問題中占有很大的比例, 而變尺度算法正是解決無約束優(yōu)化問題最有效的算法之一.　　在本文中, 我

4、們研究了變尺度算法的原理和計算步驟, 通過對比計算證明了算法的優(yōu)越性, 其收斂速度快且計算較為簡潔. 并基于Wei zengxin提出的改進BFGS公式研究了一類改進的變尺度算法并通過數(shù)值實驗證明其收斂性. 　　關(guān)鍵詞：無約束優(yōu)化; 變尺度; DPF; BFGS　　Abstract<p&

5、gt;　　Optimization is a very active mathematical method in the practical application. As the computers being more and more popularity, Optimization has been widely 　　used in many engineering departmen

6、t such as chemical industry, machinery and　　architecture. Even in solving some management science problems like production organization and resource resources, optimization is also an important metho

7、d. Unconstrained optimization holds a large proportion in practical optimization problems. And Variable-dimension is one of the most effective algorithms in solving unconstrained optimization problems.<p&g

8、t;　　In this dissertation, we studied the principle and the calculation steps of variable-dimension algorithm. We proved the superiority of variable-dimension algorithm through comparing the calculation, we see its conver

9、gence rate is fast and its calculation is very succinct. At last, we studied a new modified BFGS method based on Wei zengxin’s new modified BFGS formula and proved that it had convergence properties.

10、;　　Keywords: Unconstrained optimization; variable-dimension; DPF; BFGS　　目錄　　摘要I　　AbstractIV<b

11、>　　1 前言1　　2 無約束最優(yōu)化的求解3　　2.1 函數(shù)的極值點3　　2.2 極值點存在的條件3　　2.3 梯度法求解5　　2.4 Newton法簡介6&l

12、t;p>　　3 變尺度算法7　　3.1 變尺度法的基本思想7　　3.2 變尺度法的基本原理7　　3.3 DFP法8　　3.4 BFGS法簡介10　　3.5 變尺度法的

13、優(yōu)越性11　　3.6 變尺度法的matlab實現(xiàn)13　　4 變尺度法的改進15　　4.1 BFGS法的改進15　　4.2 改進算法的推導(dǎo)15　　4.3 改進算法的步驟16

14、;　　4.4 算法的數(shù)值對比17　　小結(jié)20　　參考文獻21　　致謝錯誤!未定義書簽。　　1 前言　　隨著

15、生產(chǎn)和經(jīng)濟的高速發(fā)展, 最優(yōu)化的方法在越來越多的領(lǐng)域得到了應(yīng)用, 可謂是數(shù)學(xué)在實際應(yīng)用中最為廣泛的方法之一. 　　在實際中, 很多問題的目標函數(shù)或約束條件中都含有非線性函數(shù), 這一類問題就是非線性規(guī)劃問題. 非線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一個重要分支. 其數(shù)學(xué)模型可寫成以下形式　　, （1.1）</p&g

16、t;　　即在n維空間的一個子集中求目標函數(shù)的極小值點和極小值.　　最優(yōu)化計算方法通?？煞譃閮深? 即無約束優(yōu)化和約束優(yōu)化. 在（1.1）中, 如果, 則問題被稱為無約束非線性規(guī)劃問題, 即　　, （1.2）無約束最優(yōu)化算法的重要性不僅體現(xiàn)在其本身解決無約束優(yōu)化問題的應(yīng)用，而且還

17、可以將一些約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題來處理. 從這個意義上講, 無約束優(yōu)化算法也是處理約束優(yōu)化問題的基本方法.　　無約束優(yōu)化的算法有許多種, 早在1847年, Cauchy就提出了最速下降法, 也稱梯度法. 這就是最早的求解無約束最優(yōu)化問題的方法. 對于變量不多的某些問題, 此方法是可行的, 但是對于變量較多的一類問題, 就常常不適用了. 其原因是除某些特殊情形外, 計算產(chǎn)生的方程組是非線性的,

18、對它的求解十分困難; 而最速下降法的收斂速度往往又很慢. 之后出現(xiàn)并發(fā)展了收斂性能較好的牛頓法, 需要計算目標函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù), 故而計算量較大. 而變尺度法則是既保持了牛頓法收斂速度快的特點, 是超線性收斂的, 又克服了牛頓法計算量大的缺點. 變尺度算法最早由Davidon在1959年提出, 是無約束最優(yōu)化計算方法中最為杰出的, 最富有創(chuàng)造性的工作. 之后經(jīng)由Fletcher和Powell的改進簡化, 于1963年形成了Davidon-

19、Fletcher-Powell法, 簡稱DFP法. 1970年, Huang對變尺度算法作了處理，得出了包含3個自由參數(shù)的Huang族變尺度法. 在這之前的1967年, Broyden也曾提出只包含1個自由參數(shù)的Broyden族變尺度法, 現(xiàn)視作Huang族變尺度法的一個子　　無約束最優(yōu)化方法已具有較完善的方法, 但是仍有許多工作可以做. 在當(dāng)代的變尺度研究中, Liao aiping在Byrd

20、和Nocedal提供的工具框架下, 對BFGS法作了改進, 于1997年提出了一種雙參數(shù)修正的擬牛頓法, 具有更好的適應(yīng)性. Xiao yunhai和Wei zengxin等人也分別對BFGS公式做了改進. 　　本文的第二章主要介紹了無約束優(yōu)化求解的條件及基礎(chǔ)方法. 第三章詳細介紹了變尺度算法的原理及計算步驟, 并通過計算顯示其優(yōu)越性. 第四章基于BFGS法的各類改進公式研究了一類改進的變尺度算

21、法并利用數(shù)值實驗證明其優(yōu)越性. 　　2 無約束最優(yōu)化的求解　　2.1 函數(shù)的極值點　　求解最優(yōu)化問題, 關(guān)鍵就是求出極小點. 函數(shù)的極小點有兩種: 局部極小點和全局極小點. 在文獻[5]中做出如下定義: 　　定義2.1 對于, , 若存在, 使得當(dāng)時, 總滿足<

22、/p>　?。?.1）　　則稱是的局部極小點. 若當(dāng)時, 式（2.3）不等號恒成立, 則稱是的嚴格局部極小點. 　　定義2.2 對于任意, 若存在, 使得式（2.1）恒成立, 則稱是的全局極小點. 若當(dāng)時, 式（2.1）不等號恒成立, 則稱是的嚴格全局極小點.<

23、;p>　　盡管在解決現(xiàn)實問題的計算中, 我們要尋找的往往是全局極小點, 但現(xiàn)有的理論和算法大多只能近似求出局部極小點. 所以一般地說, 求解無約束最優(yōu)化問題的算法都是通過多次迭代, 設(shè)法尋找多個局部極小點，然后將其中取值最小的那個極小點近似的作為全局極小點. 　　2.2 極值點存在的條件　　首先根據(jù)文獻[6]介紹梯度和海塞矩陣的定義.</p

24、>　　定義2.3 設(shè)是上的開集, , 若對各分量的一階偏導(dǎo)數(shù)都存在, 即函數(shù)在點處一階可導(dǎo), 則稱向量　?。?.2）　　為函數(shù)在點處的梯度. 　　定義2.4 設(shè)是上的開集, , 若對各分量的二階偏導(dǎo)數(shù)都存在, 即函數(shù)在點處二階可導(dǎo), 則稱向

25、量　?。?.3）　　為函數(shù)在點處的Hesse矩陣. 　　下面說明極值點存在的必要條件和充分條件.　　定理2.1（必要條件）設(shè)是上某一開集, 在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且在點取得局部極值, 則必有

26、;　　即　　.　　證明: 可反證, 假設(shè), 取, 則有　　, 　　那么就是在點處的下降方向, 即存在, 使得<

27、b>　　, .　　取, 由得　　, 　　故存在點, 使　　, <

28、p>　　這與是局部極點相矛盾. 　　定理 2.2（充分條件）設(shè)是上某一開集, 在上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,　　若, 且正定, 則為的嚴格局部極小點. 　　證明: 對任意和, 由, 有二階Taylor展式　　,

29、;　　正定, 那么　　,　　故存在, 使　　,　　即存在任意點, 使</b

30、>　　,　　故為的嚴格局部極小點.　　2.3 梯度法求解　　在求解無約束極值問題的方法中, 梯度法是最古老和最基礎(chǔ)的方法. 下面通過例題簡單介紹梯度法的求解步驟. 　　例1 用梯度法

31、求的極小點, 終止誤差　　解取初始點　　此時分別計算得 　　則繼續(xù)進行迭代.　　步長

32、;　　此時 ,　　故為極小點.　　2.4 Newton法簡介　　Newton法的基本思想是用一個二次連續(xù)可微函數(shù)去近似目標函數(shù)，然后精確求出這個二次函數(shù)的極小點, 以它作為所求函數(shù)極小點的近似值.

33、　　Newton法步驟:　　第1步選取初始點, 令, 給定終止誤差　　第2步計算梯度, 若, 則停止并輸出. 　　否則繼續(xù)第3步.　　第3步構(gòu)造Newton方向

34、　令, 置, 轉(zhuǎn)向第2步. 　　3 變尺度算法　　3.1 變尺度法的基本思想　　變尺度法是對牛頓法的修正, 它不再需要繁瑣地計算二階偏導(dǎo)數(shù)的矩陣和它的逆矩陣, 而是設(shè)法構(gòu)造一個對稱正定矩陣, 用已得到的一階偏導(dǎo)數(shù)來代替二階偏導(dǎo)數(shù), 通過迭代步驟使其逐漸逼近Hesse矩陣或其

35、逆. 由于對稱正定矩陣在迭代過程中是不斷修正改變的, 它對于一般尺度的梯度起到改變尺度的作用, 因此稱做變尺度. 　　在迭代過程中, 先用梯度法, 再用牛頓法并避開牛頓法的Hesse矩陣的逆矩陣的繁瑣計算, 這就是變尺度法的基本構(gòu)想. 　　3.2 變尺度法的基本原理　　變尺度法的基本原理, 即構(gòu)造矩陣使其可以近

36、似Hesse矩陣或其逆.　　假定無約束極值問題的目標函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 為對其極小點第k次迭代之后得到點. 在該點將目標函數(shù)展成Taylor級數(shù), 取二階近似, 得到　　, 　?。?.1）

37、　對上式（3.1）兩邊求梯度有　　,　　令, 有　　,　　設(shè)可逆, 則　　.

38、（3.2）　　記, , 式（3.2）即為 　　. （3.3）　　容易推證, 若是帶有正定系數(shù)矩陣A的二次函數(shù)：　　,<p

39、>　　則（3.3）將成為等式, 即　　, 且 . （3.4）　　此時, 只需計算目標函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù), 就可以依據(jù)方程估計該處的Hesse矩陣的逆. 　　為了用不包含二階導(dǎo)數(shù)的矩陣近似牛頓法中的Hesse矩陣的逆矩陣, 必須滿足<b

40、>　　, 即擬牛頓條件,　　而矩陣是隨迭代步驟的變動而變化的, 假定每一個這樣的矩陣由迭代格式　　產(chǎn)生, 稱為修正矩降.　　代入擬牛頓條件, 有 　　或 .

41、（3.5）　　為了簡單構(gòu)造出每一輪的搜索方向, 在開始時可以取為單位矩陣. 然后, 在每第k輪利用擬牛頓條件按基本關(guān)系式（3.5）產(chǎn)生修正短陣, 并利用其使得到下一個迭代矩陣. 如此反復(fù)迭代, 可以產(chǎn)生一系列迭代矩陣從而相應(yīng)地確定出一系列搜索方向. 　　在變尺度算法中, 迭代格式為, 其中為搜索方向, 為步長,</p&

42、gt;　　, 通過求得, 于是, 不同的校正公式構(gòu)成了不同的變尺度算法. 　　3.3 DFP法　　DFP法是一個非常著名的變度量法, 首先由Davidon在1959年所提出, 后經(jīng)Fletcher和Powell加以改進于1963年形成的. 　　DFP變

43、尺度法綜合了梯度法、牛頓法的優(yōu)點而又避棄它們各自的缺點, 只需計算一階偏導(dǎo)數(shù), 無需計算二階偏導(dǎo)數(shù)及其逆矩陣, 對目標函數(shù)的初始點選擇均無嚴格要求, 收斂速度快. 對于高維（維數(shù)大于50）問題被認為是無約束極值問題最好的優(yōu)化方法之一. 　　為了產(chǎn)生迭代矩陣序列, 關(guān)鍵是要不斷地確定出修正矩陣, 假定一個簡單的形式為　　, 為待定向量

44、（3.6）　　兩邊共乘, 有.　　與（3.5）做比較, 顯然　　, ,　　由于要求對稱, 需取 , （3.7）</p&

45、gt;　　則有 　　. （3.8）　　綜合（3.7）和（3.8）, 得　　, （3.9）　　可得修正矩陣的表達形式

46、　　,　　從而得到矩陣的迭代式　　, 即DFP公式.　　計算步驟: 　?。?）給定初始點及允許誤差, 令初始矩陣（單

47、位矩陣）　?。?）求初始梯度向量, 若, 則停止迭代輸出. 　　否則, 轉(zhuǎn)向（3）. 　?。?）構(gòu)造初始DFP方向 　?。?）進行一維搜索, 通過 , 確定最佳步長. 　　且令 <p

48、>　?。?）求梯度向量, 若　　則停止迭代并輸出, 即為所求的近似解. 　　否則, 轉(zhuǎn)向（6）. 　?。?）構(gòu)造DFP方向　　利用DFP公式計算,　　取, 轉(zhuǎn)向（4）

49、　?。?）繼續(xù)迭代, 直到求出某點滿足精度要求為止. 　　在上述求解過程中, 如果迭代進行n輪之后仍未停止, 則令新的起點, 重新按DFP程序進行搜索, 以避免計算誤差的積累而造成的影響. 　　3.4 BFGS法簡介　　BFGS法是Broyden，F(xiàn)letcher，Goldfarb和Sha

50、nno共同研究的變尺度法. 　　在DFP法中, 著眼于以構(gòu)造新矩陣來近似Hesse矩陣的逆, 而BFGS法就是換一種途徑, 構(gòu)造新矩陣來近似Hesse矩陣. 重復(fù)之前3.3.1討論, 可得到BFGS公式　?。?.10）　　也可表示為<

51、;/p>　?。?.11）　　BFGS法的計算步驟與DPF法相同, 只需用BGFS公式取代DPF公式即可. 　　3.5 變尺度法的優(yōu)越性　　在無約束優(yōu)化中, 最速下降法求解, 方法簡便但收斂速度慢; Newton法求解雖然收斂速度快, 但需要計算二

52、階導(dǎo)數(shù)矩陣的逆矩陣, 計算工作量很大. 　　而變尺度法既具有收斂速度快的優(yōu)點, 又不需計算二階導(dǎo)數(shù)矩陣, 計算量小. 　　例2 求解無約束非線性規(guī)劃問題, 其中, 選取初始點, 終止誤差. 　　1、用最速下降法　　負

53、梯度方向　　則令 　　得 　　故 　　經(jīng)計算, 重復(fù)以上步驟, 需10輪迭代才可滿足誤差要求.

54、　　2、Newton法　　需計算二階導(dǎo)數(shù)矩陣　　故 　　Newton方向 　　得下一迭代點 </

55、b>　　此時 , 停止迭代. 　　3、變尺度法, 采用DFP法　　初始搜索方向 　　故 　　于是 </

56、p>　　故不滿足終止誤差, 構(gòu)造下一輪DFP方向　　由 　　得 　　根據(jù)DFP公式, 有　　故DFP方向

57、　　由　　令　　解得　　則　　滿足<

58、;p>　　停止迭代輸出, 即最優(yōu)解. 　　3.6 變尺度法的matlab實現(xiàn)　　matlab的優(yōu)化工具箱對各種優(yōu)化問題提供了的一個完整的解決方案. 其豐富的涵蓋范圍、簡潔的函數(shù)表達、多種優(yōu)化算法的任意選擇、對算法參數(shù)的自由設(shè)置, 可使用戶方便靈活地使用優(yōu)化函數(shù). 　　根據(jù)文獻[8], 在優(yōu)化工具箱中,

59、fminunc函數(shù)和fminsearch函數(shù)用于求解無約束非線性最優(yōu)化問題. 　　matlab中fminunc的基本命令是　　[X,FVAL]=FMINUNC(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2, ...)　　其中的返回值X 是所求得的極小點, FVAL 是函數(shù)的極小值, 其它返回值的含義參見相關(guān)的幫助.

60、FUN 是一個M 文件, 當(dāng)FUN只有一個返回值時, 它的返回值是函數(shù)f (x)；當(dāng)FUN有兩個返回值時, 它的第二個返回值是f (x)的梯度向量；當(dāng)FUN有三個返回值時, 它的第三個返回值是f (x)的二階導(dǎo)數(shù)陣（Hessian 陣）. X0是向量x的初始值, OPTIONS 是優(yōu)化參數(shù), 可以使用缺省參數(shù). P1, P2 是可以傳遞給FUN 的一些參數(shù). 　　例3 求函數(shù)的最小值. <

61、/p>　　解：編寫M 文件fun2.m 如下：　　function [f,g]=fun1(x);　　f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;　　g=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];&

62、lt;/p>　　輸入：　　options = optimset('GradObj','on');　　[x,y]=fminunc('fun1',rand(1,2),options)　　即可求得函數(shù)的極小

63、值. x =1.0000 1.0000　　y =1.0835e-022　　求多元函數(shù)的極值也可以使用 Matlab 的fminsearch 命令, 其使用格式為　　[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT]＝FMINSEARCH(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2,...)

64、　　例4 求函數(shù)取最小值時的x值. 　　解：編寫 f (x)的M 文件fun2.m如下：　　function f=fun2(x);　　f=sin(x)+3;　　輸入：x0=2;<p&g

65、t;　　[x,y]=fminsearch(@fun2,x0)　　即求得在初值2 附近的極小點及極小值　　x =4.7124　　y = 2.0000　　4 變尺度法的改進&l

66、t;p>　　4.1 BFGS法的改進　　在變尺度校正公式中, DFP公式和BFGS公式是兩個非常著名的公式. 數(shù)學(xué)研究者運用了大量數(shù)值實驗, 表明BFGS公式的數(shù)值穩(wěn)定性要優(yōu)于DFP公式, 故在實際計算中BFGS方法一般被認為是變尺度方法中最有效的一種. 為了提高搜索效率, 很多人對BFGS公式提出了各種改進形式.　　根據(jù)（3.11）, BFG

67、S公式可表達為　　1997年, Liao aiping在Byrd和Nocedal提供的工具框架下, 對BFGS法作了改進, 提出了一種雙參數(shù)修正的擬牛頓法, 具有更好的適應(yīng)性，其形式為　　,　　其中, . <

68、p>　　2003年, Xiao yunhai等人基于Wei zengxin提出的改進方法中的, 將公式（3.11）中的第三項分子中的改為, 從而給出了另一種改進形式,　　.　　2006年, Wei zengxin結(jié)合Liao的方法以及自己提出的方程, 同時結(jié)合廣義Wolfe準則,也提出一種新的改進形式, .&l

69、t;/p>　　綜合這些改進形式, 方法大都是添加系數(shù), 或改變公式中的為, 或是用其它不精確線性搜索準則進行搜索. 　　4.2 改進算法的推導(dǎo)　　下面基于Wei zengxin提出的改進方法對BFGS算法作改進.　　令二次連續(xù)可微, 將其在處進行Taylor展開, 得</p&g

70、t;　　,　　取, 有　　,　　可以推出　　.</p&

71、gt;　　令, , 　　用代替公式（3.11）的第三項分子中的, 得到改進公式　?。?.1）　　4.3 改進算法的步驟　　算法步驟:&

72、lt;/p>　?。?）選取初始數(shù)據(jù), 給定初始點, 初始矩陣及終止誤差, 令 　?。?）求初始梯度向量, 若, 則停止迭代輸出. 　　否則, 轉(zhuǎn)向（3）. 　?。?）求解線性方程組, 得到. 　?。?）由Wolfe-Powell型線性搜索確定最

73、佳步長. 　?。?）令, 若, 則停止迭代輸出.　　否則由改進公式（4.1）計算.　?。?）令轉(zhuǎn)向（3）繼續(xù)迭代, 直到求出某點滿足精度要求為止. 　　下面給出Wolfe-Powell型線性搜索的定義及算法:　　定義4.1 Wo

74、lfe-Powell型線性搜索, 即給定常數(shù), , 并且滿足, , 取步長, 使得不等式　?。?.2）　?。?.3）　　同時成立. 　　Wo

75、lfe算法: 　?。?）給定初始數(shù)據(jù), , , , , 　?。?）令, 計算, .　?。?）若滿足（4.2）和（4.3）, 則;　　若不滿足（4.2）, 則令, , 不變, 轉(zhuǎn)向（2）.　　若滿足（4.2）,但

76、不滿足（4.3）, 則令, , 不變, 轉(zhuǎn)向（2）.　　4.4 算法的數(shù)值對比　　以問題為例. 其中, 給定終止誤差. 　　用matlab編寫如下:　　function [X,K]=mbfgs(X1,m,n)　　X1=input

77、('X1=');m=input('m=');n=input('n=');eps=10^(- 6);　　syms x1 x2;　　f=inline('100*(x2- x1^2)^2+(1- x1)^2');　　g1=inline('- 400

78、*(x2- x1^2)*x1-2+2*x1');　　g2=inline('200*x2- 200*x1^2');　　B=eye(2);i=0;X=ones(2,1);　　while norm([g1(X1(1),X1(2)),g2(X1(1),X1(2))])>eps</p&g

79、t;　　p=pinv(B)*(- [g1(X1(1),X1(2)),g2(X1(1),X1(2))]');t=1;a=0;b=inf;　　while 1　　T=X1+t*p;　　if f(T(1),T(2))

80、>f(X1(1),X1(2))+m*t*[g1(X1(1),X1(2)),g2(X1(1),X1(2))]*p　　b=t; t=(1/2)*(t+a);　　continue　　end;　　i

81、f [g1(T(1),T(2)),g2(T(1),T(2))]*p<n*[g1(X1(1),X1(2)),g2(X1(1),X1(2))]*p　　a=t; t=min(2*t,(1/2)*(t+b));　　else break; 　　end; &

82、lt;p>　　end;　　X2=X1+t*p; Y=[g1(X2(1),X2(2))- g1(X1(1),X1(2)),g2(X2(1),X2(2))- g2(X1(1),X1(2))]'; S=X2-X1;　　W=2*(f(X1(1),X1(2))- f(X2(1),X2(2)))+[g1(X2(1)

83、,X2(2))+g1(X1(1),X1(2)),g2(X2(1),X2(2))+g2(X1(1),X1(2))]*S;　　A=(W/(norm(S)^2))*eye(2);　　B=B-(B*S*S'*B)/(S'*B*S)+(Y*Y')/(S'*Y)+(Y*(A*S)'+A*S*Y'+A*S*(A*S)&#

84、39;)/(S'*Y);　　X1=X2;i=i+1;　　end; 　　X=X1 　　K=i　　取不同的的初始

85、點進行計算, 可設(shè), , 得出結(jié)果, 并與BFGS算法作對比, 得出下表　　表4.1 算法迭代次數(shù)對比　　可以看出, 改進后的算法同樣具有精確性, 且收斂速度更快. 　　小結(jié)　　隨著社會的不斷發(fā)展, 經(jīng)濟的進步, 人類已越來越意識到資

86、源的合理配置、效率提高的重要性, “優(yōu)化設(shè)計”這個詞語已在各個領(lǐng)域上到處可見. 現(xiàn)代的優(yōu)化方法, 研究某些數(shù)學(xué)上定義的問題的, 利用計算機為計算工具的最優(yōu)解. 無約束優(yōu)化的變尺度算法的應(yīng)用前景極為可觀. 　　本文首先介紹了無約束優(yōu)化極值點存在的條件以及最基礎(chǔ)的求解方法, 之后詳細研究了變尺度算法的原理和計算步驟, 并通過對比計算證明了算法的優(yōu)越性. 最后基于Wei zengxin提出的改進BFG

87、S公式, 研究了一類改進變尺度算法的原理, 且通過數(shù)值實驗驗證其收斂性及優(yōu)勢. 　　參考文獻　　Courant, R., Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations [J], Bulletin of t

88、he American Mathematical Society, 1943, 49: 1-23.　　鄧乃楊. 無約束最優(yōu)化計算方法 [M]. 科學(xué)出版社, 1982: 1-13.　　朱儒楷, 黃皓, 朱開永編著. 非線性規(guī)劃 [M]. 中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 1990: 132-133.　　Aiping Liao

89、. Modifying the BFGS method [J]. Operations Research Letters, 1997, 20: 171-177.　　胡毓達. 非線性規(guī)劃 [M]. 高等教育出版社, 1990: 7-10.　　運籌學(xué)教材編寫組. 運籌學(xué) [M]. 第三版. 清華大學(xué)出版社, 2005: 133-170.

90、　　費培之編著. 線性和非線性規(guī)劃引論極其應(yīng)用 [M]. 四川大學(xué)出版社, 1989: 204-214.　　李濤. Matlab工具箱應(yīng)用指南:應(yīng)用數(shù)學(xué)篇 [M]. 電子工業(yè)出版社, 2000: 212-215.　　Xiao Yunhai and Yehun, A modified BFGS method with global co

91、nvergence for unconstrained optimization problems, Guangxi Sciences, 2003(10): 253-257.　　Wei Zengxin, Li Guoyin, Qi Liqun, New Quasi-Newton methods for unconstrained optimization problems, Applied Ma

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信息與計算科學(xué)畢業(yè)論文無約束優(yōu)化的改進變尺度算法

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