粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示【畢業(yè)論文】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))</p><p>　題 目：粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　學(xué) 院：</p><p>　學(xué)生姓名：</p><p>　專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　班 級(jí)：</p><p>　指導(dǎo)教師：</p>

2、;<p>　起止日期：</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　粗糙集理論是一種研究不完整、不確定知識(shí)處理的數(shù)學(xué)工具, 近幾年來在機(jī)器學(xué)習(xí)、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、算法研究、工程應(yīng)用、決策支持系統(tǒng)以及模式識(shí)別等應(yīng)用中取得了較好的成果. 本文主要研究粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示, 給出了在一般的模糊環(huán)境下各種粗糙近似算子的定義, 得到了這些近似算子的

3、經(jīng)典表示. 首先, 回顧了模糊集的基本概念、性質(zhì)和模糊集的表示定理. 其次, 給出經(jīng)典環(huán)境粗糙近似算子的定義及其性質(zhì). 并進(jìn)一步引進(jìn)模糊環(huán)境下粗糙近似算子的概念. 最后, 通過模糊集的表示定理給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的經(jīng)典表示, 最后給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的一些重要性質(zhì).</p><p>　　關(guān)鍵詞: 粗糙集; 模糊集; 模糊關(guān)系; 近似算子</p><p>　　On the Rep

4、resentation of Approximation Operators under the Fuzzy Environment </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Rough set theory is a mathematical tool to study incomplete and uncertain knowle

5、dge processing. In recent years, it has been successfully applied in many research fields such as machine learning, knowledge discovery, algorithm research, engineering application, decision support systems, and pattern

6、recognition etc. In this thesis, we mainly focus on the study of on the representation of approximation operators under fuzzy environment. First, we review the basic concepts of fuzzy sets, the proper</p><p>

7、;　　Keywords: Rough set; fuzzy sets; fuzzy relations; approximation operators</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p>

8、;<b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 粗糙模糊近似算子的發(fā)展趨勢(shì)1</p><p>　　1.2 論文的組織結(jié)構(gòu)2</p><p>　　2 模糊集的基本概念及性質(zhì)3</p><p>　　2.1 知識(shí)與知識(shí)庫3</p><p>　　2.2 不確定范疇, 近似與

9、粗糙集3</p><p>　　2.3 模糊集的基本理論4</p><p>　　3 近似空間與近似算子7</p><p>　　4粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示9</p><p>　　4.1 模糊近似算子的經(jīng)典表示9</p><p>　　4.2 模糊近似算子的經(jīng)典表示11</p><p&g

10、t;　　4.3 模糊近似算子的經(jīng)典表示13</p><p>　　5 模糊近似算子的性質(zhì)16</p><p><b>　　6小結(jié)23</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)24</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><

11、p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 粗糙模糊近似算子的發(fā)展趨勢(shì)</p><p>　　粗糙集理論是波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak Z于1982年提出的一種數(shù)據(jù)分析理論. 在這之后, 許多數(shù)學(xué)家, 計(jì)算機(jī)研究人員和邏輯學(xué)家對(duì)粗糙集產(chǎn)生了很大的興趣, 并且在粗糙集的理論和應(yīng)用方面做了大量的研究. 1991年, Pawlak Z的專著問世, 標(biāo)志著粗

12、糙集理論及其應(yīng)用的研究進(jìn)入了活躍時(shí)期. 1992年, 在波蘭召開了關(guān)于粗糙集理論的第一屆國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議. 粗超集理論在1995年被ACM Communication定為新的計(jì)算機(jī)的科學(xué)的研究?jī)?nèi)容. 國(guó)際信息科學(xué)雜志在1998年還為其專門出了一期專輯. 這些都促進(jìn)了粗糙集的發(fā)展. 粗糙集理論是一種用來刻畫不確定性和不完整性的數(shù)學(xué)工具, 能有效地分析不精確, 不一致, 不完整等各種不完備的信息. 粗糙集理論將知識(shí)解釋成是應(yīng)用等價(jià)關(guān)系對(duì)有限的非

13、空論域進(jìn)行劃分, 它的主要思想是在不丟失信息的前提下, 約簡(jiǎn)信息屬性及屬性值, 得到相應(yīng)的決策規(guī)則.</p><p>　　粗糙集的實(shí)用性很強(qiáng), 粗糙集從產(chǎn)生到現(xiàn)在雖然只有短短的十幾年時(shí)間, 但是它在機(jī)器學(xué)習(xí)與知識(shí)發(fā)現(xiàn), 數(shù)據(jù)挖掘, 決策支持與分析等方面已經(jīng)取得了很多的成果. 粗糙集理論的研究逐漸趨于熱化. </p><p>　　在傳統(tǒng)的粗糙集模型中, 不管是知識(shí)庫中知識(shí)還是被近似的概念都是

14、清晰概念. 但是, 在現(xiàn)實(shí)的問題中, 大量被人們所接觸到的知識(shí)大多都是模糊知識(shí), 模糊集中可以是知識(shí)庫中的知識(shí), 也可能是被近似的集合等. 因此, 在模糊環(huán)境中如何應(yīng)用粗糙集理論是一個(gè)非常自然的問題. 而且模糊粗糙集在應(yīng)用上的效果和范圍上具有更加出色的表現(xiàn). 模糊粗糙集的發(fā)展的特點(diǎn)是把二值邏輯推廣至模糊邏輯方面. 模糊粗糙集理論的研究的重要方向就是模糊集的近似算子的定義和模型的推廣.</p><p>　　粗糙集理

15、論中的基本結(jié)構(gòu)是由論域及其定義在論域上的二元關(guān)系所生成的近似空間, 由近似空間可以導(dǎo)出下近似算子和上近似算子. 利用粗糙集理論中上、下近似概念, 隱含在信息系統(tǒng)中的知識(shí)可以以決策規(guī)則的形式被挖掘出來. 所以, 把粗糙集理論應(yīng)用到模糊環(huán)境中是一個(gè)自然而然的問題. 事實(shí)上, 很多學(xué)者都已對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究, 得到了一些新的粗糙集模型. 當(dāng)知識(shí)模塊在知識(shí)庫中是確定概念, 而被近似的概念是一個(gè)模糊概念時(shí), 就可以得到粗糙模糊集; 當(dāng)知識(shí)模塊在

16、知識(shí)庫中是模糊知識(shí), 而被近似的概念是經(jīng)典集時(shí), 那么就可得到模糊粗糙集. 并且按這種方式所得到的上近似和下近似都是模糊集, 所以自然而然地就產(chǎn)生如何用經(jīng)典近似算子來表示這些模糊近似算子的問題.</p><p>　　近年來, 模糊粗糙集所對(duì)應(yīng)的模糊近似算子已經(jīng)較全面地被研究過. 吳偉志等研究了粗糙模糊集和模糊粗糙集的基本表示, 并發(fā)現(xiàn)了一組經(jīng)典集, 它們的作用相當(dāng)于截集在模糊集分解定理中起的作用, 利用它們將粗糙

17、模糊集和模糊粗糙集表示出來, 并且利用表示公式, 成功地證明了各類模糊關(guān)系與相應(yīng)近似算子的一一對(duì)應(yīng)的充要條件. </p><p>　　1.2 論文的組織結(jié)構(gòu)</p><p>　　本文主要研究了粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示. 本文第一部分回顧了粗糙模糊近似算子的由來和發(fā)展. 第二部分回顧了粗糙集理論的基本概念. 第三部分介紹了近似空間與近似算子的基本概念. 第四部分是本文的核心, 介紹了粗糙

18、模糊近似算子的經(jīng)典表示. 最后給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的一些重要性質(zhì).</p><p>　　2 模糊集的基本概念及性質(zhì)</p><p>　　2.1 知識(shí)與知識(shí)庫</p><p>　　設(shè)是有限集合, 稱為論域. 對(duì)于任意一個(gè)子集, 稱之為中的一個(gè)范疇或概念. 假設(shè)空集也是一個(gè)概念. 我們稱中任意一個(gè)概念族為和有關(guān)的抽象知識(shí), 簡(jiǎn)稱知識(shí). 文章研究的是在上可以組成劃

19、分的一些內(nèi)容. 一個(gè)劃分</p><p><b>　　; , .</b></p><p>　　設(shè)為上面的等價(jià)關(guān)系, 則表示中所有的等價(jià)類組成的集合, 是含有元素的一個(gè)等價(jià)類. 一個(gè)知識(shí)庫等于一個(gè)系統(tǒng), 其中為非空有限集, 稱為論域, 是上的一族等價(jià)關(guān)系.</p><p>　　2.2 不確定范疇, 近似與粗糙集</p><p

20、>　　令, 是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 當(dāng)能表達(dá)成某些基本范疇的并時(shí), 稱為是可定義的; 否則稱為為不可定義的.</p><p>　　可定義集是論域的子集, 它在知識(shí)庫中精確地定義, 而不可定義集不能在這個(gè)知識(shí)庫中定義. 可定義集也稱作精確集, 而不可定義集稱為非精確集或粗糙集.</p><p>　　定義2.1 給定知識(shí)庫, 對(duì)于每個(gè)子集和一個(gè)等價(jià)關(guān)系, 有兩個(gè)子集</p>

21、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　分別稱他們?yōu)榈南陆萍蜕辖萍?</p><p><b>　　稱為的邊界域; </b></p><p><b>　　稱為的正域; </b></p

22、><p><b>　　稱為的負(fù)域. 顯然</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.3 模糊集的基本理論</p><p>　　設(shè)是論域, 是的子集, 可以用特征函數(shù)表示, 即映射, </p><p>　　的子集和子集的特征函數(shù)一一對(duì)應(yīng).</p

23、><p>　　對(duì)于論域上的一個(gè)模糊概念, 確定了上的一個(gè)模糊子集, 對(duì)于任意的, 和之間不是絕對(duì)屬于或絕對(duì)不屬于的關(guān)系. 為了表示屬于的程度, 我們用中的一個(gè)數(shù)值來表示, 所以論域上的一個(gè)模糊子集可以用到的一個(gè)映射來描述.</p><p>　　定義2.2 設(shè)是論域, 映射稱為X的一個(gè)模糊子集, 簡(jiǎn)稱集, 映射稱為集的隸屬函數(shù), 稱為關(guān)于的隸屬度.</p><p>　　

24、論域上的所有集記為, 顯然. (其中, 是論域上的所有經(jīng)典集).</p><p>　　論域上的集有下列表示法:</p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) 若, 記;</b></p><p><b>　　(3) 若, 記;</b><

25、/p><p>　　(4) 若是不可數(shù)集, 記.</p><p>　　定義2.3 設(shè), 則</p><p>　　(1) 若, 則稱包含于, 或包含, 記為, 或.</p><p>　　(2) 若, 則稱和相等, 記為. </p><p><b>　　顯然, 且.</b></p><

26、p><b>　　.</b></p><p>　　由此, 是具有最小元與最大元的偏序集.</p><p>　　定義2.4 設(shè), 定義并、交、余運(yùn)算如下:</p><p><b>　　(1) , .</b></p><p><b>　　(2) , .</b><

27、/p><p>　　(3) , .</p><p>　　分別稱, 為和的并集、交集; 稱為在中的補(bǔ)集.</p><p>　　設(shè)是指標(biāo)集, , 定義無限并、無限交如下:</p><p>　　, . </p><p>　　, .</p><p>　　定理2.1

28、 設(shè), 則并、交、余滿足下列性質(zhì):</p><p><b>　　(1) 冪等律;</b></p><p><b>　　(2) 交換律;</b></p><p><b>　　(3) 結(jié)合律; </b></p><p><b>　　;</b></p>

29、;<p><b>　　(4) 吸收律;</b></p><p><b>　　(5) 分配律;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　(6) 同一律;</b></p><p><b>　　(7)

30、兩極律;</b></p><p><b>　　(8) 對(duì)合律;</b></p><p><b>　　(9) 對(duì)偶率.</b></p><p>　　集不滿足補(bǔ)余律, 即.</p><p>　　定義2.5 設(shè), 記</p><p><b>　　,

31、 </b></p><p>　　稱為集合的截集. 稱</p><p>　　為集合的的強(qiáng)截集. 稱</p><p><b>　　為集合的支集.</b></p><p>　　顯然, , , 且時(shí)有</p><p>　　, , .</p><p>　　定理

32、2.2 截集的性質(zhì): </p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p><p><b>　　(3) ;</b></p><p><b>　　(4) . </b></p><p

33、>　　3 近似空間與近似算子</p><p>　　定義3.1 設(shè)是從到上的一個(gè)二元關(guān)系, 稱三元組為廣義近似空間. 對(duì)于, 則關(guān)于廣義近似空間上的上近似與下近似分別為與, 則它們分別定義為: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　

34、　其中. 顯然的, 和是到的集合算子, 分別稱它們?yōu)榇植谏辖扑阕雍拖陆扑阕? </p><p>　　定理3.1 設(shè)是一個(gè)經(jīng)典近似空間, 即是從到的一個(gè)二元經(jīng)典關(guān)系. 則它的上下近似具有如下性質(zhì): ,</p><p>　　(L1) ; (U1) ;</p><p>　　(L2) ;

35、 (U2) ;</p><p>　　(L3) ; (U3) ;</p><p>　　(L4) ; (U4) ;</p><p>　　(L5) ; (U5) .</p><p>　　引理3.1 如果是從到上的一個(gè)二元模糊關(guān)系, 則

36、是一個(gè)區(qū)間模糊關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意, 是一個(gè)串行經(jīng)典關(guān)系.</p><p>　　定義3.2 設(shè)是上的任意二元模糊關(guān)系. 稱是一個(gè)自反模糊關(guān)系, 如果有; 稱是一個(gè)等價(jià)模糊關(guān)系, 如果是對(duì)稱、傳遞和自反的模糊關(guān)系;稱是一個(gè)對(duì)稱模糊關(guān)系, 如果有; 稱是一個(gè)傳遞模糊關(guān)系, 如果, 有.</p><p>　　引理3.2 設(shè)為上面的任意二元模糊關(guān)系, 則為一個(gè)自反模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng), 是一個(gè)

37、自反經(jīng)典關(guān)系; 為等價(jià)模糊關(guān)系,當(dāng)且僅當(dāng), 為等價(jià)經(jīng)典關(guān)系; 為對(duì)稱模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng), 為對(duì)稱經(jīng)典關(guān)系; 為傳遞模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng), 為傳遞經(jīng)典關(guān)系.</p><p>　　定義3.3 設(shè)是從到上面的任意二元模糊關(guān)系, 對(duì)于, 對(duì)于模糊近似空間的上近似與下近似為的模糊子集, 分別定義其隸屬函數(shù)為:</p><p><b>　　(3.1)</b></p>

38、;<p>　　與都是與的集合算子, 分別稱為模糊下近似算子和模糊上近似算子, 當(dāng)時(shí), 則稱關(guān)于是有意義的, 否則稱為粗糙集. </p><p>　　特別地, 若為一個(gè)經(jīng)典二元關(guān)系, 且為一個(gè)模糊集, 那么容易證明</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　此時(shí)與都是到的集合算子, 分別稱之為模糊下近似算子

39、和模糊上近似算子, 當(dāng)時(shí), 稱關(guān)于是有意義的, 否則稱為粗糙集, 這里表示的近似空間是一個(gè)經(jīng)典近似空間.</p><p>　　若為模糊關(guān)系, 而當(dāng)為經(jīng)典集時(shí), 則有</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　此時(shí)與都是到的集合算子, 分別稱之為模糊上近似算子與模糊下近似算子, 當(dāng)時(shí), 稱關(guān)于是可定義的, 否則稱是粗糙集

40、, 這里表示被近似集為經(jīng)典集.</p><p>　　4粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　定義4.1 集值映射稱之為集合套, 若,</p><p><b>　　.</b></p><p>　　若定義在上的全體值集合套記為, 那么顯然的, 則有以下定理.</p><p>　　引理4.1

41、 若, 定義函數(shù)如下:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是集合的特征函數(shù), 那么是一個(gè)同態(tài)滿射,并且具有以下性質(zhì):</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p

42、><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p><p>　　4.1 模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　設(shè)為一個(gè)經(jīng)典近似空間, 對(duì)于任意, 與, , 那么近似空間的上、下近似分別具有如下性質(zhì):</p><p><b>　　,<

43、/b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理4.2 設(shè)是一個(gè)經(jīng)典近似空間, , 則集合族, , , 都是上的值集合套.</p><p>　

44、　定理4.1 設(shè)為一個(gè)經(jīng)典近似空間, , 則</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p>

45、;<p><b>　　證明 (1) ,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　從而</b><

46、/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以(1)得證.</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此</b&

47、gt;</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　與之相同的有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以(2)得證.</b></p><p>　　由引理4.1和結(jié)論(

48、1)和(2)證得(3)和(4).</p><p>　　4.2 模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　設(shè)是任意的模糊近似空間, 即是從到上的任意的二元模糊關(guān)系, 則與是從到上的任意的二元經(jīng)典關(guān)系, 于是與為經(jīng)典近似空間. , 對(duì)應(yīng)近似空間與的上近似和下近似分別定義為:</p><p><b>　　,</b></p><

49、p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　其中, .</b></p><p>　　引理4.3 設(shè)是到上任意的二元模糊關(guān)系, 與,</p>&l

50、t;p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p><p>　　定理4.2 設(shè)為任意的模糊近似空間, , 則

51、</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p><p>　　證明 (1) 和

52、, 可以容易地得到對(duì), 要么為1, 要么為0, 因此</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p&g

53、t;<b>　　.</b></p><p><b>　　(2) 由于</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

54、t;<b>　　同理可證</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(3)和(4)由結(jié)論(1)、(2)引理4.1和引理4.4即得.</p><p>　　4.3 模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　設(shè)為任意的模糊近似空間, 即是從到上任意的二元模糊關(guān)系, 則對(duì), 由

55、可以得到兩個(gè)二元經(jīng)典關(guān)系與, 進(jìn)一步可以得到兩個(gè)經(jīng)典一般近似空間與, 此外和, 由可以導(dǎo)出經(jīng)典集與, 從而與分別對(duì)應(yīng)近似空間與都具有上近似和下近似, 即:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p>&l

56、t;p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

57、t;　　引理4.4 如果是從到上的二元模糊關(guān)系, , 則</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b><

58、;/p><p>　　引理4.5 如果是從到上的二元模糊關(guān)系, 對(duì)于任意, 那么下面的八個(gè)集合類都組成了上面的集合套: , , , , , , , .</p><p>　　定理4.3 設(shè)是任意的模糊近似空間, , 則</p><p><b>　　(1) </b></p><p><b>　　;</b>

59、</p><p><b>　　(2) </b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　(3) ;</b></p><p><b>　　(4) ;</b></p><p><b>　　(5) ;

60、</b></p><p><b>　　(6) .</b></p><p>　　證明 和, 可以得到對(duì)要么為, 要么為, 因此</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>

61、　　.</b></p><p><b>　　與之相同地可以證得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　又由于對(duì)于任意有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>

62、;<b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　與之相同地可以證得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　5 模糊近似算子的性質(zhì)</p><p>　　定理5

63、.1 若是任意的從到的一個(gè)二元模糊關(guān)系, 則模糊近似算子具有以下性質(zhì): , ,</p><p>　　; ;</p><p>　　; ;</p><p><b>　　; ;</b></p><p><b>　　; ;</b></p>

64、<p><b>　　; .</b></p><p>　　證明 利用定理4.1和引理4.2得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即性質(zhì)成立. 性質(zhì)可以有性質(zhì)直接導(dǎo)出.</p><p><b>　　由于有</b></p>

65、<p><b>　　.</b></p><p>　　因此性質(zhì)成立. 與之相似地能夠得證性質(zhì). </p><p>　　由定理4.2可知, 我們有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　故性質(zhì)成立. 結(jié)合性質(zhì)和對(duì)偶性質(zhì)與就能證得性質(zhì)成立.</p><p

66、><b>　　由于</b></p><p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　所以根據(jù)近似算子的表達(dá)定理與對(duì)偶性質(zhì)與即得性質(zhì)與.</p><p>　　性質(zhì)與能夠直接根據(jù)性質(zhì)與推得.</p>

67、;<p>　　與性質(zhì)與對(duì)應(yīng)的是下列性質(zhì)與, 它們可由性質(zhì)與直接推得,</p><p>　　; </p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理5.1 設(shè)是從到上的一個(gè)模糊關(guān)系, 則</p><p>　　(1) , ;</p><p>　

68、　(2) , ;</p><p>　　(3) , ;</p><p>　　(4) , .</p><p>　　其中和分別是單點(diǎn)集的特征函數(shù)和集合的特征函數(shù).</p><p>　　定理5.2 設(shè)是從到上的任意一個(gè)二元模糊關(guān)系, 則為區(qū)間模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng)以下性質(zhì)有一個(gè)成立即可:</p><p>&l

69、t;b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p><p><b>　　(3) , .</b></p><p>　　證明 首先根據(jù)對(duì)偶性質(zhì)與能夠證得(1)等價(jià)于(2).</p><p><b>　　然后再證,</b>&l

70、t;/p><p><b>　　為區(qū)間模糊關(guān)系.</b></p><p>　　事實(shí)上, 由引理5.2中(3)可得, , , 從而</p><p><b>　　為區(qū)間模糊關(guān)系使</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　

71、　最后再證</b></p><p>　　為區(qū)間模糊關(guān)系, .</p><p>　　假設(shè)為區(qū)間模糊關(guān)系, 根據(jù)近似算子的表達(dá)定理只要證明,</p><p>　　. (5.1)</p><p>　　設(shè), 根據(jù)下近似的性質(zhì)可得, 進(jìn)而, 即</p><p>

72、;　　. (5.2)</p><p>　　因?yàn)闉閰^(qū)間模糊關(guān)系, 從而存在使, 此時(shí), 即. 另一方面, 由(5.2)式知, , 于是, 這樣就得到了, 根據(jù)上近似的性質(zhì)可得, 即得(5.1)式, 因此(3)得證.</p><p>　　反之, 假設(shè)(3)成立, 則取. 由引理5.1中的(3)和性質(zhì)得</p><p>&l

73、t;b>　　,</b></p><p><b>　　即為區(qū)間模糊關(guān)系.</b></p><p>　　定理5.3 設(shè)是上的任意的模糊關(guān)系, 則為自反模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng)以下性質(zhì)有一個(gè)成立即可:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　,

74、 .</b></p><p>　　證明 首先根據(jù)對(duì)偶性質(zhì)與易證性質(zhì)與為等價(jià)關(guān)系. 那么只要證明的自反性與性質(zhì)是等價(jià)關(guān)系.</p><p>　　若為自反模糊關(guān)系, 則與任何定值, 記, 顯然. 由于自反, 所以根據(jù)引理3.1知, 為自反的二元經(jīng)典關(guān)系, 這樣, 從而, 即. 又由定理4.2知, 于是, 即, 即證性質(zhì)成立.</p><p>　　反之, 若

75、成立, 則, 令, 由引理5.1與假設(shè)我們可以得到, 因此, 即證為自反的.</p><p>　　定理5.4 設(shè)是上任意的模糊關(guān)系, 則為對(duì)稱模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng)以下性質(zhì)有一個(gè)成立:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>

76、　　定理5.5 設(shè)是上任意的模糊關(guān)系, 則為傳遞模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng)以下性質(zhì)有一個(gè)成立即可:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 首先, 可以根據(jù)對(duì)偶性質(zhì)與直接驗(yàn)證性質(zhì)等價(jià)于. 所以只要證得的傳遞性與性質(zhì)是等價(jià)關(guān)系即可.</p>

77、;<p>　　若為傳遞模糊關(guān)系, 由定理4.2可得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　從而,</b></p><p>　　. (5.3)</p><p>　　綜合(5.3)式、定理4.2和性質(zhì)得</

78、p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　因此性質(zhì)成立.</b></p><p>　　反之, 假設(shè)性質(zhì)成立. 對(duì)任意, 任取使?jié)M足, 且. 那么一方面, </p><p>　　. (5.4)</p><p><

79、;b>　　另一方面,</b></p><p><b>　　(5.5)</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　由(5.4)式與(5.5)式得, 即證為傳遞的.</p><p>　　定理5.6 設(shè)是上任意的模糊關(guān)系, 則為等價(jià)模糊關(guān)系, 當(dāng)且僅當(dāng)模糊下近

80、似算子符合性質(zhì)或等價(jià)地模糊上近似算子符合性質(zhì).</p><p>　　定理5.7 若是上的一個(gè)傳遞與自反模糊關(guān)系, 則具有以下性質(zhì):</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 首先, 根據(jù)對(duì)偶性質(zhì)與直接驗(yàn)證性質(zhì)等價(jià)于, 所

81、以只要證得性質(zhì)成立. 事實(shí)上, 由于自反, 由定理5.3得, 再根據(jù)定理5.1的性質(zhì)可得, 進(jìn)而結(jié)合定理5.5便得性質(zhì).</p><p>　　例5.1 令, 設(shè)上任意的模糊關(guān)系所對(duì)應(yīng)模糊集值函數(shù)定義為:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>

82、;<b>　　.</b></p><p>　　顯然的, 為對(duì)稱模糊關(guān)系. 令, 那么能夠證明</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以不成立, 根據(jù)模糊近似算的對(duì)偶性得亦不成立.</p><p&

83、gt;　　定理5.8 若是上任意的自反模糊關(guān)系, 則具有以下性質(zhì):</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 (1) 由題可知</p>

84、<p><b>　　.</b></p><p>　　又由于為自反的, 因此, 也為自反的, 于是, 有, 即. 因此, 有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì)由性質(zhì)與近似算子的對(duì)偶性可證得.</p><p>　　(2) 假設(shè). 顯然的, . 又由于是自反的,

85、 所以根據(jù)性質(zhì)和定理4.2得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　即證性質(zhì)成立.</b></p><p>　　(3)

86、性質(zhì)可由性質(zhì)與近似算子的對(duì)偶性得證.6小結(jié)</p><p>　　粗糙集理論是一種研究不完整、不確定知識(shí)處理的數(shù)學(xué)工具, 近幾年來在機(jī)器學(xué)習(xí)、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、算法研究、工程應(yīng)用、決策支持系統(tǒng)以及模式識(shí)別等應(yīng)用中取得了較好的成果. 本文主要研究了模糊環(huán)境下粗糙近似算子的經(jīng)典表示. 首先, 回顧了粗糙集理論的基本概念, 包括知識(shí)和知識(shí)庫, 不確定范疇, 近似與粗糙集, 知識(shí)約簡(jiǎn), 知識(shí)表達(dá)系統(tǒng), 模糊集合的分解定理和集合套等

87、等. 其次, 給出經(jīng)典環(huán)境粗糙近似算子的定義及其性質(zhì), 并進(jìn)一步研究了近似空間與近似算子. 并進(jìn)一步引進(jìn)模糊環(huán)境下粗糙近似算子的概念. 最后, 通過模糊集的表示定理給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的經(jīng)典表示, 最后給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的一些重要性質(zhì). </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　Pawlak Z. Rough sets [J].

88、 International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11(5): 341~356.</p><p>　　Pawlak Z. Rough Sets—Theoretical Aspects of Reasoning about Data [M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.<

89、/p><p>　　王國(guó)胤, 姚一豫, 于洪. 粗糙集與應(yīng)用研究綜述 [J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2009, 32(7): 1229~1231.</p><p>　　Chan C C. A rough set approach to attribute generalization in datamining [J]. Journal of Information Sciences, 1998, 1

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91、roximation operator s[J]. Information Sciences, 2004, 159: 233～254.</p><p>　　Wu W Z, Mi J S, Zhang W X. Generalized fuzzy rough sets[J]. Information Sciences, 2003, 151: 263～282.</p><p>　　吳偉志, 張

92、文修, 徐宗本. 粗糙模糊集的構(gòu)造與公理化方法[J] . 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2004, 27( 2) : 197～203.</p><p>　　Wu W Z, Leung Y, Zhang W X. On generalized rough fuzzy approximation operators s[J]. Information Sciences, 2006, 218: 263～285.</p>

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95、 Knowledge Discovery: Methodology and Applications. Heidelberg: Physica-Verlag, 1998: 286～ 318.</p><p>　　張文修, 王國(guó)俊, 劉旺金, 方錦暄. 模糊數(shù)學(xué)引論 [M] . 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 1996.</p><p><b>　　致謝</b></

96、p><p>　　本人在撰寫論文的過程中, 得到了許多老師和同學(xué)的熱心幫助. 這次論文的成功撰寫, 凝結(jié)了我四年大學(xué)生涯的心血. 感謝所有傳授我知識(shí)的老師, 感謝所有關(guān)心過我, 幫助過我的恩師們. 這里, 我要特別感謝吳老師和徐老師對(duì)我的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求, 使我完成了論文的研究工作, 提高了論文的寫作水平和研究問題的能力. 此外, 吳老師和徐老師詳盡的審閱了論文初稿, 給我提出了寶貴的修改意見, 對(duì)英文翻譯也進(jìn)行了逐